八十五角形のソースを表示

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'''八十五角形'''（はちじゅうごかくけい、はちじゅうごかっけい、octacontapentagon）は、[[多角形]]の一つで、85本の[[辺]]と85個の[[頂点]]を持つ[[図形]]である。[[内角]]の[[加法|和]]は14940°、[[対角線]]の本数は3485本である。

== 正八十五角形 ==
正八十五角形においては、中心角と外角は4.235…°で、内角は175.764…°となる。一辺の長さが a の正八十五角形の面積 S は
:<math>S = \frac{85}{4}a^2 \cot \frac{\pi}{85} \simeq 574.68541 a^2</math>

<math>\cos (2\pi/85)</math>を有理数と平方根で表すことが可能である。
:<math>\begin{align}
\cos\frac{2\pi}{85}=&\cos \left(\frac{\pi}{5}-\frac{3\pi}{17}\right)\\
=&\cos\frac{\pi}{5}\cos\frac{3\pi}{17}+\sin\frac{\pi}{5}\sin\frac{3\pi}{17}\\
=&\frac{\sqrt5+1}{4}\cos\frac{3\pi}{17}+\frac14\sqrt{10-2\sqrt{3}}\sin\frac{3\pi}{17}\\
=&\frac{\sqrt5+1}{4}\cdot \frac{1}{16} \left( +1+\sqrt{17}+\sqrt{34+\sqrt{68}} + \sqrt{68-\sqrt{2448}-\sqrt{2720-\sqrt{6284288}}} \right)\\
&+\frac14\sqrt{10-2\sqrt{5}}\cdot \frac{1}{8} \left( \sqrt{34 + \sqrt{68} - \sqrt{136+\sqrt{1088}} - \sqrt{272-\sqrt{39168}+\sqrt{43520-\sqrt{1608777728}}}} \right)
\end{align}</math>

=== 正八十五角形の作図 ===
正八十五角形は[[定規とコンパスによる作図]]が可能な図形の一つである。

正八十五角形がコンパスと定規で作図できることは[[1796年]]に[[カール・フリードリヒ・ガウス]]が[[正十七角形]]がコンパスと定規で作図できることを発見したと同時に証明されたことになる。これは任意の[[三角関数]]において、その[[変数 (数学)|変数]]としての[[角度|角]]が 2π/85 [[ラジアン|rad]]のとき、関数の値が[[有理数]]と[[平方根]]の組み合わせのみで表現できることを意味する。
[[ファイル:Regular 85-gon Inscribed in a Circle.gif|480px|サムネイル|なし|正八十五角形の作図]]

== 脚注 ==
{{脚注ヘルプ}}
{{Reflist}}

== 関連項目 ==
* [[五角形]]
* [[十七角形]]

== 外部リンク ==
{{ウィキポータルリンク|数学}}

{{多角形}}

{{DEFAULTSORT:はちしゆうこかくけい}}
[[Category:多角形]]
[[Category:数学に関する記事]]
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