傍接四角形のソースを表示


[[ファイル:Ex-tangential_quadrilateral.png|サムネイル|400x400ピクセル|
{{Legend|#92fcf9|傍接四角形{{mvar|ABCD}}}}

{{Legend-line|dashed grey|{{mvar|ABCD}}の[[延長辺]]}}
{{Legend-line|solid #ff5eec|{{mvar|ABCD}}の傍接円}}

]]
[[ユークリッド幾何学]]において、'''円に傍接する四角形'''（{{Lang-en-short|ex-tangential quadrilateral, exscriptible quadrilateral}}<ref>[[Alexander Bogomolny|Bogomolny, Alexander]], "Inscriptible and Exscriptible Quadrilaterals", ''Interactive Mathematics Miscellany and Puzzles'', . Accessed 2011-08-18.</ref>）あるいは、'''傍接四角形'''<ref>{{Cite journal|last=村田|first=翔吾|date=2020|title=数学的探究における定義活動の方法に関する研究|url=https://www.jstage.jst.go.jp/article/jjsme/101/R114/101_19/_article/-char/ja|journal=日本数学教育学会誌|volume=101|issue=R114|pages=19–38|doi=10.32296/jjsme.101.R114_19}}</ref>は、すべての[[延長辺]]が、四角形の外部にある[[円 (数学)|円]]に[[接する]]ような[[凸多角形|凸]][[四角形]]である<ref name=":0">Radic, Mirko; Kaliman, Zoran and Kadum, Vladimir, "A condition that a tangential quadrilateral is also a chordal one", ''Mathematical Communications'', 12 (2007) pp. 33–52.</ref>。この円を''excircle''（傍接円）、その半径を''exradius''（傍半径）、中心を''excenter'' （傍心）という。傍心は、四辺形の6つの[[角の二等分線]]上に位置する。傍接四角形は、[[円に外接する四角形|外接四角形]]に近い関係を持つ。

[[英語]]における傍接円のescribed circle<ref>[https://kskedlaya.org/geometryunbound/gu-060118.pdf K. S. Kedlaya, ''Geometry Unbound'', 2006]</ref>という名称は、傍接円の他に、凸四角形のある1辺と、隣接する2辺の延長辺に接する円を指すこともある。 escribed circleは任意の凸四角形に4つずつ存在するが、excircleは高々1つしか存在しない<ref name=":1">Josefsson, Martin, ''Similar Metric Characterizations of Tangential and Extangential Quadrilaterals'', [[Forum Geometricorum]] Volume 12 (2012) pp. 63-77</ref>。

== 特別の場合 ==
[[凧形]]は傍接四角形である。[[平行四辺形]]は、次項に挙げる特徴づけを満たすため半径[[無限|無限大]]の傍接円を持つ傍接四角形とみなせるが、その傍接円は平行な2辺に接することができない<ref name=":1" />。辺長が[[等差数列]]を成す凸四角形は、下記の隣接辺に関する特徴づけを満たし、傍接四角形となる。

== 特徴づけ ==
凸四角形が円に傍接することと、6つの角の二等分線が[[共点]]であることは[[同値]]である。 この角の二等分線は、2つは対頂点の[[内角]]、2つは対頂点の[[外角]]、残りの2つは延長辺の交点の外角の二等分線となる<ref name=":1" />。

長さが{{Mvar|a, b, c, d}}の順で隣接する辺を持つ凸四角形が円に傍接することと、隣接する2辺と他の2辺のそれぞれの和が等しいことは同値である。式で書くと次のようになる。

: <math>a+b=c+d\quad \text{or}\quad a+d=b+c.</math>
これは1846年に[[ヤコブ・シュタイナー]]によって証明された<ref>F. G.-M., ''Exercices de Géométrie'', Éditions Jacques Gabay, sixiéme édition, 1991, p. 318.</ref>。1つ目の等式が成立する場合、傍接円は、{{Mvar|A}}または{{Mvar|C}}の最大の角の外側にある。一方2つ目の式が成立する場合、傍接円は{{Mvar|B}}または{{Mvar|D}}の最大の角の外側にある。 四角形{{Mvar|ABCD}}について、辺長{{Mvar|a, b, c, d}}を次のように割り当てる。
: <math>a=|AB|,\ b=|BC|,\ c=|CD|,\ d=|DA|.</math>

辺に関する特徴づけの方法として、対辺の長さの差の[[絶対値]]が等しい、といったものがある<ref name=":1" />。

: <math>|a-c|=|b-d|.</math>

この等式は、[[円に外接する四角形|外接四角形]]と[[ピトーの定理]]の関係に非常に類似している。外接四角形の場合は、差ではなく和になる。

=== ウルクハートの定理 ===
凸四角形{{Mvar|ABCD}}の対辺である{{Mvar|AB, CD}}の交点と{{Mvar|BC, AD}}をそれぞれ{{Mvar|E,F}}として、

: <math>|AB|+|BC|=|AD|+|DC|\quad\Leftrightarrow\quad |AE|+|EC|=|AF|+|FC|</math>

が成立する。これは、L. M. ウルクハート（Urquhart、1902–1966）の名を冠するが、1841年すでに、[[オーガスタス・ド・モルガン]]に発見されていた。{{仮リンク|ダニエル・ピドー|en|Daniel Pedoe}}は、ウルクハートの定理が直線と距離のみの関係を表すことから、この定理を"''the most elementary theorem in [[ユークリッド幾何学|Euclidean geometry]]''"（ユークリッド幾何学の中で最も基本的な定理である）と述べた<ref name=":2">Hajja, Mowaffaq, ''A Very Short and Simple Proof of “The Most Elementary Theorem” of Euclidean Geometry'', [[Forum Geometricorum]] Volume 6 (2006) pp. 167–169</ref>。ただし、ウルクハートの定理の関係は[[双曲幾何学]]の[[ポワンカレの円板モデル]]でも成立することが知られている<ref>{{Cite journal|journal=MATEMATIQKI VESNIK|author=|year=2011|title=THE THEOREMS OF URQUHART AND STEINER-LEHMUS IN  THE POINCARE BALL MODEL OF HYPERBOLIC GEOMETRY|last=Oguzhan|first=Demirel|last2=Soyturk Seyrantepe|first2=Emine|url=https://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/EMIS/journals/MV/114/mv11404.pdf}}</ref>。 実際、この同値性はMowaffac Hajjaによっても証明され<ref name=":2" />、さらに右の等式は四角形が傍接四角形となる[[必要十分条件]]であることが示された。 

=== 円に外接する四角形との比較 ===
[[円に外接する四角形]]の計量的な特徴づけ（表の左の列）の幾つかは、円に傍接する四角形の特徴づけと、著しく類似している<ref name=":1" />。次の表は四角形が円に外接するまたは傍接することの、必要十分条件である。
{| class="wikitable"
!内接円
!{{Mvar|A}}または{{Mvar|C}}の外側の傍接円
!{{Mvar|B}}または{{Mvar|D}}の外側の傍接円
|-
| align="center" |<math>R_1+R_3=R_2+R_4</math>
| align="center" |<math>R_1+R_2=R_3+R_4</math>
| align="center" |<math>R_1+R_4=R_2+R_3</math>
|-
| align="center" |<math>agh+cef=beh+dfg</math>
| align="center" |<math>agh+beh=cef+dfg</math>
| align="center" |<math>agh+dfg=beh+cef</math>
|-
| align="center" |<math>\frac{1}{h_1}+\frac{1}{h_3}=\frac{1}{h_2}+\frac{1}{h_4}</math>
| align="center" |<math>\frac{1}{h_1}+\frac{1}{h_2}=\frac{1}{h_3}+\frac{1}{h_4}</math>
| align="center" |<math>\frac{1}{h_1}+\frac{1}{h_4}=\frac{1}{h_2}+\frac{1}{h_3}</math>
|-
| align="center" |<math>\tan{\frac{x}{2}}\tan{\frac{z}{2}}=\tan{\frac{y}{2}}\tan{\frac{w}{2}}</math>
| align="center" |<math>\tan{\frac{x}{2}}\tan{\frac{w}{2}}=\tan{\frac{y}{2}}\tan{\frac{z}{2}}</math>
| align="center" |<math>\tan{\frac{x}{2}}\tan{\frac{y}{2}}=\tan{\frac{z}{2}}\tan{\frac{w}{2}}</math>
|-
| align="center" |<math>R_aR_c=R_bR_d</math>
| align="center" |<math>R_aR_b=R_cR_d</math>
| align="center" |<math>R_aR_d=R_bR_c</math>
|}
[[ファイル:Зовні-описаний чотирикутник-1.png|サムネイル|372x372ピクセル]]
この表で使用された表記は以下の通り。
* {{Mvar|P}}は、対角線の交点。
* {{Math|''R''{{sub|1}}, ''R''{{sub|2}}, ''R''{{sub|3}}, ''R''{{sub|4}}}}は、{{Math|△''ABP'', △''BCP'', △''CDP'', △''DAP''}}の外半径。 
* {{Math|''h''{{sub|1}}, ''h''{{sub|2}}, ''h''{{sub|3}}, ''h''{{sub|4}}}}は、{{Math|1=''a'' = {{abs|''AB''}}, ''b'' = {{abs|''BC''}}, ''c'' = {{abs|''CD''}}, ''d'' = {{abs|''DA''}}}}に対する{{Mvar|P}}の高さ。
* {{Mvar|e, f, g, h}}は、{{Mvar|A, B, C, D}}と{{Mvar|P}}の距離。
* {{Mvar|x, y, z, w}}は、それぞれ{{Math|∠''ABD'', ∠''ADB'', ∠''BDC'', ∠''DBC''}}。
* {{Mvar|R{{sub|a}}, R{{sub|b}}, R{{sub|c}}, R{{sub|d}}}}は、それぞれ辺{{Mvar|a, b, c, d}}と隣接する2辺の延長辺の成す[[三角形]]の内接円の半径。

== 面積 ==
辺長が{{Mvar|a, b, c, d}}である傍接四角形{{Mvar|ABCD}}の[[面積]]は次の式で表される。

: <math>\displaystyle K = \sqrt{abcd} \sin{\frac{B+D}{2}}.</math>

この式は[[円に外接する四角形]]の面積公式と同じ形で、かつ[[ブレートシュナイダーの公式]]から派生したものである。

== 傍半径 ==
傍接四角形の傍半径は次式で与えられる<ref name=":1" />。

: <math>r=\frac{K}{|a-c|}=\frac{K}{|b-d|}</math>

ただし{{Mvar|K}}は四角形の面積。辺長が固定された傍接四角形で、傍半径が最大の長さになるときは、傍接四角形が[[円に内接する四角形|円に内接する]]ときである（ex-bicentric quadrilateralなどと呼ばれる）。これが前述の平行四辺形が円に傍接する特徴づけである。

== Ex-bicentric quadrilateral ==
[[ファイル:Зовні-біцентричний чотирикутник.png|右|サムネイル|253x253ピクセル]]
傍接四角形が[[外接円]]を持っている場合、それを特に'''ex-bicentric quadrilateral'''と呼ぶ<ref name=":0" />。対角が[[補角]]となることから、その面積は、

: <math>\displaystyle K = \sqrt{abcd}</math>

と表される。これは[[双心四角形]]の面積公式と同じ形である。

{{Mvar|x}}を[[外心]]と傍心の距離として、次の式が成立する。

: <math> \frac{1}{(R-x)^2}+\frac{1}{(R+x)^2}=\frac{1}{r^2},</math>

ただし、{{Mvar|R, r}}はそれぞれ外半径と傍半径。これは[[双心四角形|ファスの定理]]に対応する。ただし、{{Mvar|x}}を求めるときは、双心四角形の外心と傍心の距離とは異なる[[二次方程式]]の解を選ばなければならない。したがって、{{Mvar|x}}は次のようになる<ref name=":0" />。

: <math> x=\sqrt{R^2+r^2+r\sqrt{4R^2+r^2}}. </math>

この式から次の不等式が成立する。

: <math>\displaystyle x>R+r, </math>

つまり、外接円と傍接円は平面上に交点を持たない。

== 関連項目 ==

* {{仮リンク|完全四辺形|en|Complete quadrangle}}
* [[円に内接する四角形]]

== 出典 ==
{{Reflist}}
== 外部リンク ==
*{{MathWorld|title=Urquhart's Theorem|id=UrquhartsTheorem}}
*{{Cite web |url=https://www.cut-the-knot.org/pythagoras/UrquhartsTheorem.shtml |title=Urquhart's Theorem |access-date=2024-11-19 |publisher=Cut the knot |author=Alexander Bogomolny}}
{{多角形}}
{{デフォルトソート:ほうせつしかくけい}}
[[Category:四角形]]
[[Category:数学に関する記事]]