六乗数のソースを表示

[[算術|算術演算]]および[[代数学|代数演算]]において、'''六乗数'''（ろくじょうすう、英語：sixth power）とは、ある数値 ''n'' の6乗となる数値。

すなわち

: {{Math|1=''n''<sup>6</sup> = ''n'' × ''n'' × ''n'' × ''n'' × ''n'' × ''n''|size=120%}}.

六乗数は、[[五乗数]]に数値 ''n'' をかけたものであり、[[二重平方数]]に[[平方数]]をかけたもの、[[立方数]]に同じ立方数をかけたもの、および平方数を3乗したものである。
==整数の六乗数==
[[整数]]の六乗数を列記すると以下の通り。

: 0, 1, 64, 729, 4096, 15625, 46656, 117649, 262144, 531441, 1000000, 1771561, 2985984, 4826809, 7529536, 11390625, 16777216, 24137569, 34012224, 47045881, 64000000, 85766121, 113379904, 148035889, 191102976, 244140625, 308915776, 387420489, 481890304, ... （{{OEIS|id=A001014}}）

ここには、[[西洋の命数法]]において重要な[[十進法]]の数10<sup>6</sup>（[[1000000|100万]]）、100<sup>6</sup>（1兆）、1000<sup>6</sup>（100京）が含まれる。

== 平方と立方 ==
整数の六乗数は、平方数と立方数の両方の特性を持つ数である<ref>{{Citation|journal=Mechanics' Magazine and Journal of Science, Arts, and Manufactures|volume=4|publisher=Knight and Lacey|date=April 30, 1825|number=88|first1=Richard|last=Dowden|page=54|url=https://books.google.com/books?id=ivs-AQAAMAAJ&pg=PA50|title=(untitled)}}</ref>。このように、[[図形数]]の2つの他のクラスに関連している。1つが平方数でも三角数でもある[[平方三角数]]であり、もう1つがキャノンボール問題の解であり、これは平方数でも四角錐数でもある。

平方数や立方数との関係により、六乗数は、次の形式で表される[[楕円曲線]]である[[モーデル曲線]]の研究で重要な役割を果たす。

: <math>y^2=x^3+k.</math>

<math>k</math> が六乗数で割り切れる場合、それで割ることでこの式を同じ形式でより単純な式にすることができる。Rudolf FueterとLouis J. Mordellにより証明された数論の有名の結果は、<math>k</math> が六乗数で割り切れない整数である場合（例外的ケースである<math>k=1</math> と <math>k=-432</math>は除く）、この方程式は<math>x</math> と <math>y</math> の両方が0でない合理的な解を持たないか、無限にあるかのどちらかであると述べている<ref>{{Citation|last=Ireland|first1=Kenneth F.|last2=Rosen|first2=Michael I.|isbn=0-387-90625-8|mr=661047|page=289|publisher=Springer-Verlag, New York-Berlin|series=Graduate Texts in Mathematics|title=A classical introduction to modern number theory|url=https://books.google.com/books?id=RDzrBwAAQBAJ&pg=PA289|volume=84|year=1982}}.</ref>。

剰余の性質としては、元の数が7の倍数でない六乗数を7で割ると1余り、3の倍数でない数の六乗数は9で割ると1余る。

[[ロバート・レコード]]による古い表記法では、六乗数は"zenzicube"と呼ばれ、これは立方数の平方を意味する。同様に、[[バースカラ2世]]により12世紀の[[インドの数学|インド数学]]で使われていた六乗数の表記も立方数の平方、もしくは平方数の立方と呼ばれていた<ref>{{Citation|title=A History of Mathematical Notations|series=Dover Books on Mathematics|first1=Florian|last=Cajori|author-link=Florian Cajori|publisher=Courier Corporation|year=2013|isbn=9780486161167|page=80|url=https://books.google.com/books?id=_byqAAAAQBAJ&pg=PA80}}</ref>。

== 総和 ==
7つの六乗数の合計として表現できる六乗数の例は多くあるが、6つの六乗数の合計として表現可能な六乗数の例はまだ知られていない<ref name="meyrignac">Quoted in {{Cite web|author=Meyrignac|first=Jean-Charles|url=http://euler.free.fr/records.htm|title=Computing Minimal Equal Sums Of Like Powers: Best Known Solutions|date=14 February 2001|accessdate=17 July 2017}}</ref>。これにより指数''k'' = 1, 2, ... , 8の累乗の間で一意となり、その他はそれぞれk個のk乗数の和として表すことができる。さらにその一部は（[[オイラー予想|オイラーの累乗の和の予想]]に反して）それより少ないk乗数の和で表すことができる。

[[ウェアリングの問題]]に関連して、十分大きい整数はすべて最大24個の整数の六乗数で表すことができる<ref>{{Citation|last=Vaughan|first1=R. C.|last2=Wooley|first2=T. D.|doi=10.1215/S0012-7094-94-07626-6|number=3|journal=Duke Mathematical Journal|mr=1309326|pages=683–710|title=Further improvements in Waring's problem. II. Sixth powers|volume=76|year=1994}}</ref>。

[[ディオファントス方程式]]には無限に多くの異なる非自明な解がある<ref>{{Citation|last=Brudno|first1=Simcha|doi=10.2307/2005335|number=135|journal=Mathematics of Computation|mr=0406923|pages=646–648|title=Triples of sixth powers with equal sums|volume=30|year=1976}}</ref>。

: <math>a^6+b^6+c^6=d^6+e^6+f^6.</math>

方程式

: <math>a^6+b^6=c^6+d^6</math>

が非自明な解を持つかどうかは証明されていない<ref>{{Citation|last=Bremner|first1=Andrew|last2=Guy|first2=Richard K.|doi=10.2307/2323442|number=1|journal=American Mathematical Monthly|mr=1541235|pages=31–36|title=Unsolved Problems: A Dozen Difficult Diophantine Dilemmas|volume=95|year=1988}}</ref>。しかし、[[ランダー・パーキン・セルフリッジ予想]]は持たないかもしれないことを含んでいる。

== 関連項目 ==
*[[累乗数]]
* [[六次方程式]]
* [[七乗数]]

== 脚注 ==
{{Reflist}}

== 外部リンク ==
* {{MathWorld|id=DiophantineEquation6thPowers|title=Diophantine Equation—6th Powers}}

{{Classes of natural numbers}}
{{DEFAULTSORT:ろくしようすう}}
[[Category:整数の類]]
[[Category:数論]]
[[Category:数学に関する記事]]
{{DEFAULTSORT:ろくしようすう}}