六点円のソースを表示

[[Image:Cercle Taylor.png|thumb|六点円]]
'''六点円'''（ろくてんえん）とは、[[三角形]]のそれぞれの[[頂点]]から下ろした[[垂線]]の足から他の2辺に下ろした合計6個の垂線の足を通る[[円 (数学)|円]]である。この6点が同一[[円周]]上にあるという[[定理]]を「六点円の定理」という。

1880年代に[[ヘンリー・マーティン・テイラー]]がこの円に関する論文を発表したことから、欧米ではテイラー円という呼び方が一般的である。

==証明==
この円の存在の証明は中学校までに習う[[幾何学]]の知識で可能である。

上の図で、∠AA'B=∠AB'B より A,B,A',B' は同一円周上にある。よって∠CBA=∠CB'A' なので⊿CBA∽⊿CB'A'。同様に⊿CA'B'∽⊿CA<sub>3</sub>B<sub>3</sub>。

⊿CA'H∽⊿CC<sub>3</sub>C', ⊿CB'H∽⊿CC<sub>2</sub>C' より、CA':CC<sub>3</sub>=CH:CC'=CB':CC<sub>2</sub> よって⊿CA'B'∽⊿CC<sub>3</sub>C<sub>2</sub>。

⊿CA<sub>3</sub>B<sub>3</sub>∽⊿CC<sub>3</sub>C<sub>2</sub> なので∠CA<sub>3</sub>B<sub>3</sub>=∠CC<sub>3</sub>C<sub>2</sub> であり、A<sub>3</sub>,B<sub>3</sub>,C<sub>3</sub>,C<sub>2</sub> の4点は[[共円|同一円周上にある]]。同様に、A<sub>2</sub>,B<sub>2</sub>,B<sub>3</sub>,C<sub>3</sub> の4点も同一円周上にある。

⊿CBA∽⊿C'B'A∽⊿C<sub>2</sub>B<sub>2</sub>A より、CB と C<sub>2</sub>B<sub>2</sub> は平行である。

⊿CBA∽⊿CB'A'∽⊿CC<sub>2</sub>C<sub>3</sub>,⊿CBA∽⊿C'BA'∽⊿B<sub>2</sub>BB<sub>3</sub> より ∠CC<sub>3</sub>C<sub>2</sub>=∠B<sub>2</sub>B<sub>3</sub>B=∠B<sub>3</sub>B<sub>2</sub>C<sub>2</sub> これより B<sub>2</sub>,B<sub>3</sub>,C<sub>2</sub>,C<sub>3</sub> の4点も同一円周上にある。

以上により6点が同一円周上にあることが示された。

==中心と半径==
六点円の中心は、[[外心]]・[[ルモワーヌ点]]らと同一直線（ブロカール軸）上にある<ref>{{Cite web |title=Brocard Axis |url=https://mathworld.wolfram.com/BrocardAxis.html |website=mathworld.wolfram.com |access-date=2024-04-26 |language=en |first=Eric W. |last=Weisstein}}</ref>。[[クラーク・キンバリング|クラーク・キンバーリング]]の[[Encyclopedia of Triangle Centers]]では、X(389)として登録されており、3つの内角の大きさを ''α'', ''β'', ''γ'' とすると、三線座標は以下の式で与えられる<ref>{{Cite web |title=ENCYCLOPEDIA OF TRIANGLE CENTERS X(389) |url=https://faculty.evansville.edu/ck6/encyclopedia/ETC.html#X389 |website=faculty.evansville.edu |access-date=2024-03-24}}</ref>。

<math>\cot\alpha(\cot\alpha\cot\beta\cot\gamma)-\sin\alpha:\cot\beta(\cot\alpha\cot\beta\cot\gamma)-\sin\beta:\cot\gamma(\cot\alpha\cot\beta\cot\gamma)-\sin\gamma</math>

半径は、[[外接円]]の半径を ''R''とすると
:<math>R_T =R\sqrt{\sin^2 \alpha \sin^2 \beta \sin^2 \gamma +\cos^2 \alpha \cos^2 \beta \cos^2 \gamma}</math>
で表すことができる。

== 脚注 ==
{{reflist}}

== 関連項目 ==
*[[九点円]]

== 外部リンク ==
*{{MathWorld|title=Taylor Circle|urlname=TaylorCircle|author=Darij Grinberg and Eric W. Weisstein}}

{{DEFAULTSORT:ろくてんえん}}
[[Category:円 (数学)]]
[[Category:三角形]]
[[Category:数学に関する記事]]
[[Category:証明を含む記事]]
[[Category:三角形の中心]]

[[fr:Hauteur d'un triangle#Cercle de Taylor]]