入射加群のソースを表示

[[数学]]において、'''入射加群'''（にゅうしゃかぐん、{{lang-en-short|injective module}}）、あるいは'''移入加群'''（いにゅうかぐん）とは、[[関手]] {{math|Hom(&ndash;, ''E'')}} が[[完全関手|完全]]となるような[[環上の加群|加群]] {{mvar|E}} のことである。 
[[ホモロジー代数]]における基本的な概念のひとつ。

== 動機 ==
一般の[[環上の加群|加群]] {{mvar|Q}} に対して[[反変関手]] {{math|Hom(&ndash;, ''Q'')}} は左[[完全関手|完全]]である。
つまり任意の短[[完全列]]
:<math> 0 \to N \to M \to K \to 0 </math>
に対して
:<math> 0 \to \operatorname{Hom}(K, Q) \to \operatorname{Hom}(M, Q) \to \operatorname{Hom}(N, Q) </math>
は完全である。
この関手 {{math|Hom(&ndash;, ''E'')}} が完全となる、つまり
:<math> 0 \to \operatorname{Hom}(K, Q) \to \operatorname{Hom}(M, Q) \to \operatorname{Hom}(N, Q) \to 0 </math>
が完全となる加群 {{mvar|Q}} のことを移入加群と呼ぶ。 

== 移入加群の特徴づけ ==
{{mvar|R}} を[[単位元]]をもつ[[環 (数学)|環]]とし、以下では加群はすべて左 {{mvar|R}} 加群、射はすべて左 {{mvar|R}} 加群の準同型を指すことにする。
[[環上の加群|加群]] {{mvar|Q}} が'''移入加群'''であることは次のいずれの条件とも同値である。

* [[関手]] {{math|Hom(&ndash;, ''Q'')}} が[[完全関手|完全]]である、つまり任意の短[[完全列]]  {{math|0 &rarr; ''N'' &rarr; ''M'' &rarr; ''K'' &rarr; 0}} に対して {{math|0 &rarr; Hom(''K'', ''Q'') &rarr; Hom(''M'', ''Q'') &rarr; Hom(''N'', ''Q'') &rarr; 0}} も短完全列である
* 任意の[[単射]] {{math|''N'' &rarr; ''M''}} に対して {{math|Hom(''M'', ''Q'') &rarr; Hom(''N'', ''Q'')}} は全射である
* 任意の加群 {{mvar|M}} と正の[[整数]] {{mvar|n}} に対して {{math|Ext<sup>''n''</sup>(''M'', ''Q'') {{=}} 0}}
* 任意の巡回加群 {{mvar|C}} に対して {{math|Ext<sup>1</sup>(''C'', ''Q'') {{=}} 0}} 
* 任意の単射 {{math|''f'' : ''X'' &rarr; ''Y''}} と射 {{math|''g'' : ''X'' &rarr; ''Q''}} に対して {{math|''h'' ''f'' {{=}} ''g''}} となる射 {{math|''h'' : ''Y'' &rarr; ''Q''}} が存在する
:[[Image:Injective module.png]]
* 任意の単射準同型 {{math|''f'' : ''Q'' &rarr; ''M''}} は[[分裂単射]]
* 任意の短完全列  {{math|0 &rarr; ''Q'' &rarr; ''M'' &rarr; ''K'' &rarr; 0}} は[[分裂補題|分裂]]する

== 自己移入環 ==
環 ''R'' が自身の上の左加群として移入的であるとき、'''左自己移入環'''と呼ぶ。右自己移入環も同様。

== 性質 ==
* {{math|''Q<sub>i</sub>''}} はすべて移入加群 &hArr; {{math|&prod;''Q<sub>i</sub>''}} は移入加群

== Baerの判定法 ==
左 ''R''-加群 ''Q'' が移入加群であるための必要十分条件は、''R'' の任意の左イデアル ''L'' と任意の準同型 ''L''&rarr;''Q'' に対して、その拡張 ''R''&rarr;''Q'' が存在することである。

== 移入分解と移入次元 ==
加群 {{mvar|M}} に対し、各 <math>Q_i</math> が移入加群であるような次の完全列
:<math>0 \to M \to Q_0 \to Q_1 \to \cdots \to Q_n \to Q_{n+1} \to \cdots</math>
を {{mvar|M}} の'''[[移入分解]]'''という。任意の加群は移入分解をもつ。すべての {{math|''i'' > ''n''}} に対し {{math|1=''Q{{sub|i}}'' = 0}} であるような移入分解を'''長さ''' {{mvar|n}} の移入分解という。そのような {{mvar|n}} が存在する場合その最小値を {{mvar|M}} の'''移入次元'''といい、存在しない場合は移入次元は {{math|∞}} という。ただし、{{math|{{mset|0}}}} の移入次元は {{math|−1}} とする。移入次元は {{math|id(''M'')}} と書かれる。{{mvar|R}}-加群 {{mvar|M}} と整数 {{math|''n'' &ge; 0}} に対して以下は同値。
* {{math|id(''M'') &le; ''n''}}.
* 任意の {{mvar|R}}-加群 {{mvar|X}} に対して、<math>\operatorname{Ext}^{n+1}_R(X,M)=\{0\}.</math>
* 任意の ''i'' &ge; ''n''+1 と任意の {{mvar|R}}-加群 {{mvar|X}} に対して、<math>\operatorname{Ext}^i_R(X,M)=\{0\}.</math>

== 参考文献 ==
{{参照方法|date=2016年1月}}
* {{Cite book
|和書
|last1     = 岩永
|first1    = 恭雄
|author    = 岩永恭雄
|last2     = 佐藤
|first2    = 眞久
|coauthors = 佐藤眞久
|year      = 2002
|title     = [http://www.nippyo.co.jp/book/1984.html 環と加群のホモロジー代数的理論]
|edition   = 第1版
|publisher = 日本評論社
|isbn      = 4-535-78367-5
|ref       = harv
}}
* {{Cite book
|last1=Lam
|first1=Tsit-Yuen
|title=Lectures on modules and rings
|publisher=[[Springer-Verlag]]
|location=Berlin, New York
|series=Graduate Texts in Mathematics No. 189
|isbn=978-0-387-98428-5
|id={{MathSciNet|id=1653294}}
|year=1999
}}

== 関連項目 ==
* [[Ext群]]
* [[射影加群]]
* [[移入包絡]]
* [[可除群]]

{{Abstract-algebra-stub}}
{{Normdaten}}
{{デフォルトソート:にゆうしやかくん}}
[[Category:加群]]
[[Category:加群論]]
[[Category:数学に関する記事]]