八元数環のソースを表示

[[数学]]における[[可換体|体]] ''F'' 上の'''八元数代数'''または'''八元数環'''（はちげんすうかん、{{lang-en-short|''octonion algebra''}}）とは、''F'' 上 8-次元の[[合成代数]]、すなわち ''F'' 上 8-次元の[[単位的環|単位的]][[非結合多元環]]で'''ノルム'''（ノルム形式）と呼ばれる[[非退化形式|非退化]][[二次形式]] ''N'' を備えたものをいう。ノルム ''N'' は、条件
:<math>N(xy) = N(x)N(y)</math>
を ''A'' の各元 ''x'', ''y'' について満たす。

最もよく知られた八元数環は、[[実数]]体 '''R''' 上の八元数環である古典的なケーリーの[[八元数]]全体の成す多元体 '''O''' である。[[分解型八元数]]の全体もやはり '''R''' 上の八元数環を成す。[[多元環準同型| '''R'''-代数の同型]]の[[違いを除いて]] '''R''' 上の八元数環はこの二つのみである。

'''分解型八元数環'''はその二次形式 ''N'' が[[等方的二次形式|等方的]]である（つまり、''N''(''x'') = 0 となる非零ベクトルをもつ）ような八元数環をいう。体 ''F'' 上の分解型八元数環は ''F''-代数の同型を除いて一意的に存在する。''F'' が[[代数閉体]]または[[有限体]]のとき、それは ''F'' 上の唯一の八元数環である（「通常型」の八元数環は存在しない）。

八元数環は必ず非結合的になるが、より弱い形の結合性条件を満たす[[交代代数]]になる。さらに、任意の八元数環はムーファン恒等式を満足するので、その可逆元全体は（ノルムが 1 の元全体と同様に）[[ムーファン・ループ]]をなす。

== 分類 ==
[[アドルフ・フルヴィッツ|フルヴィッツ]]の定理は「ノルム形式の ''F''-同型類は ''F''-八元数環の同型類と一対一に対応する」というものである。さらに、ノルム形式として可能なものは、ちょうど ''F'' 上の[[フィスター形式|フィスター 3-形式]]になっている。

''F'' の代数閉体上の ''F''-八元数環はどの二つも同型となるから、ここに非可換[[ガロワコホモロジー]]の概念を適用することができる。特に、分解型八元数環の自己同型群は分解型[[代数群]] [[G2 (数学)| ''G''<sub>2</sub>]] であるという事実を用いれば、''F''-八元数環の同型類と ''F'' 上の ''G''<sub>2</sub>-[[主等質空間]]（トルソー）の同型類との対応を見ることができる。これらの同型類は非可換ガロワコホモロジー集合 <math>H^1(F, G_2)</math> を成す。

== 関連項目 ==
* [[八元数]]
* [[四元数環]]
* [[合成代数]]

== 参考文献 ==
*{{cite book | first= T. A. | last= Springer | coauthors= F. D. Veldkamp | year= 2000 | title= Octonions, Jordan Algebras and Exceptional Groups | publisher= Springer-Verlag | id= ISBN 3-540-66337-1}}
* {{cite book | first= J. P-. | last= Serre | year= 2002 | title= Galois Cohomology | publisher= Springer-Verlag}}
* {{cite book|和書|author=佐武一郎|title=リー環の話［新版］|publisher=日本評論社|series=日評数学選書}}

{{Normdaten}}
{{DEFAULTSORT:はちけんすうかん}}
[[Category:多元環論]]
[[Category:代数的構造]]
[[Category:非結合代数]]
[[Category:数学に関する記事]]