八次方程式のソースを表示

{{出典の明記|date=2017年7月19日 (水) 14:53 (UTC)}}

'''八次方程式'''（はちじほうていしき、{{Lang-en-short|octic equation}}）とは、次数が8の[[代数方程式]]である。

== 概要 ==
八次方程式は、以下の形で表される方程式のことである。

:<math>a_8x^8 + a_7x^7 + a_6x^6 + a_5x^5 + a_4x^4 + a_3x^3 + a_2x^2 + a_1x + a_0=0\quad (a_8\ne 0)</math>

この方程式には[[アーベル–ルフィニの定理]]より、[[代数方程式#代数方程式の解法|代数的]]な解法はない（[[五次方程式]]と同様）。

しかし、少しの誤差を気にしないならば近似的に解を求める方法として[[ニュートン法]]や[[二分法]]、[[ホーナー法]]が有効である。

== 解法 ==
一部の八次方程式は解を求めることができる。

<math>x^8=1</math>

[[ド・モアブルの定理]]より、
:<math>\xi_8^k=\cos \frac{2\pi k}{8} +i\sin \frac{2\pi k}{8} \quad (k=1,2, \cdots, 8)</math>

<math>x =\frac{\sqrt{2} + \sqrt{2}\,i}{2}, i, \frac{-\sqrt{2} + \sqrt{2}\,i}{2}, -1, \frac{-\sqrt{2} - \sqrt{2}\,i}{2}, -i, \frac{\sqrt{2} - \sqrt{2}\,i}{2}, 1</math>

{{See Also|1の冪根}}

== ガロア群 ==
* {{math|''S''<sub>8</sub>}} [[対称群]]（[[位数 (群論)|位数]] 40320）
* {{math|''A''<sub>8</sub>}} [[交代群]]（位数 20160） - [[有限単純群の分類|有限単純群]]
など

== 関連項目 ==
*[[代数学]]
*[[代数方程式]]
*[[高次方程式]]
** [[五次方程式]]（Quintic equation）

== 出典 ==
{{脚注ヘルプ}}
{{Reflist}}

== 外部リンク ==
* [https://scholarworks.umt.edu/cgi/viewcontent.cgi?article=1071&context=tme On the Solution to Octic Equations]
* [https://groupprops.subwiki.org/wiki/Alternating_group:A8 Alternating group:A8 - Groupprops]
* [https://groupprops.subwiki.org/wiki/Subgroup_structure_of_alternating_group:A8 Subgroup structure of alternating group:A8  - Groupprops]
* {{PDFlink|[http://www6338.la.coocan.jp/mathematics/8th-equation.pdf  特殊な8次方程式の代数的解法]|28.3203&nbsp;[[キビバイト|KiB]]}}

{{代数方程式}}
{{デフォルトソート:はちしほうていしき}}
[[Category:代数方程式]]
[[Category:数学に関する記事]]

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