公式のソースを表示

{{See Wiktionary|数学における式}}
{{出典の明記|date=2024年3月}}
[[数学]]において'''公式'''（こうしき、{{Lang-en|formula}}）とは、[[数式]]で表される[[定理]]のことである。

比喩や俗称としての「公式」は「その他」の項にまとめている。

== 例 ==
=== 数学 ===
* 展開・[[因数分解]]公式:
*: <math>(a+b)^2=a^2+2ab+b^2</math>
*: <math>(a+b)(a-b)=a^2-b^2</math>
*: <math>a^n-1=(a-1)(a^{n-1}+a^{n-2}+\cdots +a+1)</math>
*: <math>(a+b)^n =\sum_{k=0}^n {n \choose k} a^{n-k} b^k (=\sum_{k=0}^n {}_n \text{C}_k a^{n-k} b^k )</math>
* [[二次方程式]] <math>ax^2+bx+c=0</math> の[[二次方程式の解の公式|解の公式]]:
*: <math>x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}.</math>
* [[ピタゴラスの定理]]:
*: <math>c^2=a^2+b^2</math>
*: <math>a,b,c</math> は直角三角形の三辺の長さ。ただし <math>c</math> を斜辺とする。
*: この定理から三角関数における次の等式も導かれる。
*: <math>\cos^2 \theta+\sin^2\theta=1</math>
* [[ヘロンの公式]]
*: <math>S = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}</math>
*: <math>a,b,c</math> は三角形の三辺の長さ。この三角形の面積を <math>S</math> とする。
*: ここで、<math>s</math> は[[半周長]]で、次式で定義される。
*: <math>s = \frac{a+b+c}{2}</math>
* [[複素解析]]における[[オイラーの公式]]: <math>e^{i\theta}=\cos\theta+i\sin\theta</math>
* [[スターリングの近似]]
*: <math>n! \sim \sqrt{2 \pi n} \left({n \over e}\right)^n.</math>
*: ただし、<math>n</math> は自然数で、<math>n!</math> は <math>n</math> の[[階乗]]を表す。
* [[三角関数]]の[[加法定理]]（加法公式）
*: <math>\sin(\alpha+\beta)=\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta</math>
*: <math>\sin(\alpha-\beta)=\sin\alpha\cos\beta-\cos\alpha\sin\beta</math>
*: <math>\cos(\alpha+\beta)=\cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta</math>
*: <math>\cos(\alpha-\beta)=\cos\alpha\cos\beta+\sin\alpha\sin\beta</math>
*: <math>\tan(\alpha+\beta)=\frac{\tan\alpha+\tan\beta}{1-\tan\alpha\tan\beta}</math>
*: <math>\tan(\alpha-\beta)=\frac{\tan\alpha-\tan\beta}{1+\tan\alpha\tan\beta}</math>
* [[余弦定理]]
*: △ABC で ''a'' = BC, ''b'' = CA, ''c'' = AB, ''α'' = ∠CAB, ''β'' = ∠ABC, ''γ'' = ∠BCA とするとき、
*: ''a''{{sup|2}} = ''b''{{sup|2}} + ''c''{{sup|2}} &minus; 2''bc'' cos ''α''
*: ''b''{{sup|2}} = ''c''{{sup|2}} + ''a''{{sup|2}} &minus; 2''ca'' cos ''β''
*: ''c''{{sup|2}} = ''a''{{sup|2}} + ''b''{{sup|2}} &minus; 2''ab'' cos ''γ''
* [[ベクトル解析]]における[[ストークスの定理]]
*: <math>\iint_S \mathrm{rot} \, \boldsymbol{A}\cdot\boldsymbol{n}dS=\oint_{\partial S}\boldsymbol{A}\cdot d\boldsymbol{s}</math>

=== 物理学 ===
[[物理法則]]を表した[[基礎方程式]]が広く知られる。

* [[ニュートンの運動方程式]]                     
*: <math>m\frac{d^2 \boldsymbol{r}}{dt^2}=\boldsymbol{F}</math>
* [[マクスウェルの方程式]]
*: [[ガウスの法則]] <math>\mathrm{div} \, \boldsymbol{D} =\rho</math>
*: ガウスの法則 <math>\mathrm{div} \, \boldsymbol{B} =0</math>
*: [[ファラデーの電磁誘導の法則]] <math>\mathrm{rot} \, \boldsymbol{E}=-\frac{\partial\boldsymbol{B}}{\partial t}</math>
*: [[アンペールの法則]] <math>\mathrm{rot} \, \boldsymbol{H}=j+\frac{\partial\boldsymbol{D}}{\partial t}</math>
*:
*:
*:

== 道具としての公式 ==
公式は定理であるから、一度その式が成り立つことを（場合によっては[[変数 (数学)|変数]]に制限を加えて）証明すれば、次に同じ問題に遭遇したときには式に現れる変数に、その状況に応じた値を代入するだけで答えが求まるため、計算や考察の手間を省くことができる。

しかし、公式を適用できる場面でなければ公式は使用できず、公式が適用可能かどうかはその公式の証明の内容が握っている。

=== 暗記学習 ===
{{独自研究|section= 1|date= 2021年2月6日 (土) 01:47 (UTC)}}
初等教育においては、公式を知っていれば直ちに解答を得るような問題に、基礎演習として触れる機会が少なくない。

そのため、「数学とは公式の暗記である」と捉えてしまうものが少なからず存在する。しかし、このような捉え方をしてしまうと、丸暗記のみに専念することで、柔軟な発想ができなくなる、公式を知らないから解けないと投げ出してしまう、などのデメリットがあるとされる。

=== 公式集 ===
有用な公式を多数集めた公式集と呼ばれる本が市販されている。そのような本に載っている公式の数は膨大であり、かつそれぞれの形も複雑である。

=== その他 ===
数学の公式は、その物事を理解していなくても、変数に数値を入れて計算すれば必要な数値が得られる解決策であるため、比喩的に「問題を簡単に解決することができる魔法のようなもの」というような意味で用いられることがある。同様な意味で「[[方程式]]」という言葉が用いられることも多い（ただし、方程式は単に未知数を含む等式という意味であり、すべてが解決しているわけではない。）。

== 数学公式集の例 ==
{{節スタブ|date= 2021年2月6日 (土) 01:47 (UTC)}}
* [[矢野健太郎 (数学者)|矢野健太郎]]監修、春日正文編 『モノグラフ 公式集』 [[科学新興新社|科学振興新社]] 1968年初版、1998年第5訂版 ISBN 9784894281639
* [[小林幹雄]]他編 『共立全書138 数学公式集』 [[共立出版]]、1970年
* [[森口繁一]], [[宇田川銈久]], [[一松信]]：「岩波 数学公式」（新装版）、岩波書店、1987年
**   I　「微分積分・平面曲線」、ISBN 9784000055079
**  II　「級数・フーリエ解析」、ISBN 9784000055086
** III　「特殊函数」、ISBN 9784000055093
* [[大槻義彦]]訳：「数学大公式集」、丸善 (1983年12月1日) ※ ソ連の "積分、級数、乗積の公式集" （原著1971年発行）の日本語訳。原著や英語への翻訳版、英語版の改訂版の状況などについては[[:en:Gradshteyn and Ryzhik]]を参照されたい。
* 大槻義彦監修、[[室谷義昭]]訳：「新数学公式集Ⅰ：初等関数」、丸善、ISBN 4-621-03623-8 (1991年9月30日). ※ソ連の公式集が元
* 大槻義彦監修、室谷義昭訳：「新数学公式集Ⅱ：特殊関数」、丸善、ISBN 4-621-03682-3 (1992年3月10日). ※ソ連の公式集が元
* {{Cite book | editor1-last=Abramowitz | editor1-first=Milton | editor1-link=ミルトン・アブラモビッツ | editor2-last=Stegun | editor2-first=Irene A. | editor2-link=アイリーン・ステガン | title=[[Abramowitz and Stegun|Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables]] | publisher=[[Dover Publications]] | location=New York | isbn=978-0-486-61272-0 | year=1972}}
* {{Cite web |url=https://dlmf.nist.gov/ |title=Digital Library of Mathematical Functions (DLMF) |access-date=2024-11-19 |publisher=[[アメリカ国立標準技術研究所]]}}
*　Bateman Manuscript Project: ''Higher Transcendental Functions'', 3 volumes., McGraw Hill 1953/1955, Krieger 1981.
** [https://authors.library.caltech.edu/records/cnd32-h9x80 Bateman, Harry and Bateman Manuscript Project: ''Higher Transcendental Functions'', Volumes I-III (1953), Caltech Authors.]
*　Bateman Manuscript Project: ''Tables of Integral Transforms'', 2 volumes.,   McGraw Hill 1954.
** [https://authors.library.caltech.edu/records/mhd23-e0z22 Bateman, Harry and Bateman Manuscript Project: ''Tables of Integral Transforms'', Volumes I-II (1954), Caltech Authors.]
* Encyclopedia of Special Functions: The Askey-Bateman Project, Cambridge University Press
** Vol.I,   ''Univariate Orthogonal Polynomials'', (Ed. Mourad E.H.Ismail), ISBN 9780511979156 (2020).
** Vol.II,  ''Multivariable Special Functions'', (Eds. Tom H. Koornwinder, Jasper V. Stokman),ISBN 9780511777165 (2020).
** Vol.III, ''Hypergeometric and Basic Hypergeometric Functions'', (Ed. Mourad E.H.Ismail) , to be printed.
* Yury A. Brychkov: ''Handbook of Special Functions : Derivatives, Integrals, Series and Other Formulas'', CRC Press, ISBN 978-1-58488-956-4 (2008).

== 関連項目 ==
* [[数学]]
* [[定理]]
* [[定石]]

{{DEFAULTSORT:こうしき}}
[[Category:数式]]
[[Category:数学の定理]]
[[Category:数学に関する記事]]