共焦点円錐曲線のソースを表示

{{Otheruses2||共焦点のその他の用法|共焦点 (曖昧さ回避)}}
[[ファイル:Ell-hyp-konfokal.svg|サムネイル|共焦点な円錐曲線の束。]]
[[幾何学]]において、2つの[[円錐曲線]]が'''共焦点'''（きょうしょうてん、{{Lang-en-short|confocal}}）あるいは'''共焦'''であるとは、円錐曲線が[[焦点 (幾何学)|'''焦点''']]（focus;複数形はfoci）を共有している状態である。共焦点である円錐曲線は、共焦点円錐曲線、共焦点二次曲線、共焦円錐曲線、共焦二次曲線（confocal conics）などと言われる<ref>{{Cite book|和書 |title=最新解析幾何学 |year=1925 |publisher=[[成象堂]] |page=278 |author=[[西内貞吉]] |author2=[[柏木秀利]] |id={{NDLJP|942895}}}}</ref><ref>{{Cite book|和書 |title=初等幾何學 第2卷 空間之部 |publisher=[[山海堂 (出版社)|山海堂書店]] |page=521 |translator=[[小倉金之助]] |author=[[Eugène Rouché]],[[Charles de Comberousse]] |year=1915 |doi=10.11501/1082037}}</ref><ref name=":0">{{Cite book|和書 |title=幾何学続編 |year=1909 |publisher=[[有朋堂]] |pages= |author=[[ジョン・ケイシー (数学者)|ジョン・ケージー]] |doi=10.11501/828521 |translator=[[山下安太郎]], [[高橋三蔵]] |page=213}}</ref><ref>{{Cite book|和書 |title=解析幾何学 |year=1934 |publisher=[[高岡本店]] |page=127 |author=森本清吾 |author-link=森本清吾 |id={{NDLJP|1233324}}}}</ref><ref>{{Cite book|和書 |title=解析幾何学 : 円錐曲線 |year=1914 |publisher=[[山海堂 (出版社)|山海堂]] |page=314 |doi=10.11501/952208 |translator=[[小倉金之助]] |author=サーモン |author-link=ジョージ・サーモン}}</ref>。

[[楕円]]または[[双曲線]]は2つの焦点をもつため、共焦点楕円（{{Lang|en|confocal ellipses}}）、共焦点双曲線（{{Lang|en|confocal hyperbolas}}）あるいは、その混合物が存在する。共焦点である楕円と双曲線は[[直交]]する。

[[放物線]]は1つのみ焦点を持つため、共焦点放物線（{{Lang|en|confocal parabolas}}）は焦点と軸を共有する放物線であると定義される。 軸上にない任意の点はある共焦点放物線の交点となり、その共焦点放物線は直交する。

[[円 (数学)|円]]は焦点がその中心に一致した楕円である。特別に、焦点（中心）を共有する円は[[同心円|同心]]であると言われる。また円の中心を通る直線と、円は直交する。

共焦点の概念を空間に一般化すれば、共焦点[[二次曲面]]（{{Lang|en|confocal quadrics}}）となる。

== 楕円と双曲線 ==
任意の（円ではない）楕円または双曲線は、[[ユークリッド平面]]上に2つ異なるの焦点{{Math|''F''{{sub|1}} , ''F''{{sub|2}}}}を持つ。また、[[長軸]]上にない点{{Mvar|P}}を与えれば、その点を通る楕円（または双曲線）は一意に決定される。焦点{{Math|''F''{{sub|1}} , ''F''{{sub|2}}}}を共有し、{{Mvar|P}}を通る楕円と双曲線は直交する。

焦点を{{Math|''F''{{sub|1}} , ''F''{{sub|2}}}}とする楕円と双曲線の[[束 (射影幾何学)|束]]（'''共焦点有心円錐曲線族'''<ref>{{Cite book |title=岩波數學辭典 |url=https://www.google.co.jp/books/edition/%E5%B2%A9%E6%B3%A2%E6%95%B8%E5%AD%B8%E8%BE%AD%E5%85%B8/LP05AAAAMAAJ |publisher=岩波書店 |date=1954 |language=ja |last=日本數學會}}</ref><ref name=":1" />;Family of confocal central conics,Family of confocal centred conics;共焦点有心二次曲線<ref>{{Cite book|和書 |title=函数概論 |year=1946 |publisher=[[共立出版]] |page=60 |author=竹内端三 |author-link=竹内端三 |id={{NDLJP|1063358}}}}</ref>）を作る。

{{仮リンク|主軸定理|en|Principal axis theorem}}より、[[直交座標系]]において、座標軸を軸、原点を焦点の中点（中心）とする円錐曲線を作ることができる。{{Mvar|c}}を線型[[離心率]] （焦点の距離の半分）としたとき、焦点の座標は<math>F_1=(c,0),\; F_2=(-c,0)</math>となる。 
[[ファイル:Confocal_conics_parametrized_by_semi-major_axis.png|サムネイル|線型離心率を{{Mvar|c}}とする共焦点円錐曲線の長軸{{Mvar|a}}による表示。  {{Math|0 < ''a'' < ''c''}}ならば双曲線、{{Math|''c'' < ''a''}}ならば楕円となる。]]
楕円と双曲線からなる共焦点円錐曲線は、次の等式を満たす点の[[軌跡 (数学)|軌跡]]となる。

: <math>\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{a^2-c^2}=1</math>

ここで長軸の長さを{{Mvar|a}}とした。 {{Math|0 < ''a'' < ''c''}}となるように{{Mvar|a}}を決めれば[[双曲線]]、{{Math|''c'' < ''a''}}となるように定めれば楕円になる。

焦点の与えられた楕円、双曲線は、長軸と短軸の長さ{{Mvar|a,b}}によっても表すことができる（{{Math|0 < ''b'' < ''a''}}）。[[媒介変数]]{{Mvar|λ}}を用いて、次の式のようになる。

: <math>\frac{x^2}{a^2-\lambda} + \frac{y^2}{b^2-\lambda} = 1,</math>

<math>-\infty < \lambda < b^2</math>ならば楕円、 <math>b^2 < \lambda < a^2</math>ならば双曲線となる。<math>a^2<\lambda</math>ならば、解は実数上に存在しない。焦点の座標は<math display="inline">\bigl({\pm}\sqrt{a^2 - b^2}, 0\bigr) </math>である。この表現方法は二次曲面の定義式に応用できる。

=== 極限 ===
媒介変数{{Mvar|λ}}が{{Math|''b''{{sup|2}}}} に下から近づくと、楕円は{{Mvar|x}}軸の焦点間の線分に{{仮リンク|円錐曲線の退化|en|Degenerate conic|label=退化}}する。{{Mvar|λ}}が{{Math|''b''{{sup|2}}}} に上から近づくと、双曲線が退化して、{{Mvar|x}}軸の焦点の外側の部分になる。この性質もまた、3次元に応用できる。

=== 直交 ===
[[ファイル:Ell-hyp-konf-bw.svg|サムネイル|反射の性質を用いた、楕円と双曲線の直交の視覚的な証明。]]
共焦点な楕円、双曲線の束を考える。楕円の法線と双曲線の接線は、接点と焦点を繋ぐ2直線の[[角の二等分線]]になる。したがって図の様に、楕円と双曲線の直交を導ける。

このような楕円の束と双曲線の束のように、交差しない曲線の集合2つが、互いの要素に直交するような集合は、''orthogonal net''と呼ばれる。 楕円と双曲線のorthogonal netをもとにした{{仮リンク|楕円座標系|en|Elliptic coordinate system}}と呼ばれる座標系がある。

== 共焦点放物線 ==
[[ファイル:Parabola_as_a_limit_of_ellipses_and_hyperbolas.png|サムネイル|放物線は、一方の焦点を無限遠点に置いた、楕円または双曲線の特殊な場合とみることができる。]]
[[放物線]]は単一の焦点を持つ。これは、一方の焦点を固定して、もう一方の焦点を[[無限遠]]に移動させた場合の楕円または放物線と見なせる。楕円と双曲線の直交の性質を放物線に適用すれば、 ある放物線に直交する放物線は反対方向を向いた放物線になる。

焦点を原点、軸を{{Mvar|x}}軸とした放物線は、次の式を満たす点の軌跡である。

: <math>y^2 = 2xp + p^2,</math>

媒介変数{{Mvar|p}}について、{{Math|{{!}}''p''{{!}}}}はsemi-latus rectum（焦点を通る軸の垂線と放物線の交点を端とする線分長の半分）である。放物線は、 {{Math|0 < ''p''}}ならば右側に開き、{{Math|0 > ''p''}}ならば左に開く。<math>\bigl({{-}}\tfrac12p, 0\bigr)</math>は頂点となる。
[[ファイル:Parab-konf-schar.svg|左|サムネイル|共焦点放物線の束。]]
放物線の定義式より、{{Mvar|x}}軸上にない任意の点<math>P</math>について、焦点と軸をそれぞれ原点、{{Mvar|x}}軸とする放物線は、右に開いたものと左に開いたものが一つずつ存在する。また、これらは直交する。

共焦点な楕円と双曲線によって、楕円座標系が作られるのと同様に、共焦点放物線の束は{{仮リンク|放物座標系|en|Parabolic coordinates}}の基底となる。

[[等角写像]]<math> w=z^2</math>によって共焦点放物線のnetは、座標軸に平行な直線の像と、[[複素平面]]の右半分と見なせる（外部リンク参照）。{{Clear|left}}

== 同心円 ==
[[円 (数学)|円]]は二つの焦点を一致させた楕円である。一方、焦点を一致させた双曲線は、その点を通る2直線に退化する。

したがって共焦点な楕円と双曲線によってもたらされたorthogonal netは、[[同心円]]とその中心を通る直線になる。これは[[極座標系]]の基底となる{{Sfn|Hilbert|Cohn-Vossen|1952|p=[https://archive.org/details/geometryimaginat0000dhil/page/6/ 6]}}。

焦点を反対方向に無限遠まで離すと楕円は長軸に平行な2直線に退化し、双曲線は長軸に垂直な2直線に退化する。したがって、直交する網は共焦点円錐曲線の束であるとみなせる。このようにして特に[[直交座標系]]を作ることができる。

== グレイヴスの定理 ==
[[ファイル:Ellipse-konf-fad.svg|サムネイル|共焦点楕円の構築]]
1850年、アイルランドの司祭{{仮リンク|チャールズ・グレイヴス (司祭)|en|Charles Graves (bishop)|label=チャールズ・グレイヴス}}は、糸を用いた共焦点楕円の作成方法を発表した<ref>[[フェリックス・クライン|Felix Klein]]: ''Vorlesungen über Höhere Geometrie'', Sringer-Verlag, Berlin, 1926, S.32.</ref>。

: 周長よりも長い糸を楕円{{Mvar|E}}にまきつける。ある点に糸を掛けて、糸が張るような点の集合は{{Mvar|E}}と共焦点な楕円となる。

[[フェリックス・クライン]]の書籍で示された証明は[[楕円積分]]を用いる。[[Otto Staude]]は同様の方法を[[楕円体]]へ拡張した（クラインの書籍を見よ）。

楕円{{Mvar|E}}が線分{{Math|''F''{{sub|1}}''F''{{sub|2}}}}に退化するときは、糸で楕円を描く特殊な場合になる。

== 二次曲面 ==
[[ファイル:Quadriken-konfok.svg|サムネイル|共焦点二次曲面<br /><br />
<math> a=1,\;b=0.8,\;c=0.6,\ </math> <br /><br />
<math> \lambda_1=0.1</math> (赤),<math>\ \lambda_2=0.5 </math> (青), <math>\lambda_3=0.8 </math> (紫)]]
[[ファイル:Ello-hypb1-hypb2-lambda.svg|サムネイル|<math>\lambda</math>の値と曲面の関係 ]]
2つの[[二次曲面]]が共焦点であるとは、軸を共有し、平面との交面が共焦点楕円になっている状態を指す。円錐曲線の場合に類推して、非退化な共焦点二次曲面の束は3軸[[楕円体]]、一葉[[双曲面]] と二葉双曲面、楕円[[放物面]]、双曲放物面、双方向に開いた楕円放物面の2種類がある。

3軸の長さの半分を<math>a,b,c</math>（<math>a>b>c>0</math>）とする3軸楕円体は共焦点二次曲面の束を決定する。変数<math>\lambda</math>で作られたそれぞれの二次曲面は、次の式を満たす点の集合となる。

: <math>\frac{x^2}{a^2-\lambda}+\frac{y^2}{b^2-\lambda}+\frac{z^2}{c^2-\lambda} = 1.</math>

<math>\lambda<c^2</math>ならば[[楕円体]]、<math>c^2<\lambda<b^2</math>ならば一葉双曲面、<math>b^2<\lambda<a^2</math>ならば二葉双曲面となり、 <math>a^2<\lambda</math> ならば解は存在しない。

=== 焦点曲線 ===
[[ファイル:Quadriken-konf-fk.svg|サムネイル|焦点円錐曲線（黒い楕円、放物線）]]
[[ファイル:Quadriken-konf-fk-ex-gf.svg|サムネイル|<math>c^2=0.36,\ b^2=0.64, \quad </math> <math> \lambda=</math><br /><br /><math>0.3575</math> (楕円体、赤)、

<math>\ 0.3625</math> (一葉双曲面、青)、
<math>0.638</math> (一葉双曲面、青),
<math>\ 0.642</math> (ニ葉双曲面、紫)下部は極限の場合。

]]
'''極限:<math>\lambda\to c^2</math>'''

<math>\lambda</math>が<math>c^2</math>に下から近づくと、楕円体は次の式で示される{{Mvar|x}}-{{Mvar|y}}平面の楕円に退化する（図左上の赤い部分）。

: <math>E : \frac{x^2}{a^2-c^2}+\frac{y^2}{b^2-c^2}=1</math>



<math>\lambda</math>が<math>c^2</math>に上から近づくと、一葉双曲面は{{Mvar|x}}-{{Mvar|y}}平面の楕円<math>E</math>の外側の部分に退化する（図左下、青い部分）。

どちらの極限の場合も<math>E</math>上に点を持つ。

'''極限: <math>\lambda\to b^2</math>'''

同様に <math>\lambda</math> が上下から <math>b^2</math> に近づくと、それぞれの双曲面の極限の面（図右下、青と紫）は、共通の双曲線

: <math>H:\ \frac{x^2}{a^2-b^2}+\frac{z^2}{c^2-b^2}=1</math>

を持つ。

'''焦点曲線'''

<math>E</math>の焦点は<math>H</math>の頂点である。逆もまた然り。したがって、<math>E</math>と<math>H</math>は{{仮リンク|焦点円錐曲線|en|Focal conics}}の組である。

逆に、共焦点二次曲面の束の任意の二次曲面はピンと糸の方法によって構築できる。この際、焦点円錐曲線<math>E,H</math>は無数の焦点の役割を果たし、束の焦点曲線（{{Lang|en|focal curves}}）と呼ばれる<ref>Staude, O.: ''Ueber Fadenconstructionen des Ellipsoides''. Math. Ann. 20, 147–184 (1882)</ref><ref>Staude, O.: ''Ueber neue Focaleigenschaften der Flächen 2. Grades.'' Math. Ann. 27, 253–271 (1886).</ref><ref>Staude, O.: ''Die algebraischen Grundlagen der Focaleigenschaften der Flächen 2. Ordnung'' Math. Ann. 50, 398 – 428 (1898)</ref>。

=== 直交系 ===
共焦点楕円、双曲線から類推して、

: 任意の点 <math>(x_0, y_0, z_0)\in \R^3</math>  （ただし <math>x_0 \ne 0,\; y_0 \ne 0,\; z_0 \ne 0</math> ）は3種類の共焦点二次曲面のいずれかひとつ上に存在する。
: <math>(x_0, y_0, z_0)</math>を通る3つの二次曲面は垂直に交わる（外部リンクを参照）。

[[ファイル:Konf-quad-flambda.svg|サムネイル|<math>f(\lambda)</math>の例]]
・点を通る3つの二次曲面が一意に存在する証明<math>x_0\ne 0, y_0\ne 0,z_0\ne 0</math>で点 <math>(x_0,y_0,z_0)</math>について、関数<math>f(\lambda)=\frac{x_0^2}{a^2-\lambda}+\frac{y_0^2}{b^2-\lambda}+\frac{z_0^2}{c^2-\lambda}-1</math>を定める。この関数は3つの直交する[[漸近線]]<math>c^2<b^2<a^2</math>を持ち、区間<math>(-\infty,c^2),\;(c^2,b^2),\;(b^2,a^2),\;(a^2,\infty)</math>の中で、[[連続写像|連続]]で[[単調写像|単調増加]]な関数である。垂直な漸近線付近での振る舞いと<math>\lambda \to \pm \infty</math>から次のことが分かる。<math>f</math>は3つの根<math>\lambda_1, \lambda_2, \lambda_3</math>（<math>{\color{red}\lambda_1}<c^2<{\color{red}\lambda_2}<b^2<{\color{red}\lambda_3}<a^2\ </math>）を持つ。

・面の直交の証明
<math>F_\lambda(x,y,z)=\frac{x^2}{a^2-\lambda}+\frac{y^2}{b^2-\lambda}+\frac{z^2}{c^2-\lambda}</math>の束を用いて、共焦点二次曲面は<math>F_\lambda(x,y,z)=1</math>と書ける。交差する2つの二次曲面<math>F_{\lambda_i}(x,y,z)=1,\; F_{\lambda_k}(x,y,z)=1</math>について、共通の点<math>(x,y,z)</math>をとる。

: <math>0=F_{\lambda_i}(x,y,z) - F_{\lambda_k}(x,y,z)= \dotsb</math>
: <math>\ =(\lambda_i-\lambda_k)\left(\frac{x^2}{(a^2-\lambda_i)(a^2-\lambda_k)}+\frac{y^2}{(b^2-\lambda_i)(b^2-\lambda_k)}+\frac{z^2}{(c^2-\lambda_i)(c^2-\lambda_k)}\right)\ .</math>

この方程式より、共通の点における[[勾配 (ベクトル解析)|勾配]]の[[スカラー積]]を得る。

: <math>\operatorname{grad} F_{\lambda_i}\cdot \operatorname{grad} F_{\lambda_k}=4\;\left(\frac{x^2}{(a^2-\lambda_i)(a^2-\lambda_k)}+\frac{y^2}{(b^2-\lambda_i)(b^2-\lambda_k)}+\frac{z^2}{(c^2-\lambda_i)(c^2-\lambda_k)}\right)=0\ ,</math>

よって題意は示された。
[[ファイル:Ellipsoid-kl.svg|サムネイル|共焦点双曲面<math>a=1, \; b=0.8, \; c=0.6</math>との交線に曲率線を持つ楕円体。]]

=== 応用 ===
{{仮リンク|デュパンの定理|en|Dupin's theorem}}より、任意の2つの二次曲面の交線は[[主曲率|曲率線]]となる<ref>{{Cite book|和書 |title=高等数学叢書 第7 微分幾何学 |year=1940 |publisher=[[岩波書店]] |page=175 |author=窪田 忠彦 |id={{NDLJP|1172588}} |author-link=窪田忠彦}}</ref>。{{仮リンク|楕円座標系|en|Elliptic coordinate system}}から類推して、これは{{仮リンク|楕円体座標系|en|Ellipsoidal coordinates}}の基底となる。

[[物理学]]において、共焦点楕円体は帯電した楕円体の{{仮リンク|等位 (物理学)|en|Equipotential|label=等位面}}として現れる<ref>[[ドミトリー・フックス|D. Fuchs]], [[Sergei Tabachnikov|S. Tabachnikov]]: ''Ein Schaubild der Mathematik.'' Springer-Verlag, Berlin/Heidelberg 2011, {{ISBN2|978-3-642-12959-9}}, p. 480.</ref><ref>{{Cite book|和書 |title=応用函数論階梯 |year=1948 |publisher=[[有隣堂|有隣堂出版]] |page=60 |author=竹内時男 |author-link=竹内時男 |id={{NDLJP|1063359}}}}</ref>。

== アイヴォリーの定理 ==
[[ファイル:Ell-hyp-konf-ivory.svg|サムネイル|300x300ピクセル|アイボリーの定理]]
'''アイヴォリーの定理'''<ref name=":1">{{Cite book |title=新訂版　数学用語 英和辞典: 和英索引付き |url=https://www.google.co.jp/books/edition/%E6%96%B0%E8%A8%82%E7%89%88_%E6%95%B0%E5%AD%A6%E7%94%A8%E8%AA%9E_%E8%8B%B1%E5%92%8C%E8%BE%9E%E5%85%B8/SHMNEAAAQBAJ |publisher=近代科学社 |date=2020-12-02 |isbn=978-4-7649-0624-2 |language=ja}}</ref>（Ivory's theorem）またはアイヴォリーの補題は、スコットランドの数学者[[ジェームズ・アイヴォリー (数学者)|ジェームズ・アイヴォリー]]に因んだ、直交する曲線が成す四角形（''net-rectangle''）の[[対角線]]に関する定理である。

: それぞれ2つの共焦点楕円、双曲線の成す任意のnet-rectangleについて、2つの対角線の長さは等しい。  

<math>E(a)</math>を、焦点が<math>F_1=(c,0),\; F_2=(-c,0)</math>である次の式で表される楕円とする。

: <math>\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{a^2-c^2}=1 \ , \quad a>c>0 \ </math>

また、<math>H(u)</math>を次の式で表される楕円と共焦点な双曲線とする。

: <math>\frac{x^2}{u^2}+\frac{y^2}{u^2-c^2}=1 \ , \quad c>u \ .</math>

<math>E(a)</math> と <math>H(u)</math>の4交点を計算する。

: <math>\left(\pm \frac{au}c,\; \pm \frac{\sqrt{(a^2-c^2)(c^2-u^2)}}c\right)</math> 



<math>c=1</math>としても[[一般性を失わない]]（cを変えると原点中心に相似拡大される）。4交点の中から第一象限にある物を選ぶ。

4つの曲線が焦点を共有するように、<math>E(a_1), E(a_2)</math>を二つの共焦点楕円、<math>H(u_1), H(u_2)</math>を二つの共焦点双曲線として、net-rectangle の頂点と対角線の長さを次のように得る。

: <math>\begin{align}
P_{11}&=\left(a_1u_1,\; \sqrt{(a_1^2-1)(1-u_1^2)}\right), &
P_{22}&=\left(a_2u_2,\; \sqrt{(a_2^2-1)(1-u_2^2)}\right), \\[5mu]
P_{12}&=\left(a_1u_2,\; \sqrt{(a_1^2-1)(1-u_2^2)}\right), &
P_{21}&=\left(a_2u_1,\; \sqrt{(a_2^2-1)(1-u_1^2)}\right)
\end{align}</math>

: <math>\begin{align}
|P_{11}P_{22}|^2 &= (a_2u_2-a_1u_1)^2+\left(\sqrt{(a_2^2-1)(1-u_2^2)}-\sqrt{(a_1^2-1)(1-u_1^2)}\right)^2 \\[5mu]
                 &= a_1^2+a_2^2+u_1^2+u_2^2 - 2\left(1+a_1a_2u_1u_2+\sqrt{(a_1^2-1)(a_2^2-1)(1-u_1^2)(1-u_2^2)}\right)
\end{align}</math>

最後の辺において、<math>u_1\leftrightarrow u_2</math>としても値は変化しない。つまり <math>|P_{1\color{red}2}P_{2\color{red}1}|^2</math>の赤黒を入れ替えても値は変化しないから、 <math>|P_{11}P_{22}|=|P_{12}P_{21}|</math>を得る。

共焦点放物線については、より簡単な計算で証明できる。

アイヴォリーは3次元への一般化を示した (s. Blaschke, p.&nbsp;111)。

: 三次元において、共焦点二次曲面からなる[[直方体]]の対角線の長さは等しい。

== 関連項目 ==

* [[アポロニウスの円束]]
* {{仮リンク|フォーカロイド|en|Focaloid}}
* [[準円|連合準円]]
* [[共点]]
* [[共線]]
* [[共円]]
* [[共面]]

== 出典 ==
<references />

* {{Cite book|和書 |last=Blaschke |first=Wilhelm |author-link=Wilhelm Blaschke |year=1954 |title=Analytische Geometrie |trans-title=Analytic Geometry |publisher=Springer |location=Basel |chapter=VI. Konfokale Quadriken |trans-chapter=Confocal Quadrics |pages=108–132 |chapter-url=https://archive.org/details/analytischegeome0000wilh/page/108}}
* {{Cite book |last=Glaeser |first=Georg |last2=Stachel |first2=Hellmuth |last3=Odehnal |first3=Boris |year=2016 |title=The Universe of Conics |chapter=2. Euclidean Plane |pages=11–60 |publisher=Springer |doi=10.1007/978-3-662-45450-3_2 |isbn=978-3-662-45449-7}} See also "10. Other Geometries", {{Doi|10.1007/978-3-662-45450-3_10}}.
* {{Citation|title=[[Geometry and the Imagination]]|last=Hilbert|first=David|author-link=David Hilbert|last2=Cohn-Vossen|first2=Stephan|author2-link=Stephan Cohn-Vossen|year=1952|publisher=Chelsea|pages=19–25|chapter=§1.4 The Thread Construction of the Ellipsoid, and Confocal Quadrics|chapter-url=https://archive.org/details/geometryimaginat0000dhil/page/19}}
* {{Cite book |last=Odehnal |first=Boris |last2=Stachel |first2=Hellmuth |last3=Glaeser |first3=Georg |year=2020 |title=The Universe of Quadrics |chapter=7. Confocal Quadrics |pages=279–325 |publisher=Springer |doi=10.1007/978-3-662-61053-4_7 |isbn=978-3-662-61052-7}}
* Ernesto Pascal: ''Repertorium der höheren Mathematik.'' Teubner, Leipzig/Berlin 1910, p.&nbsp;257.
* A. Robson: ''An Introduction to Analytical Geometry'' Vo. I, Cambridge, University Press, 1940, p.&nbsp;157.
* {{Cite book|和書 |last=Sommerville |first=Duncan MacLaren Young |author-link=Duncan Sommerville |year=1934 |title=Analytical Geometry of Three Dimensions |publisher=Cambridge University Press |chapter=XII. Foci and Focal Properties |chapter-url=https://archive.org/details/analyticalgeomet0000somm/page/224/ |pages=224–250}}

== 外部リンク ==

* T. Hofmann: [https://www-m10.ma.tum.de/foswiki/pub/Lehre/DifferentialGeometrieWS0607/VL01-19_dg1_06.pdf ''Miniskript Differentialgeometrie I, p. 48'']
* B. Springborn: [https://www3.math.tu-berlin.de/geometrie/Lehre/SS06/KundF/Blaetter_Skript/miniskript-kuf-SS06.pdf ''Kurven und Flächen'', 12.] [https://www3.math.tu-berlin.de/geometrie/Lehre/SS06/KundF/Blaetter_Skript/miniskript-kuf-SS06.pdf Vorlesung: Konfokale Quadriken] (S.&nbsp;22&nbsp;f.).
* H. Walser: ''[http://e-collection.library.ethz.ch/eserv/eth:25629/eth-25629-08.pdf Konforme Abbildungen.]'' p.&nbsp;8.
{{デフォルトソート:きようしようてんえんすいきよくせん}}
[[Category:円錐曲線]]
[[Category:数学に関する記事]]