六角数のソースを表示

'''六角数'''（ろっかくすう、hexagonal number）とは[[多角数]]の一種で、[[正六角形]]の形に点を下図のように並べたとき、図に含まれる点の総数にあたる[[自然数]]である。六角数は無数にあり、そのなかでは[[1]]が最も小さい。4で割ると1余る整数を1から小さい順に加えた数と定義してもよい。
:例：6 = 1 + 5 、15 = 1 + 5 + 9 、120 = 1 + 5 + 9 + 13 + 17 + 21 + 25 + 29

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! 1 !! !! 6 !! !! 15 !! !! 28 
|- align="center" valign="middle"
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|[[Image:RedDot.svg|16px|*]][[Image:RedDotX.svg|16px|*]]<br />[[Image:GrayDotX.svg|16px|*]][[Image:Blank300.png|15px|&nbsp;]][[Image:RedDotX.svg|16px|*]]<br />[[Image:RedDotX.svg|16px|*]][[Image:RedDot.svg|16px|*]]
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|[[Image:RedDot.svg|16px|*]][[Image:RedDot.svg|16px|*]][[Image:RedDotX.svg|16px|*]][[Image:RedDotX.svg|16px|*]]<br />[[Image:GrayDotX.svg|16px|*]][[Image:GrayDotX.svg|16px|*]][[Image:GrayDotX.svg|16px|*]][[Image:Blank300.png|15px|&nbsp;]][[Image:RedDotX.svg|16px|*]]<br />[[Image:GrayDotX.svg|16px|*]][[Image:GrayDotX.svg|16px|*]][[Image:Blank300.png|15px|&nbsp;]][[Image:GrayDotX.svg|16px|*]][[Image:Blank300.png|15px|&nbsp;]][[Image:RedDotX.svg|16px|*]]<br />[[Image:GrayDotX.svg|16px|*]][[Image:Blank300.png|15px|&nbsp;]][[Image:GrayDotX.svg|16px|*]][[Image:Blank300.png|15px|&nbsp;]][[Image:GrayDotX.svg|16px|*]][[Image:Blank300.png|15px|&nbsp;]][[Image:RedDotX.svg|16px|*]]<br />[[Image:GrayDotX.svg|16px|*]][[Image:GrayDot.svg|16px|*]][[Image:Blank300.png|15px|&nbsp;]][[Image:GrayDotX.svg|16px|*]][[Image:Blank300.png|15px|&nbsp;]][[Image:RedDotX.svg|16px|*]]<br />[[Image:GrayDotX.svg|16px|*]][[Image:GrayDot.svg|16px|*]][[Image:GrayDot.svg|16px|*]][[Image:Blank300.png|15px|&nbsp;]][[Image:RedDotX.svg|16px|*]]<br />[[Image:RedDotX.svg|16px|*]][[Image:RedDot.svg|16px|*]][[Image:RedDot.svg|16px|*]][[Image:RedDot.svg|16px|*]]
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''n''番目の六角数を H<sub>''n''</sub> とすると上図より
:H<sub>1</sub> = 1 , H<sub>''n''+1</sub> = H<sub>''n''</sub> + 4''n'' + 1
が導かれる。よって六角数の式は
:<math>H_n = H_1 + \sum_{k=1}^{n-1} (4k + 1) = n(2n-1) \quad (n \geqq 2)</math><br>
これは ''n'' = 1 のときも成り立つ。六角数を小さいものから順に列記すると
:[[1]], [[6]], [[15]], [[28]], [[45]], [[66]], [[91]], [[120]], [[153]], [[190]], [[231]], [[276]], [[325]], [[378]], [[435]], [[496]], [[561]], [[630]], [[703]], [[780]], [[861]], [[946]], …（{{OEIS|A384}}）
となる。

''n'' 番目の六角数は 2''n'' &minus; 1 番目（すなわち[[奇数]]番目）の[[三角数]]に等しい。ゆえに全ての六角数は三角数でもある。

また[[偶数]]の[[完全数]]は全て奇数番目の三角数でもあるので、知られている完全数は全て六角数でもあり、全て 4''n'' &minus; 1 番目の三角数でもあるので偶数の六角数（偶数番目の六角数と言っても同じ）に限られる。この偶数の六角数は 2''n''(4''n'' &minus; 1) で表すことができる。具体的には
:[[6]], [[28]], [[66]], [[120]], [[190]], [[276]], [[378]], [[496]], [[630]], [[780]], [[946]],…である。（{{OEIS|A014635}}）

六角数は1から順に[[奇数]]と[[偶数]]が交互に現れる。また1以外の六角数は全て[[合成数]]である。

全ての自然数は[[高々 (数学)|高々]]6つの六角数の[[加法|和]]で表すことができる（→[[多角数定理]]）。
ただし1791よりも大きな自然数は4つの六角数の和で表すことができ、十分に大きい自然数は3つの六角数の和で表すことができる。6つの六角数が必要な数は[[11]]と[[26]]の二つのみで次のような和の形で表される。
:11 = 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 6 、26 = 1 + 1 + 6 + 6 + 6 + 6

六角数の[[逆数]]の[[総和]]は以下のようになる。{{math|ln}}は[[自然対数]]とする。
:<math>\begin{align} \sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{k(2k-1)} &= \lim_{n \to \infty}2\sum_{k=1}^{n} \left(\frac{1}{2k-1} - \frac{1}{2k} \right)\\                            &= \lim_{n \to \infty}2\sum_{k=1}^{n} \left(\frac{1}{2k-1} +  \frac{1}{2k} - \frac{1}{k} \right)\\ &= 2 \lim_{n \to \infty}\left(\sum_{k=1}^{2n}\frac{1}{k} - \sum_{k=1}^{n}\frac{1}{k}\right)\\                                                         &= 2 \lim_{n \to \infty}\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{n+k} \\ &= 2 \lim_{n \to \infty}\frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{1+\frac{k}{n}}\\ &= 2 \int_{0}^{1}\frac{1}{1+x}dx \\ &= 2 [ \ln(1+x) ]_{0}^{1} \\ &= 2 \ln{2}\\
                     & \approx{1.386294}\cdots\\
\end{align}</math>

== 関連項目 ==
{{Div col}}
*[[三角数]]
*[[多角数]]
{{Div col end}}

== 外部リンク ==
* {{MathWorld|urlname=HexagonalNumber|title=Hexagonal Number}}

{{級数}}

{{DEFAULTSORT:ろくかくすう}}
[[Category:多角数|06]]
[[Category:数学に関する記事]]
[[Category:整数の類]]