円周率が22/7より小さいことの証明のソースを表示

{{DISPLAYTITLE:円周率が{{sfrac|22|7}}より小さいことの証明}}
{{円周率}}
有名な数学的事実であるところの、'''[[円周率]] {{math|''&pi;''}} が {{math|[[22/7|{{sfrac|22|7}}]]}} より小さいことの[[証明 (数学)|証明]]'''（えんしゅうりつが {{math|7}} ぶんの {{math|22}} よりちいさいことのしょうめい）は、[[古代ギリシア]]の[[アルキメデス]]に始まり、何通りも与えられている。本項では、そのうちの一つで、[[微分積分学]]の初等的なテクニックのみを用いる、近年に発見された証明を扱う。この証明は、その[[数学的な美]]および[[ディオファントス近似]]の理論との関係によって、現代数学においても注目されてきた。スティーヴン・ルーカスは、これを「{{math|''&pi;''}} の近似に関する最も美しい結果の一つ」と呼び<ref name="Lucas2005">{{Citation
|last = Lucas
|first = Stephen
|title = Integral proofs that&nbsp;355/113&nbsp;>&nbsp;{{pi}}
|journal = Australian Mathematical Society Gazette
|volume = 32
|issue = 4
|pages = 263--266
|year = 2005
|url = http://www.austms.org.au/Publ/Gazette/2005/Sep05/Lucas.pdf
|mr = 2176249
|zbl = 1181.11077
}}</ref>、ジュリアン・ハヴィルは、円周率の[[連分数]]近似の議論を終える際に「この結果に言及せざるを得ない」と述べた上で証明を示している<ref>{{Citation
|last = Havil
|first = Julian
|title = Gamma. Exploring Euler's Constant
|place = Princeton, NJ
|publisher = Princeton University Press
|year = 2003
|page = 96
|mr = 1968276
|zbl = 1023.11001
|isbn = 0-691-09983-9
}}</ref>。

もし円周率が {{math|3.14159}} に近いことを知っていれば、{{math|22/7}}（{{math|3.142857}} に近い）よりも小さいことは自明である。しかし、{{math|''&pi;'' < 22/7}} を示すのは、{{math|''&pi;''}} が {{math|3.14159}} に近いことを示すよりもずっと手間は小さい。この証明の評価方法は一般化され、円周率の値を計算する系統的な方法になっている。

== 背景 ==
{{math|22/7}} は、{{math|''&pi;''}} の正則な[[連分数]]展開から得られる[[近似値]]の一つであり、また、表現が簡潔であることから {{math|''&pi;''}} の近似値として広く用いられている。{{math|22/7}} が {{math|''&pi;''}} よりも大きいことは、これらの値の[[十進法]]での小数展開
:<math>\begin{align}
\frac{22}7 &=3.\overline{142\, 857}  \\
\pi\,      &=3.141\, 592\, 65\cdots
\end{align}</math>
より分かる。

この近似値は[[古代]]より知られており、[[アルキメデス]]は[[紀元前3世紀]]に、{{math|22/7}} が円周を大きめに見積もった近似値であることを証明した{{refnest|group=注釈|name="アルキメデス1972.pp=484-487"|「円の計算」命題三：任意の円の周はその直径の3倍よりも大きく、その超過分は直径の {{math|1/7}} よりは小さく、{{math|10/71}} よりは大きい（{{math|{{sfrac|3|10|71}} < π < {{sfrac|3|1|7}}}}）<ref>{{Harvtxt|アルキメデス|1972|pp=484-487}}.</ref>。}}。彼の証明は、円に外接する正九十六角形の[[周長]]の、円の直径に対する比が、{{math|22/7}} よりも小さいことを示すものであった<ref group=注釈 name="アルキメデス1972.pp=484-487" />。これ以前の証明は知られていないが、アルキメデス以前から、{{math|22/7}} は円周率の近似値として用いられていた形跡がある。

より精密な {{math|''&pi;''}} の近似値に、{{math|355/113}} がある。これも {{math|''&pi;''}} の連分数展開から得られる近似値であって、円周率よりわずかに大きい。

== 証明 ==
証明の概略は非常に簡潔に述べられる。
:<math>0<\int_0^1 \! \frac{x^4(1-x)^4}{1+x^2} \, {\rm d}x=\frac{22}{7} -\pi</math>
より、{{math|''&pi;''}} は {{math|22/7}} よりも小さい。

この積分の計算は、[[1968年]]の{{仮リンク|ウィリアム・ローウェル・パトナム数学競技会|en|William Lowell Putnam Mathematical Competition}}の最初の問題として出題された<ref>{{Citation
|last = Alexanderson
|first = Gerald L.
|last2 = Klosinski
|first2 = Leonard F.
|last3 = Larson
|first3 = Loren C. (editors)
|title = The William Lowell Putnam Mathematical Competition: Problems and Solutions: 1965--1984
|place = Washington, D.C.
|publisher = The Mathematical Association of America
|year = 1985
|url = https://books.google.co.jp/books?id=HNLRgSGZrWMC&pg=PA9&dq=December-7-1968+Putnam+Mathematical-Competition&ei=DZCfR4iRJJu4sgPRu-CwCg&sig=u4-SIYyVtV3rbwN-p56c42BGUKw&redir_esc=y&hl=ja
|isbn = 0-88385-463-5
|zbl = 0584.00003
}}</ref>。
パトナムの競技会の他のほとんどの問題は、この問題よりも難しい。しかし、この競技会は、直接にはあまり知られていなくとも、実は非常によく知られたことに言及していると判明する問題を、しばしば呼び物にしている。この積分は、[[インド工科大学]]の入試問題に用いられたこともある<ref>[https://web.archive.org/web/20100601080814/http://entrance.icbse.com/iit-jee/solutions/2010/fiitjee-1.pdf IIT Joint Entrance Exam], 15ページの第38問</ref>。

== 積分の評価の詳細 ==
被積分関数の分母と分子が共に非負であることから、この積分の値が正であることは直ちに分かる。よって、あとはこの積分の値を、[[有理関数]]の標準的な積分の手順に従って求めればよい。
:<math>\begin{align}
0 &<\int_0^1 \! \frac{x^4(1-x)^4}{1+x^2} \, {\rm d}x \\
& \phantom{<} =\int_0^1 \! \frac{x^4-4x^5+6x^6-4x^7+x^8}{1+x^2} \, {\rm d}x \\
& \phantom{<} =\int_0^1 \! \biggl( x^6-4x^5+5x^4-4x^2+4-\frac{4}{1+x^2}\biggr) \, {\rm d}x \\
& \phantom{<} =\biggl[ \frac{x^7}{7} -\frac{2x^6}{3} +x^5 -\frac{4x^3}{3} +4x-4\arctan{x} \, \biggr]_0^1 \\
& \phantom{<} =\frac{1}{7} -\frac{2}{3} +1-\frac{4}{3} +4-\pi \\
& \phantom{<} =\frac{22}{7} -\pi
\end{align}
</math>

== 直ちに得られる円周率の評価 ==
Dalzell は[[1944年]]の論文で、この積分に言及し、被積分関数の分母に ''x'' = 1 を代入すると下からの評価が、''x'' = 0 を代入すると上からの評価が得られると指摘した<ref>{{citation
|last = Dalzell
|first = D. P.
|year = 1944
|title = On 22/7
|journal = Journal of the London Mathematical Society
|volume = 19
|pages = 133--134
|mr = 0013425
|zbl = 0060.15306
}}.</ref>。すなわち、
:<math>\frac{1}{1260} =\int_0^1 \frac{x^4 (1-x)^4}{2} \, dx<\int_0^1 \frac{x^4 (1-x)^4}{1+x^2} \, dx<\int_0^1 \frac{x^4 (1-x)^4}{1} \, dx=\frac{1}{630}</math>
であり、これより円周率 {{π}} の評価として
:<math>\frac{22}{7} -\frac{1}{630} <\pi <\frac{22}{7} -\frac{1}{1260}</math>
を得る。十進小数で表現すると 3.1412… < {{π}} < 3.1420… となる。これらの評価値の誤差は、0.015% 未満である。

== より良い評価 ==
{{π}} のより良い上限としてよく知られた {{sfrac|355|113}} は、
:<math>0<\int_0^1 \frac{x^8(1-x)^8 (25+816x^2 )}{3164(1+x^2 )} \, dx=\frac{355}{113} -\pi</math>
として与えられる<ref name="Lucas2005" />。この値は十進小数で表すと
:<math>\frac{355}{113} =3.141\, 592\, 92\cdots</math>
であり、小数点以下6桁まで {{π}} と一致する。被積分関数の分母に ''x'' = 1 を代入すると、積分値の下限
:<math>\int_0^1 \frac{x^8(1-x)^8 (25+816x^2 )}{6328} \, dx=\frac{911}{5\, 261\, 111\, 856} =0.000\, 000\, 173\cdots</math>
を得る。''x'' = 0 を代入すると、積分値の上限として、上記の数の2倍を得るので、円周率の評価として
:<math>\frac{355}{113} -\frac{911}{2\, 630\, 555\, 928} <\pi <\frac{355}{113} -\frac{911}{5\, 261\, 111\, 856}</math>
を得る。この評価は、十進小数として表すと '''3.141'''&thinsp;'''592'''&thinsp;57… < {{π}} < '''3.141'''&thinsp;'''592'''&thinsp;74… であり、太文字で表した小数点以下6桁まで円周率と一致する。

== 一般化 ==
{{harvtxt|Backhouse|1995}}<ref>{{citation
|last = Backhouse
|first = Nigel
|year = 1995
|month = July
|title = Note 79.36, Pancake functions and approximations to {{π}}
|journal = The Mathematical Gazette
|volume = 79
|issue = 485
|pages = 371--374
|jstor = 3618318
}}</ref> や {{harvtxt|Lucas|2005}} で示唆されているように、ここまでの議論は一般化される（ただし、どちらの文献も詳しい計算は含んでいない）。任意の正整数 ''n'' に対して
:<math>
\frac1{2^{2n-1}} \int_0^1 x^{4n} (1-x)^{4n} \, dx
<\frac1{2^{2n-2}} \int_0^1 \frac{x^{4n} (1-x)^{4n}}{1+x^2} \, dx
<\frac1{2^{2n-2}} \int_0^1 x^{4n} (1-x)^{4n} \,dx,
</math>
が成り立ち、第二の積分は
:<math>\begin{align}
&\frac1{2^{2n-2}}\int_0^1\frac{x^{4n}(1-x)^{4n}}{1+x^2}\,dx\\
&\qquad=\sum_{j=0}^{2n-1}\frac{(-1)^j}{2^{2n-j-2}(8n-j-1)\binom{8n-j-2}{4n+j}}
+(-1)^n\biggl(\pi-4\sum_{j=0}^{3n-1}\frac{(-1)^j}{2j+1}\biggr)
\end{align}</math>
となって {{π}} を含む式を得る。この式の最後の和は、[[ライプニッツの公式]]に現れる[[級数]]を有限で切ったものになっている。戻って第一の積分は
:<math>\frac1{2^{2n-1}} \int_0^1 x^{4n}(1-x)^{4n} \, dx
=\frac{1}{2^{2n-1} (8n+1)\binom{8n}{4n}}</math>
であり、第三の積分はこの2倍である。この値は、''n'' が大きくなるにつれて急激に 0 に近付くので、ここで議論している方法が、{{π}} の近似値を求めるのに適していることが分かる。
<div style="clear:both;width:95%" class="NavFrame">
<div class="NavHead" style="background-color:#FFFAF0;text-align:left;font-size:larger">これらの積分の計算</div>
<div class="NavContent" style="text-align:left;display:none;">
任意の整数 ''k'' ≥ 0 と ''l'' ≥ 2 に対して、
:<math>\begin{align}
x^k (1-x)^l &=(1-2x+x^2 )x^k (1-x)^{l-2}\\
&=(1+x^2 )\, x^k (1-x)^{l-2} -2x^{k+1}(1-x)^{l-2}
\end{align}</math>
であるから、この変形を 2''n'' 回繰り返すことにより
:<math>x^{4n}(1-x)^{4n}
=(1+x^2 )\sum_{j=0}^{2n-1}(-2)^j x^{4n+j} (1-x)^{4n-2(j+1)} +(-2)^{2n} x^{6n}.</math>
を得る。また、
:<math>\begin{align}
x^{6n} -(-1)^{3n}
&=\sum_{j=1}^{3n} (-1)^{3n-j} x^{2j} -\sum_{j=0}^{3n-1} (-1)^{3n-j} x^{2j}\\
&=\sum_{j=0}^{3n-1} \bigl( (-1)^{3n-(j+1)} x^{2(j+1)} -(-1)^{3n-j} x^{2j} \bigr)\\
&=-(1+x^2 )\sum_{j=0}^{3n-1} (-1)^{3n-j} x^{2j} ,\\
\end{align}</math>
である。ここに、第一の等式が成り立つのは ''j'' = 1, …, 3''n'' &minus; 1 の項が打ち消しあって消えるためであり、第二の等式では、第一の和において ''j'' = ''j''{{sub|0}} + 1 とおいて ''j''{{sub|0}} を改めて ''j'' としている。

これらの結果を用いて
:<math>\begin{align}
\frac{x^{4n} (1-x)^{4n}}{2^{2n-2} (1+x^2)}
&=\sum_{j=0}^{2n-1} \frac{(-1)^j}{2^{2n-j-2}} x^{4n+j} (1-x)^{4n-2j-2}\\
&\qquad {}-4\sum_{j=0}^{3n-1} (-1)^{3n-j} x^{2j} +(-1)^{3n} \frac4{1+x^2} \qquad (*)
\end{align}</math>
を得る。

次に、任意の整数 ''k'', ''l'' ≥ 0 に対して、[[部分積分]]を ''l'' 回適用することにより、
:<math>\begin{align}
\int_0^1 x^k (1-x)^l \, dx
&=\frac{l}{k+1} \int_0^1 x^{k+1} (1-x)^{l-1} \, dx\\
&=\cdots\\
&=\frac{l}{k+1} \frac{l-1}{k+2} \cdots \frac{1}{k+l} \int_0^1 x^{k+l} \, dx\\
&=\frac{1}{(k+l+1) \binom{k+l}{k}}\qquad(**)
\end{align}</math>
を得る。特に、''k'' = ''l'' = 4''n'' とおけば
:<math>\int_0^1 x^{4n} (1-x)^{4n} \, dx
=\frac{1}{(8n+1)\binom{8n}{4n}}</math>
を得る。

(*) を 0 から 1 まで積分し、(**) と arctan 1 = {{sfrac|{{π}}|4}} を用いると、{{π}} を含んだ目的の積分値を得る。
</div></div>

=== 例 ===
''n'' = 1 の場合はすでに見た。''n'' = 2 の場合は、
:<math>\frac14\int_0^1 \frac{x^8(1-x)^8}{1+x^2} \, dx=\pi -\frac{47\, 171}{15\, 015}</math>
および
:<math>\frac18\int_0^1 x^8(1-x)^8 \, dx=\frac1{1\, 750\, 320}</math>
より
:<math>\frac{47\, 171}{15\, 015} +\frac1{1\, 750\, 320} <\pi <\frac{47\,171}{15\,015}+\frac2{1\, 750\, 320}</math>
すなわち '''3.141'''&thinsp;'''592'''&thinsp;31… < {{π}} < '''3.141'''&thinsp;'''592'''&thinsp;88… となり、{{π}} の近似値を小数点以下第6位まで得る。

同様に ''n'' = 3 の場合は、
:<math>\frac1{16}\int_0^1 \frac{x^{12}(1-x)^{12}}{1+x^2} \, dx=\frac{431\, 302\, 721}{137\, 287\, 920}-\pi</math>
および
:<math>\frac1{32} \int_0^1 x^{12}(1-x)^{12} \, dx=\frac1{2\, 163\, 324\, 800}</math>
より
:<math>\frac{431\, 302\, 721}{137\, 287\, 920} -\frac2{2\, 163\, 324\, 800} <\pi <\frac{431\, 302\,721}{137\, 287\, 920} -\frac1{2\, 163\, 324\, 800}</math>
すなわち '''3.141'''&thinsp;'''592'''&thinsp;'''653'''&thinsp;40… < {{π}} < '''3.141'''&thinsp;'''592'''&thinsp;'''653'''&thinsp;86… となり、{{π}} の近似値を小数点以下第9位まで得る。

次に ''n'' = 4 の場合は、
:<math>\frac1{64}\int_0^1 \frac{x^{16}(1-x)^{16}}{1+x^2}\, dx=\pi -\frac{741\, 269\, 838\, 109}{235\, 953\, 517\, 800}</math>
および
:<math>\frac1{128}\int_0^1 x^{16}(1-x)^{16} \, dx=\frac1{2\, 538\, 963\, 567\, 360}</math>
より
:<math>\frac{741\, 269\, 838\, 109}{235\, 953\, 517\, 800}+\frac1{2\, 538\, 963\, 567\, 360} <\pi <\frac{741\, 269\, 838\, 109}{235\, 953\, 517\, 800}+\frac2{2\, 538\, 963\, 567\, 360}</math>
すなわち '''3.141'''&thinsp;'''592'''&thinsp;'''653'''&thinsp;'''589'''&thinsp;55… < {{π}} < '''3.141'''&thinsp;'''592'''&thinsp;'''653'''&thinsp;'''589'''&thinsp;95… となり、{{π}} の近似値を小数点以下第12位まで得る。

== 脚注 ==
{{脚注ヘルプ}}
=== 注釈 ===
{{Reflist|group="注釈"}}
=== 出典 ===
{{Reflist|2}}

== 関連文献 ==
*{{Cite book|和書
|author = アルキメデス
|editor = [[田村松平]] 責任編集
|others = [[三田弘雄]] 訳
|date = 1972-02
|title = 世界の名著 9
|volume = ギリシアの科学
|publisher = 中央公論社
|chapter = 円の計算
|isbn = 978-4-12-400089-4
|ref = {{Harvid|アルキメデス|1972}}
}}
**{{Cite book|和書
|author = アルキメデス
|editor = 田村松平 責任編集
|others = 三田弘雄 訳
|date = 1980-03
|title = 世界の名著 9
|volume = ギリシアの科学
|series = 中公バックス
|publisher = 中央公論社
|chapter = 円の計算
|isbn = 978-4-12-400619-3
|ref = {{Harvid|アルキメデス|1980}}
}}
*Lucas, Stephen (2007), "[http://educ.jmu.edu/~lucassk/Papers/more%20on%20pi.pdf Integral approximations to {{π}} with nonnegative integrands]"
*{{citation
|last = Dalzell
|first = D. P.
|year = 1971
|title = On 22/7 and 355/113
|journal = Eureka; the Archimedeans' Journal
|volume = 34
|pages = 10--13
|issn = 0071-2248
}}

== 関連項目 ==
{{Div col}}
*[[円周率の無理性の証明]]
*[[円周率の歴史]]
*[[世界の名著]]
*[[リンデマンの定理]] -- 円周率が[[超越数]]であることを含意する定理
{{Div col end}}

== 外部リンク ==
*{{MathWorld|title=Pi Formulas|urlname=PiFormulas}}
*Jonathan Borwein, [http://www.cecm.sfu.ca/%7Ejborwein/pi-slides.pdf The Life of Pi]

{{DEFAULTSORT:えんしゆうりつかななふんのにしゆうによりちいさいことのしようめい}}
[[Category:円周率]]
[[Category:数学に関する記事]]
[[Category:証明を含む記事]]