共形変換のソースを表示

'''共形変換'''（きょうけいへんかん、conformal transformation）とは、空間のある1点で交わった2曲線の接線のなす角度が保存される[[変換 (数学)|変換]]、[[等角写像]]とも。
[[並進]]、[[回転]]、[[スケール変換]]などはその最も簡単な例。
特に、[[2次元]]では無限個の変換が存在することが示され、[[複素平面]]上の[[解析関数]]で表現できる。[[場の理論]]において、共形変換のもとで不変となっている[[物理学|物理]]系を記述する理論を[[共形場理論]]と呼ぶ。

==共形対称性==
物理学において、場の理論の'''共形対称性'''は、[[ポアンカレ群|ポアンカレ変換]]（時空の[[並進]]＋[[ローレンツ変換]]）、[[スケール変換]]（ディラテーション）、そして'''特殊共形変換'''のもとでの対称性によって構成される。これらの対称性から成る群を'''共形群'''、あるいは'''共形変換群'''と呼ぶ。

===座標変換===
[[ミンコフスキー時空]]上の座標x<sup>μ</sup>に対する並進、ローレンツ変換、スケール変換、特殊共形変換は以下のようになる。
* 時空の並進
:<math> x^\mu \to x^{\prime\mu} = x^\mu + a^\mu</math>
* ローレンツ変換（時空の回転変換）
:<math> x^\mu \to x^{\prime\mu} = \Lambda^\mu_{\ \nu} x^\nu</math>
* スケール変換（ディラテーション）
:<math> x^\mu \to x^{\prime\mu} = \lambda x^\mu</math>
* 特殊共形変換
:<math> x^\mu \to x^{\prime\mu} = \frac{x^\mu-b^\mu x^2}{1 - 2b \cdot x + b^2 x^2}</math>
ここで、a<sup>μ</sup>、<math>\Lambda^\mu_{\ \nu}</math>、λ、b<sup>μ</sup>は変換による任意のパラメータである。

特殊共形変換は、以下のように書き直すことができる。
:<math>\frac{x^{\prime\mu}}{x^{\prime 2}}= \frac{x^\mu}{x^2} - b^\mu</math> 
この形式から、特殊共形変換は<math>x^\mu \to x^\mu/x^2</math>と座標変換し、パラメータb<sup>μ</sup>だけ並進させる変換を意味していることが分かる。

===共形代数===
共形群の[[生成子]]は以下のように定義される。

: <math>\begin{align} & M_{\mu\nu} \equiv i(x_\mu\partial_\nu-x_\nu\partial_\mu)  \\
&P_\mu \equiv-i\partial_\mu  \\
&D \equiv-ix_\mu\partial^\mu  \\
&K_\mu \equiv i(x^2\partial_\mu-2x_\mu x_\nu\partial^\nu) \end{align}</math>

ここで、M<sub>μν</sub>は[[ローレンツ変換|ローレンツ不変性]]、P<sub>μ</sub>は時間と空間の[[並進対称性]]、Dは[[スケール不変性]]、K<sub>μ</sub>は特殊共形変換の生成子である。ただし、Dは[[スカラー (物理学)|スカラー]]であり、K<sub>μ</sub>はローレンツ変換の添え字を持つ共変ベクトルである。

これらの生成子は以下の[[交換関係 (量子力学)|交換関係]]に従う。

: <math>\begin{align} &[D,K_\mu]=-iK_\mu \\
&[D,P_\mu]=iP_\mu \\
&[K_\mu,P_\nu]=2i\eta_{\mu\nu}D-2iM_{\mu\nu} \\
&[K_\mu, M_{\nu\rho}] = i ( \eta_{\mu\nu} K_{\rho} - \eta_{\mu \rho} K_\nu ) \\
&[P_\rho,M_{\mu\nu}] = i(\eta_{\rho\mu}P_\nu - \eta_{\rho\nu}P_\mu) \\
&[M_{\mu\nu},M_{\rho\sigma}] = i (\eta_{\nu\rho}M_{\mu\sigma} + \eta_{\mu\sigma}M_{\nu\rho} - \eta_{\mu\rho}M_{\nu\sigma} - \eta_{\nu\sigma}M_{\mu\rho}) \end{align}</math>
この他の交換関係は全て0となる。この表記を見れば分かるように、M<sub>μν</sub>のみで閉じている交換関係が[[ローレンツ群]]の[[リー代数]]、M<sub>μν</sub>とP<sub>μ</sub>のみで閉じている交換関係が[[ポアンカレ群]]のリー代数である。

== 関連記事 ==
* [[共形場理論]]
* [[WZWモデル|Wess-Zumino-Witten モデル]]

== 参考文献 ==
* {{Cite book |last = Di Francesco |coauthors= Mathieu, Sénéchal |title= Conformal field theory |series= Graduate texts in contemporary physics |year= 1997 |publisher= Springer |isbn= 9780387947853}}

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[[Category:対称性]]
[[Category:場の量子論]]
[[Category:変換 (数学)]]