優加法性のソースを表示

[[数学]]における[[数列]] {''a''<sub>''n''</sub>}<sub>''n''≥1</sub> が'''優加法的'''（ゆうかほうてき、{{lang-en-short|''superadditive''}}）であるとは、[[不等式]]
: <math>a_{n+m} \geq a_n+a_m</math>
を任意の ''m'', ''n'' が満たすときに言う。優加法列を考える大きな理由として、{{仮リンク|フェケテ・ミハーイ|en|Michael Fekete}}による次の[[補題]]が挙げられる。

; 補題 (Fekete): 任意の優加法的数列 {''a<sub>n</sub>''}<sub>''n''≥1</sub> に対し、極限 lim&thinsp;''a''<sub>''n''</sub>/''n'' は存在して sup&thinsp;''a''<sub>''n''</sub>/''n'' に等しい。
ここで「極限がある」というのは、正の無限大に発散する場合を含めて言う。例えば数列 ''a''<sub>''n''</sub> = log&thinsp;''n''! はそうである。

同様に、[[函数]] ''f''(''x'') が'''優加法的'''であるとは
: <math>f(x+y) \geq f(x)+f(y)</math>
を ''f'' の[[定義域]]に属する任意の ''x'', ''y'' について満たすことを言う。

例えば平方函数 ''f''(''x'') = ''x''<sup>2</sup> は任意の非負実数に対して優加法的である。実際、''x'', ''y'' がともに非負ならば、''x'' + ''y'' の自乗は ''x'' の自乗と ''y'' の自乗との和よりも常に大きい。

フェケテの補題は、劣加法函数に関しても類似の定理が成立する。あるいは劣加法性の定義不等式を全ての ''m'', ''n'' が満たすとは限らない場合に関しても、フェケテの補題を拡張することができる。またこれらの結果から、ある種の劣加法性と優加法性を併せ持つならば、フェケテの補題が存在を保証する極限への収斂の速さ (the rate of convergence) も知ることができる。この話題の良い説明が {{harvtxt|Steele|1997}} にある<ref>{{cite book|author=Michael J. Steele|title=Probability theory and combinatorial optimization|publisher=SIAM, Philadelphia|year=1997|isbn=0-89871-380-3}}</ref><ref>{{cite video|author=Michael J. Steele|title=CBMS Lectures on Probability Theory and Combinatorial Optimization|publisher=University of Cambridge|year=2011|url=http://sms.cam.ac.uk/collection/1189351}}</ref>。

''f'' が優加法的函数で定義域に 0 を含むならば ''f''(0) ≤ 0 である。実際、定義不等式を ''f''(''x'') &le; ''f''(''x'' + ''y'') &minus; ''f''(''y'') と変形して ''x'' = 0 とおけば ''f''(0) &le; ''f''(0 + ''y'') &minus; ''f''(''y'') = 0 を得る。

優加法的函数の符号を反転したものは[[劣加法的函数|劣加法的]]である。

== 優加法的函数の例 ==
* [[相互情報量]]
* ホースト・アルツァー<ref>{{cite book|author=Horst Alzer|title=A superadditive property of Hadamard’s gamma function| publisher=Springer|year=2009| doi=10.1007/s12188-008-0009-5}}</ref>は[[アダマール・ガンマ函数]] H(''x'') が ''x'', ''y'' &ge; 1.5031 なる任意の実数 ''x'', ''y'' に対して優加法的であることを示した。

== 参考文献 ==
{{reflist}}
;Notes
*{{cite book|author=György Polya and Gábor Szegö.|title=Problems and theorems in analysis, volume 1|publisher=Springer-Verlag, New York|year=1976|isbn=0-387-05672-6}}

{{PlanetMath attribution|id=34616|title=Superadditivity}}

{{DEFAULTSORT:ゆうかほうせい}}
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