六次方程式のソースを表示

'''六次方程式'''（ろくじほうていしき、{{Lang-en|sextic equation}}）とは、次数が6であるような代数方程式のこと。
== 概要 ==
一般に一変数の六次方程式は
: <math> a_6 x^6 + a_5 x^5 + a_4 x^4 + a_3 x^3 + a_2x^2+a_1x + a_0 = 0 \quad (a_6 \ne 0)</math>
の形で表現される。

五次以上の一般の方程式に対する代数的解法は存在しない。すなわち、一般の五次方程式に対して''代数的な'''''根の公式は存在しない'''。これは[[パオロ・ルフィニ|ルフィニ]]、[[ニールス・アーベル|アーベル]]らによって示された（[[アーベル–ルフィニの定理]]参照）。これは六次方程式にも当てはまるので、一般の六次方程式に対して代数的な'''根の公式は存在しない'''。 また[[エヴァリスト・ガロア|ガロア]]によって方程式が代数的に解ける条件が裏付けられている<ref name="Mathworld - Sextic Equation2">{{Cite web |title=Sextic Equation |url=https://mathworld.wolfram.com/ |website=mathworld.wolfram.com |access-date=2023-07-14 |language=en |first=Eric W. |last=Weisstein}}</ref>（[[ガロア理論]]参照）。

なお、代数的ではないが、[[楕円関数]]などを用いた根の公式は存在する。

== 解法 ==
一部の六次方程式は、{{仮リンク|カンペドフェリエの超幾何関数|en|Kampé de Fériet function}}（2変数の一般化された超幾何関数）で解くことができる<ref name="Mathworld - Sextic Equation">[http://mathworld.wolfram.com/SexticEquation.html Mathworld - Sextic Equation]</ref>。

=== チルンハウス変換 ===
[[チルンハウス変換]]などにより以下の式となる<ref>[https://mathoverflow.net/questions/233537/solving-the-sextic-equation-using-univariate-analytic-functions-and-arithmetic-o Solving the sextic equation using univariate analytic functions and arithmetic operations]</ref>。
: <math> x^6 + x^2 + a x + b = 0</math>

== ガロア群 ==
6次[[対称群]]の[[部分群]]のうち，[[群作用#作用の種類|可移]]である15個の[[共役類]]について，[[交換子群]]の列を示す<ref>[https://ikumi.que.jp/blog/wp-content/uploads/2019/04/subgroup.pdf 部分群の計算法]</ref><ref>[http://www.isc.meiji.ac.jp/~kurano/soturon/ronbun/14kurano.pdf 2014年度藏野研究室卒業論文「S6の部分群の分類」]</ref>。この内12個が[[可解群]]である。

* {{math|''S''<sub>6</sub>}} 6次対称群（[[位数 (群論)|位数]] 720）<math>\mathfrak{S}_6</math>
* {{math|''A''<sub>6</sub>}} 6次[[交代群]]（位数 360） <math>\mathfrak{A}_6</math>
* [[中心化群と正規化群|正規化群]] <math>N_{\mathfrak{S}_6} (S_3)</math>
* {{math|''C''<sub>6</sub>}} 6次[[巡回群]]
など


6次対称群の部分群<ref>[https://thesis.unipd.it/retrieve/c3ea2640-90e5-4ec2-b0b5-aff91c7da479/Fumiani_Massimo.pdf Solving Solvable Quartic, Quintic and Sextic Equations]</ref>
{| class="wikitable"
|-
| G<sub>f</sub> || ''S''<sub>6</sub> || ''A''<sub>6</sub> || ''H''<sub>120</sub> || ''G''<sub>72</sub> || ''Γ''<sub>60</sub> || ''G''<sub>48</sub> || ''Γ''<sub>36</sub> || ''G''<sub>36</sub> || ''Γ''<sub>24</sub> || ''G''<sub>24</sub> || ''H''<sub>24</sub> || ''G''<sub>18</sub> || ''Γ''<sub>12</sub> || ''G''<sub>12</sub> || ''C''<sub>6</sub> || ''H''<sub>6</sub>
|-
| [[位数 (群論)|位数]] || 720 || 360 || 120 || 72 || 60 || 48 || 36 || 36 || 24 || 24 || 24 || 18 || 12 || 12 || 6 || 6
|}

== 脚注 ==
{{脚注ヘルプ}}
{{Reflist}}

== 参考文献 ==
* Coble, A. B. "The Reduction of the Sextic Equation to the Valentiner Form--Problem." Math. Ann. 70, 337-350, 1911a.
* Coble, A. B. "An Application of Moore's Cross-Ratio Group to the Solution of the Sextic Equation." Trans. Amer. Math. Soc. 12, 311-325, 1911b.
* Cole, F. N. "A Contribution to the Theory of the General Equation of the Sixth Degree." Amer. J. Math. 8, 265-286, 1886.
* Y. Mochimaru, New way for a two-parameter canonical form of sextic equations and its Solvable cases, Int. J. Pure and Applied Math., 18 (2005), 215-224.
* Mochimaru, Yoshihiro. SOLUTION OF SEXTIC EQUATIONS. International Journal of Pure and Applied Mathematics - Volume. 23 (2005), 575-583.

== 関連項目 ==
* {{仮リンク|カンペドフェリエの超幾何関数|en|Kampé de Fériet function}} - {{仮リンク|マリー＝ジョゼフ・カンペ・ド・フェリエ|en|Joseph Kampé de Fériet}}（Marie-Joseph Kampé de Fériet）により導入された。
* {{仮リンク|ヴァレンティナー群|en|Valentiner group}}
* [[ロジャース＝ラマヌジャン恒等式#ロジャース＝ラマヌジャン連分数|ロジャース＝ラマヌジャン連分数]]

== 外部リンク ==
* [http://mathworld.wolfram.com/SexticEquation.html Sextic Equation -- from Wolfram MathWorld]
* [https://edoc.hu-berlin.de/bitstream/handle/18452/3275/11.pdf?sequence=1 Resolution of degree ≤ 6 algebraic equations by genus two theta constants]

{{代数方程式}}

{{DEFAULTSORT:ろくしほうていしき}}
[[Category:代数方程式]]
[[Category:数学に関する記事]]

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