全単射のソースを表示

{{出典の明記|date=2016年1月}}
[[数学]]において、'''全単射'''（ぜんたんしゃ）あるいは'''双射'''（そうしゃ）(bijective function, bijection) とは、[[写像]]であって、その写像の終域となる集合の任意の[[元 (数学)|元]]に対し、その元を写像の像とする元が、写像の定義域となる集合に常にただ一つだけ存在するようなもの、すなわち[[単射]]かつ[[全射]]であるような写像のことを言う。例としては、[[群論]]で扱われる[[置換 (数学)|置換]]が挙げられる。

全単射であることを'''1対1上への写像[上への1対1写像]''' (one-to-one onto mapping)あるいは'''1対1対応''' (one-to-one correspondence) ともいうが、紛らわしいのでここでは使用しない。

写像 ''f'' が全単射のとき、''f'' は'''可逆'''であるともいう。

==定義==
[[写像]] ''f'': ''A'' &rarr; ''B'' に対し、2つの条件
#全射性: ''f''(''A'') = ''B''
#単射性: 任意の ''A'' の元 ''a''{{sub|1}}, ''a''{{sub|2}} について、''f''(''a''{{sub|1}}) = ''f''(''a''{{sub|2}}) ならば ''a''{{sub|1}} = ''a''{{sub|2}}
がともに成り立つとき、写像 ''f'' は'''全単射''' (bijective) であるという。この用語は[[ブルバキ]]による。

''f'': ''A'' &rarr; ''B'' が全単射であることは、
:<math>\forall\ b \in B,\,\exists\ !\ a \in A \text{ s.t. } b=f(a)</math>
が成り立つことと等価である。実際、全射と単射の定義を合わせれば、全射の定義における[[存在記号]] <math>\exists</math> を唯一存在記号 <math>\exists\ !</math> に置き換えればよいことがすぐに分かる。

{|class="wikitable" style="text-align:center;"
|-
|[[画像:Total function.svg]]<br>全射でも単射でもない
|[[画像:Injection.svg]]<br>単射であり全射でない
|-
|[[画像:Surjection.svg]]<br>全射であり単射でない
|[[画像:Bijection.svg]]<br>全単射
|}

==例==
* ''f'': '''R''' &rarr; (0, &infin;); ''f''(''x'') := ''e''<sup>''x''</sup> は全単射である。

*''f'': (0, &infin;) &rarr; '''R'''; ''f''(''x'') := log ''x'' は全単射である。

*''f'': (&minus;{{pi}}/2, {{pi}}/2) &rarr; '''R'''; ''f''(''x'') := tan ''x'' は全単射である。

===存在の例===
* 冪集合 <math>\mathcal{P}(\mathbb{N})</math> から '''R''' への全単射が存在する．
* '''N''', '''Z''', '''Q''', '''P''' の間の全単射が存在する．ここで '''P''' は素数の全体である．
* '''R''', '''C''' の間の全単射が存在する．また，''a'' < ''b'' に対する閉区間 [''a'', ''b''], 半開区間 (''a'', ''b''], [''a'', ''b)'', 開区間 (''a'', ''b)'' や無限区間と '''R''' の間の全単射が存在する．

==性質==
*全単射は[[逆写像]]を持つ。実際、''f'': ''A'' &rarr; ''B'' が全単射であれば、''B'' の任意の元 ''b'' に対し、''f'' の全射性から ''f''(''a'') = ''b'' となる ''a'' が存在するが、''f'' の単射性からこのような ''a'' は ''b'' に対してただ一つしかないので、写像 ''g'': ''B'' &rarr; ''A''; ''f''(''a'') {{mapsto}} ''a'' が作れる。逆に、逆写像を持つ写像は全単射に限るので、写像が全単射であることと逆写像を持つことは同値である。言い換えると、''f'': ''A'' &rarr; ''B'' が全単射であることと、''g'': ''B'' &rarr; A が存在して <math>g\circ f=\mathrm{id}_A</math> かつ <math>f\circ g=\mathrm{id}_B</math> となることは同値である。
*2つの写像 ''f'': ''A'' &rarr; ''B'', ''g'': ''B'' &rarr; ''C'' の[[合成写像]] <math>g \circ f \colon A \to C </math> が全単射ならば ''f'' は[[単射]]で、''g'' は[[全射]]である。
*2つの全単射が合成できるならば、その合成写像も全単射である。
**集合 ''X'' 上の全単射全体の成す集合を ''S{{sub|X}}'' とすると、''S{{sub|X}}'' は写像の合成に関して[[群論|群]]を成す。これを ''X'' 上の置換群あるいは[[対称群]]と呼ぶ。
*集合全体のつくるクラス（類）において、「2つの集合の間に全単射が存在する」 という関係は[[同値関係]]を定める。この同値関係により集合全体の成すクラスを類別して[[濃度 (数学)|濃度]]の概念が定義される。すなわち、集合間で全単射が定義可能な場合、それらの集合は[[基数]]が等しい。
*''X'', ''Y'' が同数の元を持つ有限集合の場合、写像 ''f'': ''X'' &rarr; ''Y'' について、以下は同値である:
#''f'' は全単射である。
#''f'' は[[全射]]である。
#''f'' は[[単射]]である。

==関連項目==
* [[全射]]
* [[単射]]
* [[関数 (数学)]]
* [[MECE]]

{{集合論}}
{{DEFAULTSORT:せんたんしや}}
[[Category:関数の種類]]
[[Category:集合論]]
[[Category:数学に関する記事]]