共通部分 (数学)のソースを表示

{{redirect|インターセクション|映画|インターセクション (映画)}}
{{出典の明記|date=2015年10月}}
{{特殊文字|説明=[[Microsoftコードページ932]]（[[はしご高]]）}}
[[数学]]において、[[集合族]]の'''共通部分'''（きょうつうぶぶん、{{lang-en-short|intersection, meet}}）とは、与えられた[[集合]]の集まり（族）全てに共通に含まれる[[元 (数学)|元]]を全て含み、それ以外の元は含まない[[集合]]のことである。

'''共通集合'''（きょうつうしゅうごう）、'''共通分'''<ref>{{Cite book|和書 |title=数の概念 |date=1949年8月20日 |publisher=[[岩波書店]] |author=髙木貞治 |author-link=高木貞治}}</ref>（きょうつうぶん）、'''交叉'''（こうさ）、'''交差'''（こうさ）、'''交わり'''（まじわり）、'''積集合'''（せきしゅうごう）、'''積'''（せき）<ref>[[集合の代数学]]あるいは集合族の[[ブール代数]]において、この場合、和に相当するのは[[差集合|集合論的差]]または[[対称差]]である（[[集合環]]なども参照）。集合論的和は[[結び (束論)|結び]]と呼ばれ、補集合を取る操作に通じて積と同等の役割を果たす。</ref>などとも呼ばれる。

ただし、積集合は[[直積集合]]の意味で用いられることが多い{{要出典|date=2024年12月3日}}。

== 定義 ==
=== 二つの集合の交叉 ===
[[image:Interseccion.svg|thumb|right|250px|共通部分の[[ベン図]]による視覚化]]
集合 {{mvar|A}}, {{mvar|B}} の交わりは {{math|''A'' &cap; ''B''}} と記される{{refnest|交わりの記号 {{math|&cap;}} は[[和集合|結び]]の記号 {{math|&cup;}} と共に[[1888年]]に[[ジュゼッペ・ペアノ]]によって導入された<ref>{{cite book
|last = Cajori
|first = F.
|author-link = フロリアン・カジョリ
|title = A History of Mathematical Notations
|year = 1993
|publisher = Dover
|isbn = 0-486-67766-4
|location = [[¶]]688
|url = {{google books|plainurl=yes|_byqAAAAQBAJ}}
}}</ref><ref>{{internet archive2|id=calcologeometric00gpea|page=11|name=Calcolo geometrico, secondo l'Ausdehnungslehre di H. Grassmann}}</ref>。}}。これは
: {{math|''x'' &isin; ''A'' &cap; ''B'' &hArr; ''x'' &isin; ''A'' かつ ''x'' &isin; ''B''}}
ということであり、記号では
: {{math|''A'' &cap; ''B'' {{=}} { ''x'' {{!}} ''x'' &isin; ''A'' [[論理積|&and;]] ''x'' &isin; ''B'' } }}
と書ける。{{math|''A'' &cap; ''B''}} に含まれるような元が存在するとき {{mvar|A}} と {{mvar|B}} とは互いに'''交わる'''あるいは'''交わりを持つ'''という。

また、そのような元の存在しないとき ''A'' と ''B'' は'''互いに素'''であるまたは'''交わりを持たない''' ({{en|disjoint}}) といい、
: {{math|''A'' &cap; ''B'' {{=}} &empty;}}
と書く。ただしここで、 {{math|&empty;}} は[[空集合]]を表す。

=== 有限個の交叉 ===
有限個の集合 {{math|''M''{{sub|1}}, … ''M''{{sub|''k''}}}} の交わり
:<math>M_1 \cap M_2 \cap \cdots \cap M_k</math>
は、そのすべてに共通に含まれる元の全体である。集合の交わりは結合的、つまり
: {{math|(''A'' &cap; ''B'') &cap; ''C'' {{=}} ''A'' &cap; (''B'' &cap; ''C'')}}
を満たすから、（一般結合法則）により有限個の集合の交わりは
: <math>(\cdots((M_1\cap M_2)\cap M_3)\cap\dotsb \cap M_k)</math>
に等しく、また括弧の付け方に依らない。
: <math>\bigcap_{n=1}^k M_n = M_1 \cap M_2 \cap \dotsb \cap M_k</math>
とも表す。

=== 任意の交叉 ===
集合の（[[空集合|空]]でない）[[集合族|族]]
:<math>\mathfrak{M} = \{ M_{\lambda} \}_{\lambda \in \Lambda}</math>
に対して、その交わりを集合族に属する全ての集合に属する元、つまり
: すべての {{math|''λ'' ∈ Λ}} に対して {{math|''x'' &isin; ''M<sub>&lambda;</sub>''}}
となる {{mvar|x}} の全体であると定義して
:<math>\bigcap \mathfrak{M},\quad \bigcap_{M\in\mathfrak{M}}M, \quad \bigcap_{\lambda \in \Lambda} M_{\lambda}</math>
などで表す。特に集合[[列 (数学)|列]] {{math|{''M''{{sub|''n''}}}{{sub|''n''&isin;'''N'''}}}} の交わり（可算交叉）の場合には
: <math>\bigcap_{n=1}^\infty M_n = M_1 \cap M_2 \cap M_3 \cdots = M_1\cap(M_2\cap(M_3\cap\cdots))</math>
のようにも書く<ref>集合が非増大列 {{math|''M''{{sub|1}} &sup; ''M''{{sub|2}} &sup; &hellip;}} をなすとき、それらの共通部分は[[逆極限]]を用いて <math> \textstyle \varprojlim M_n </math> と書くこともできる。</ref>。

与えられた集合族の共通部分が空集合となるとき、つまり全ての集合に共通に含まれる元が一つも存在しないとき、その集合族は'''交わりを持たない''' (disjoint) という。また、どの二つの集合を取っても交わらないとき、その集合族は対ごとに交わりを持たない (pairwise disjoint) と言う。disjoint ではないが pairwise disjoint な集合族が存在する。

== 例 ==
''P'' = {1, 3, 5, 7, 9} （10 以下の[[奇数]]の集合）、''Q'' = {2, 3, 5, 7} （10 以下の[[素数]]の集合）とすると、''P'' &cap; ''Q'' = {3, 5, 7} である。また、''R'' = {2, 4, 6, 8, 10} （10 以下の[[偶数]]の集合）とすると ''P'' と ''R'' には共通の要素が存在しないから ''P'' &cap; ''R'' は空集合である。

[[実数]]からなる開区間の族 '''M''' = {(0, 1 + 1/''n'') | ''n'' は 1 以上の[[自然数]]} の共通部分は半開区間 (0, 1] である：
:<math>\bigcap \mathbf{M} 
  = \bigcap_{n=1}^{\infty} \left(0,\, 1 + \frac{1}{n}\right) 
  = (0, 1].
</math>
実際、 (0, 1] はどの区間にも含まれるので共通部分に含まれることは直ちに言える。一方、1 &lt; ''x'' とするならば ''x'' = 1 + &epsilon; となる正の実数 &epsilon; が取れるが、1 / &epsilon; &lt; ''n'' なる自然数は必ず存在して、''x'' はそのような ''n'' に対する (0, 1 + 1 / ''n'') に属さない。したがって上記の等式が成立する。また、同様の区間族 '''L''' = {(0, 1 &minus; 1/''n'') | ''n'' は 1 以上の自然数} は ''n'' = 1 に対応する区間が空集合であるので共通部分 <span style="font-size:larger; font-weight:bold;">&cap;</span> '''L''' も空集合、つまり '''L''' は交わりを持たない。

== 空なる交叉 ==
{{seealso|[[空積]]・[[束 (束論)#半順序集合として|束論]]・[[和集合#空なる合併|空な合併]]}}
上記、任意個数の集合の交叉の定義において、族が[[空集合]] ({{Unicode|∅}}) となる場合を排除したことに注意しなければならない。これは集合族 {{math|'''M'''}} の交わりを
: <math>\bigcap \mathbf{M} = \{x : \forall A \in \mathbf{M},\ x \in A\}</math>
で定義するために、{{math|'''M'''}} が空ならば {{math|''A'' &isin; '''M'''}} なる集合は存在しないから「{{mvar|x}} が満たすべき条件は一体何であるか」という問題を生じるからである。{{math|'''M'''}} が空なるときの上記条件は[[空虚な真]]の一例であるから、答えは「可能な限りの全ての {{mvar|x}}」となるべきである。すなわち、空な集合族の交わりは普遍集合（交叉演算の[[単位元]]）と定義することになる<ref>{{citation
 | last = Megginson | first = Robert E.
 | title = An introduction to Banach space theory
 | series = Graduate Texts in Mathematics
 | volume = 183
 | publisher = Springer-Verlag
 | location = New York
 | year = 1998
 | pages = xx+596
 | isbn = 0-387-98431-3
 | chapter = Chapter 1
}}</ref>。

困ったことに標準的な集合論 ([[ツェルメロ＝フレンケル集合論|ZFC]]) には普遍集合が存在しないから、これを部分的に回避するために宇宙と呼ばれる一つの大きな集合 {{mvar|U}} を固定してその部分集合となる集合のみを考えることがよく行われる。このような条件下での {{mvar|U}} の部分集合族の交わりは
:<math>\bigcap \mathbf{M} = \{x \in U : \forall A \in \mathbf{M},\ x \in A\}</math>
と定義されるべきものであって、ここで {{math|'''M'''}} を空にとっても何も問題は生じない。即ち、空な交叉は定義により well-defined であって宇宙全体 {{mvar|U}} に一致する。そしてそれは {{mvar|U}} の部分集合全体の上で定義される交叉演算の単位元である。

== 注 ==
{{reflist}}

== 関連項目 ==
* [[集合の代数学]] - [[和集合|和]] / [[差集合|差]] / 積 / 商
* [[素集合]]
* [[非交和]]
* {{仮リンク|乗法族|label={{π}}-系|en|pi-system}}: 有限交叉で閉じている集合族
* [[コンパクト空間]]: 有限交叉性 (finite intersection property) で特徴付けられる
* [[論理積]]

== 外部リンク ==
* {{MathWorld|title=Intersection|urlname=Intersection}}
* {{PlanetMath|title=intersection|urlname=Intersection}}

{{集合論}}
{{DEFAULTSORT:きようつうふふん}}
[[Category:集合の基本概念]]
[[Category:初等数学]]
[[Category:数学に関する記事]]