内部正則測度のソースを表示

[[数学]]の分野における'''内部正則測度'''（ないぶせいそくそくど、{{Lang-en-short|inner regular measure}}）とは、ある集合に対する[[測度]]が、その集合の[[コンパクト空間|コンパクト]]な[[部分集合]]によって内部から近似されるようなもののことを言う。

== 定義 ==
(''X'', ''T'') を[[ハウスドルフ空間|ハウスドルフ]][[位相空間]]とし、&Sigma; を、位相 ''T'' を含む ''X'' 上の[[完全加法族|&sigma;-代数]]とする（したがって、すべての[[開集合]]は[[測度|可測集合]]であり、&Sigma; は少なくとも ''X'' 上の[[ボレル集合|ボレル&sigma;-代数]]と同程度の良い性質を備えている）。このとき、[[可測空間]] (''X'', &Sigma;) 上の測度 ''&mu;'' が'''内部正則'''であるとは、

:<math>\mu (A) = \sup \{ \mu (K) | \mbox{compact } K \subseteq A \} </math>

が &Sigma; に含まれる任意の集合 ''A'' に対して成立することを言う。

この性質はしばしば、「コンパクト集合による内部からの近似」と表現される。

人によっては、'''緊密'''（tight）という語を内部正則の[[同意語]]として用いることもある<ref name="AGS">{{cite book | author=Ambrosio, L., Gigli, N. & Savaré, G. | title=Gradient Flows in Metric Spaces and in the Space of Probability Measures | publisher=ETH Zürich, Birkhäuser Verlag | location=Basel | year=2005 | isbn=3-7643-2428-7 }}</ref><ref name="Par">{{cite book
|     last = Parthasarathy
|    first = K. R.
|    title = Probability measures on metric spaces
|publisher = AMS Chelsea Publishing, Providence, RI
|     year = 2005
|     isbn = 0-8218-3889-X
|    page = xii+276
|     nopp = true
}} {{MathSciNet|id=2169627}}</ref>。測度 ''&mu;'' が内部正則であるための[[必要十分条件]]は、すべての ''&epsilon;'' &gt; 0 に対して ''X'' のある[[コンパクト空間|コンパクト部分集合]] ''K'' が存在し ''&mu;''(''X'' \ ''K'') &lt; ''&epsilon;'' が成立することであるため、このような語の用法は、[[測度の緊密性|測度の族の緊密性]]と密接に関係している。そのような条件はまさしく測度の[[一元集合]]の類 {''&mu;''} が緊密であるための条件である。

== 参考文献 ==
<references />

== 関連項目 ==
* [[ラドン測度]]
* [[正則測度]]

{{DEFAULTSORT:ないふせいそくそくと}}

[[Category:測度論]]
[[Category:数学に関する記事]]