八円定理のソースを表示

[[ファイル:Dao's probelm on eight circles.svg|サムネイル|320x320ピクセル]]
[[幾何学]]において、'''八円定理'''（はちえんていり、 {{Lang-en|Eight circles theorem,Dao's eight circles theorem}} ）または'''ダオの八円定理'''は、8つの円に関する定理である<ref>{{Cite web |title=Crux Mathematicorum  VOLUME 39, NO. 5 |url=https://cms.math.ca/publications/crux/issue/?volume=39&issue=5 |access-date=2024-06-30 |language=en-US |archive-url=https://web.archive.org/web/20190222152017/https://cms.math.ca/crux/v39/n5/Problems_39_5.pdf |archive-date=2014-10-6}}</ref>。ある円上の6つの点{{Math|''A''{{sub|1}},''A''{{sub|2}},...,''A''{{sub|6}}}}と他の円上の6点{{Math|''B''{{sub|1}},''B''{{sub|2}},...,''B''{{sub|6}}}}について、i=1,2,3,4,5で、{{Math|''A''{{sub|''i''}},''A''{{sub|''i''+1}},''B''{{sub|''i''}},''B''{{sub|''i''+1}}}}が[[共円]]ならば、{{Math|''A''{{sub|6}},''A''{{sub|1}},''B''{{sub|6}},''B''{{sub|1}}}}も共円である。さらに、円{{Math|''A''{{sub|''i''}},''A''{{sub|''i''+1}},''B''{{sub|''i''}},''B''{{sub|''i''+1}}}}の中心を{{Math|''C''{{sub|''i''}}}}として、[[直線]]{{Math|''C''{{sub|1}}''C''{{sub|4}},''C''{{sub|2}},''C''{{sub|5}},''C''{{sub|3}}''C''{{sub|6}}}}は[[共点]]である。

== 証明 ==
証明の序盤は、ダオにより{{仮リンク|Canadian Mathematical Society|en|Canadian Mathematical Society}}の[[Crux Mathematicorum]]の3845番に掲載されている<ref>{{Cite web |title=Crux Mathematicorum-VOLUME 40, NO. 5 |url=https://cms.math.ca/publications/crux/issue/?volume=40&issue=5 |access-date=2024-06-30 |language=en-US |archive-url=https://web.archive.org/web/20190222152017/https://cms.math.ca/crux/v39/n5/Problems_39_5.pdf |archive-date=2015-9-5}}</ref>。

まず、[[ミケルの定理|ミケルの六円定理]]により、i=1,2,3で成り立つとき、4つの連鎖ならば{{Math|''A''{{sub|1}},''A''{{sub|4}},''B''{{sub|1}},''B''{{sub|4}}}}は共円でなければならない。そして円{{Math|''A''{{sub|1}},''A''{{sub|4}},''B''{{sub|1}},''B''{{sub|4}}}}と{{Math|''A''{{sub|4}},''A''{{sub|5}},''B''{{sub|4}},''B''{{sub|5}}}}と{{Math|''A''{{sub|5}},''A''{{sub|6}},''B''{{sub|5}},''B''{{sub|6}}}}に同様にミケルの六円定理を使うことで、{{Math|''A''{{sub|6}},''A''{{sub|1}},''B''{{sub|6}},''B''{{sub|1}}}}の共円が示される。同様の議論は偶数個の円においても示せる。

{{Math|''C''{{sub|1}}''C''{{sub|4}},''C''{{sub|2}},''C''{{sub|5}},''C''{{sub|3}}''C''{{sub|6}}}}が共点であることは、これら円の中心が成す[[六角形]]が、{{Math|''A''{{sub|''i''}},''B''{{sub|''i''}}}}の2円の中心を焦点とする[[円錐曲線]]に[[接する]]ことを示すことにより、[[ブリアンションの定理]]で示される。この証明はCrux Mathematicorumの問題3945で[[クリス・フィッシャー]]によって大まかに証明され、[[ミシェル・バタイユ]]によって補完された<ref>{{Cite web |title=Crux Mathematicorum VOLUME 41, NO. 5 |url=https://cms.math.ca/publications/crux/issue/?volume=41&issue=5 |access-date=2024-06-30 |language=en-US |publisher=[[Crux Mathematicorum]] |archive-url=https://web.archive.org/web/20190408015303/https://cms.math.ca/crux/v41/n5/Solutions_41_5.pdf |archive-date=2019-4-8}}</ref>。以下の補題の{{Math|''l'',''l' ''}}に{{Math|''A''{{sub|''i''}}''B''{{sub|''i''}},''A''{{sub|''i''+1}}''B''{{sub|''i''+1}}}}を当てはめる事により示される。

またこのほかにもGábor Gévay と Ákos G. Horváthによる高度な知識を使った証明や、Nguyen Chuong Chiによる初等的な解法もある<ref>{{Cite journal|author=Gábor Gévay,|year=2018|title=A remarkable theorem on eight circles,|url=http://forumgeom.fau.edu/FG2018volume18/FG201845.pdf|journal=[[Forum Geometricorum]],|issue=Volume 18|pages=401-408}}</ref><ref>{{Cite web |url=https://arxiv.org/abs/1804.10345v2 |title=A note on the centers of a closed chain of circles |access-date=2024/6/30 |publisher=[[arXiv]] |archive-url=}}</ref><ref>{{Cite journal|author=NGUYEN CHUONG CHI|year=2021|title=A Purely Synthetic Proof of the Dao’s Eight Circles Theorem|url=https://www.journal-1.eu/2021/Nguyen%20Chuong%20Chi.%20A%20Purely%20Synthetic%20Proof%20of%20the%20Dao%E2%80%99s%20Eight%20Circles%20Theorem,%20pp.%2087-91..pdf|journal=International Journal of Computer Discovered Mathematics|issue=vol 6|pages=87–91|issn=2367-7775}}</ref>。

=== 補題 ===
3つの円''{{Mvar|A,B,C}}''（中心も同名）があり、''{{Mvar|A,C}}''はそれぞれ{{Math|''A''{{sub|1}},''A''{{sub|2}}}}で、''{{Mvar|B,C}}''はそれぞれ{{Math|''B''{{sub|1}},''B''{{sub|2}}}}で交わっている。''{{Mvar|A,B}}''を焦点とするある円錐曲線が[[線分]]{{Math|''A''{{sub|1}}''B''{{sub|2}},''A''{{sub|2}}''B''{{sub|1}}}}の[[垂直二等分線]]{{Math|''l'',''l' ''}}に接することを示す。''{{Mvar|CA,CB}}''は{{Math|''A''{{sub|1}}''A''{{sub|2}},''B''{{sub|1}}''B''{{sub|2}}}}の垂直二等分線であることから、{{Math|∠(''l'' ,''r'')}}で直線{{Math|''l'' ,''r''}}の成す[[有向角]]を表すとして、

<math>\angle (CA,l)=\angle (A_{1}A_{2},A_{1}B_{1}),\quad\angle (BA,l')=\angle (B_{1}B_{2},B_{2}A_{2})</math>

が成り立ち、さらに[[円周角の定理]]から

<math>\angle (CA,l)+\angle (BA,l')=0</math>

である。したがって{{Math|''l'',''l' ''}}は''{{Mvar|CA,CB}}''に対する[[等角共役|等角共役線]]であり、今{{Math|''l' ''}}が''{{Mvar|A,B}}''を焦点とする円錐曲線''{{Mvar|Γ}}''に接しているとし、さらに''{{Mvar|C}}''を通り、''{{Mvar|Γ}}''に接する{{Math|''l' ''}}でない[[直線]]{{Math|''m''}}があるとすると、よく知られた定理（The second little Poncelet theorem<ref>{{Cite journal|last=Pecker|first=Daniel|date=2012-12|title=Poncelet's theorem and Billiard knots|url=https://hal.science/hal-00628619|journal=Geometriae Dedicata|volume=161|issue=1|pages=323–333}}</ref>）により、{{Math|''m''}}は{{Math|''l''}}以外にありえない。したがって{{Math|''l'',''l' ''}}は''{{Mvar|Γ}}''に接する。

== ブリアンションの定理との関係 ==
八円定理は円に対するブリアンションの定理の一般化となっている<ref>{{Cite journal|author=Dao Thanh Oai|year=2016|title=The Nine Circles Problem  and the Sixteen Points Circle|url=https://www.journal-1.eu/2016-2/Dao-Thanh-Oai-sixteen-points-pp.21-24.pdf|journal=International Journal of Computer Discovered Mathematics (IJCDM)|volume=Volume 1|issue=No.2|pages=21-24}}</ref><ref>{{Cite journal|author=DAO THANH OAI ,CHERNG-TIAO PERNG|year=2016|title=ON THE EIGHT CIRCLES THEOREM AND ITS DUAL|url=https://ijgeometry.com/wp-content/uploads/2019/09/49-53.pdf|journal=INTERNATIONAL JOURNAL OF GEOMETRY|volume=Volume 8|issue=No.2|pages=49-53}}</ref>。さらにこの定理の[[双対]]は円における[[パスカルの定理]]やDao-symmedial circleの一般化になる<ref>{{Cite web |title=ENCYCLOPEDIA OF TRIANGLE CENTERS Part4 |url=https://faculty.evansville.edu/ck6/encyclopedia/ETCPart4.html#X5092 |website=faculty.evansville.edu |access-date=2024-06-30}}</ref>。

== 関連項目 ==

* {{仮リンク|ダオの六角形の周上の六円定理|nl|Stelling van Dao over zes cirkelmiddelpunten}}
* [[ミケルの定理]]
* [[五円定理]]
* [[六円定理]]
* [[七円定理]]
* [[六円定理|九円定理]]
* {{仮リンク|バンドル定理|en|Bundle theorem}}

== 出典 ==
{{Reflist}}

== 外部リンク ==

* [https://www.geogebra.org/m/Zk3F5y5X GeoGebra]
* [https://www.geogebra.org/m/BYuZBym2 八円問題]
* [https://www.geogebra.org/m/rhjsmdhe 八円定理の一般化の逆]
* [https://www.geogebra.org/m/GdeKPQVu 八円定理の特別な場合]
* [https://www.geogebra.org/m/fdpemyrk 八円定理の特別な場合の逆]
{{デフォルトソート:はちえんていり}}
[[Category:数学に関する記事]]
[[Category:円に関する定理]]