内部 (位相空間論)のソースを表示

[[Image:Interior illustration.svg|right|thumb|点 ''x'' は、それを含むある開球もまた ''S'' に含まれるがゆえに、''S'' の内点である。点 ''y'' は ''S'' の境界上にある。]]
[[数学]]において集合 ''S'' の'''内部'''（ないぶ、{{lang-en|''interior''}}）あるいは'''開核'''（かいかく、{{lang-en|''open kernel''}}）は、直観的には ''S'' の「縁にある点を除く」 ''S'' の点全てからなる。''S'' の内部に属する点は ''S'' の'''内点'''（ないてん、{{lang|en|''interior point''}}）であるという。

また、集合の'''外部'''（がいぶ、{{lang-en|''exterior''}}）は、その集合の補集合の内部をいい、その集合にもその集合の[[境界 (位相空間論)|境界]]にも含まれない点の全体からなる。
 
集合の内部という概念は[[位相空間論|位相的]]概念であって、任意の集合に対して定義されるものではないが、その集合がある[[位相空間]]の部分集合となっているならば定義される。内部はさまざまな意味で[[閉包 (位相空間論)|閉包]]の概念の[[双対性|双対]]概念であり、とくに[[圏論]]的な意味での[[双対 (圏論)|双対]]になっている。

== 定義 ==
=== 内点 ===
''S'' が[[ユークリッド空間]]の部分集合ならば、点 ''x'' が ''S'' の内点であるとは、''x'' を中心とする[[開球]]で ''S'' に含まれるものが存在するときに言う。この定義は一般に ''S'' がある[[距離空間]] ''X'' の部分集合であるときにそのまま通用する。きちんと述べれば、''X'' が距離 ''d'' を持つ距離空間であるとき、点 ''x'' が ''X'' の部分集合 ''S'' の内点であるとは定数 ''r'' &gt; 0 が存在して、''X'' の点 ''y'' が ''d''(''x'', ''y'') &lt; ''r'' を満たす限りにおいて常に ''y'' &isin; ''S'' となるようにできることをいう。

さてこの定義は「開球」を「近傍」に置き換えることにより、一般の位相空間に対して一般化することができる。''S'' が位相空間 ''X'' の部分集合であるとき、点 ''x'' が ''X'' の部分集合 ''S'' の'''内点'''であるとは点 ''x'' の近傍で ''S'' に含まれるものが存在するときにいう。この定義は近傍が開であることを要請するかどうかということに依存しないことに注意すべきである。開近傍であることを要請しない場合、''S'' が ''x'' の近傍を含めば自動的に ''S'' 自身も ''x'' の近傍となる。

=== 内部 ===

集合 ''S'' の'''内部'''とは、''S'' の内点全体の成す集合のことをいい、int(''S''), Int(''S'') あるいは ''S''<sup>o</sup> などで表す。内部は以下のような性質を持つ。

* int(''S'') は ''S'' の[[開集合|開部分集合]]である。
* int(''S'') は ''S'' に含まれる開集合すべての合併である。
* int(''S'') は ''S'' に含まれる最大の開集合である。
* ''S'' が開であるための必要十分条件は ''S'' = int(''S'') が成り立つことである。
* [[冪等|冪等性]] int(int(''S'')) = int(''S'') を持つ。
* ''S'' が ''T'' の部分集合ならば int(''S'') は int(''T'') の部分集合である。
* ''A'' が開集合ならば、''A'' が ''S'' の部分集合となることと ''A'' が int(''S'') の部分集合となることとは同値である。

しばしば上述の二番目や三番目の性質を内部の定義として採用することがある。

<div style="margin-left:2em; textsize-small">これらの性質において「内部」「部分集合」「合併」「に含まれる」「最大の」「開」をそれぞれ「閉包」「上位集合」「交わり」「を含む」「最小の」「閉」に置き換えたものもやはり成立する。より詳しくは後述の[[#開核作用素]]節を参照。</div>

== 例 ==

* 任意の空間において、空集合の内部は空集合である。
* 任意の空間 ''X'' において、''A'' が ''X'' の部分集合ならば int(''A'') は ''A'' に含まれる。
* ''X'' を[[実数]]全体の成す一次元ユークリッド空間 '''R''' とすると int([0, 1]) = (0, 1) が成り立つ。
* ''X'' が一次元ユークリッド空間 '''R''' ならば、有理数全体の成す部分集合 '''Q''' の内部は空集合である。
* ''X'' を[[ガウス平面]] '''C''' = '''R'''<sup>2</sup> とすると、int({''z'' &isin; '''C''' : |''z''| &ge; 1}) = {''z'' &isin; '''C''' : |''z''| &gt; 1} が成り立つ。
* 任意のユークリッド空間において、[[有限集合]]の内部は空集合である。

実数全体の成す集合 '''R''' において、通常のユークリッド位相ではないほかの位相を入れることも考えることができ、その場合にはこれらの結果もまた変わってくる。

* ''X'' = '''R''' が[[下極限位相]]を持つものとしたとき、int([0, 1]) = <nowiki>[0, 1)</nowiki> が成り立つ。
* '''R''' において任意の部分集合が開となるような位相（離散位相）を考えれば int([0, 1]) = [0, 1] である。
* '''R''' における開集合が空集合と '''R''' 全体のみとなるような位相（密着位相）を考えれば、 int([0, 1]) は空集合となる。 

これらの例から判るように、集合の内部が何であるかということは、その台となる空間の位相がどのようなものであるかに依存している。上述最後の二つの例は以下のように一般に述べることができる。

* 任意の[[離散空間]]において、その任意の部分集合は開であるから、任意の部分集合はつねに自分自身の内部に等しい。
* 任意の[[密着空間]] ''X'' において、その開集合は空集合と ''X'' 自身のみであるから、 int(''X'') = ''X'' かつ、''X'' の任意の[[真部分集合]] ''A'' に対して int(''A'') は空集合である。

== 開核作用素 ==<!-- This section is linked from above -->

'''開核作用素''' {{lang|en|(''interior operator'')}} <sup>o</sup> は

: <math>S^{\circ} = X \smallsetminus \overline{X \smallsetminus S}</math>
および
: <math>\bar{S} = X \smallsetminus (X \smallsetminus S)^{\circ}</math>

の成り立つという意味で[[閉包作用素]] <sup>—</sup> の双対である。ここで ''X'' は ''S'' を含む位相空間であり、バックスラッシュは[[差集合]]を表す。

それゆえ、閉包作用素と[[クラトフスキーの閉包公理]]による抽象理論は、集合をそれらの補集合で置き換えることにより、容易に開核作用素の言葉で翻訳することができる。 

== 外部 ==
{{main|外部 (位相空間論)}}
位相空間 ''X'' の部分集合 ''S'' の'''外部''' ext(''S'') または Ext(''S'') は ''S'' の補集合の内部 int(''X''&nbsp;\&nbsp;''S'') である。あるいはこれは ''S'' の閉包の補集合 ''X''&nbsp;\&nbsp;''S''<sup>—</sup> であると言ってもよい。外部の持つ性質の多くは、内部の持つ性質から直接に得られる。たとえば

* ext(''S'') は ''S'' と交わりを持たない開集合である。
* ext(''S'') は ''S'' と交わりを持たない開集合全ての合併である。
* ext(''S'') は ''S'' と交わりを持たない最大の開集合である。
* ''S'' が ''T'' の部分集合ならば ext(''S'') は ext(''T'') を含む.

などを挙げることができる。なお、開核作用素とは異なり ext は冪等ではないが、

* ext(ext(''S'')) は int(''S'') を含む

という性質ならば正しい。
== 関連項目==
* [[開核代数]]
* [[相対的内部]]

== 参考文献 ==
* {{planetmath reference|id=3123|title=Interior}}
{{DEFAULTSORT:ないふ}}
[[Category:位相空間論]]
[[Category:閉包作用素]]
[[Category:数学に関する記事]]

[[uk:Внутрішня точка]]