円周率の無理性の証明のソースを表示

{{円周率}}
'''円周率の無理性の証明'''（えんしゅうりつのむりせいのしょうめい）は、[[円周率]]が[[無理数]]であること、すなわち円周率の[[小数]]展開が無限に続き、しかも循環しないことの[[証明 (数学)|証明]]である。円周率が無理数であること自体はよく知られた事実であるが、その証明を目にする機会はあまりない<ref>[[小平邦彦]]は、晩年のエッセイの中で「最近初めて証明を読んだ」と記している（小平 p. 79）。『[[数学セミナー]]』2004年12月号の特集「知っているようで知らない証明に再挑戦」で「{{π}} の[[超越数|超越性]]」が取り上げられた。</ref>。知られている中で最も簡単な証明は、初等的な[[微分積分学]]のみを用いるものである。

== 歴史 ==
{{See also|円周率の歴史}}
円周率は古代から考察の対象とされ、無理数であることは[[紀元前4世紀]]の[[アリストテレス]]が予想していたが、証明されたのは二千年以上後のことである。[[1761年]]、[[ドイツ]]の[[数学者]][[ヨハン・ハインリッヒ・ランベルト]]は、[[三角関数|正接関数]]の無限[[連分数]]表示
:<math>\tan x=\cfrac{x}{1-\cfrac{x^2}{3-\cfrac{x^2}{5-\cfrac{x^2}{\ddots\,}}}}</math>
を用いて、初めて円周率の無理性を示した<ref>歴史については Beckmann 16章 を参照。証明については Hairer & Wanner 1.6節 を参照。ランベルトの原論文は Mémoires sur quelques propriétés remarquables des quantités transcendantes, circulaires et logarithmiques. Mémoires de l'Académie royale des sciences de Berlin, année 1761/1768, 265-322 [http://www.kuttaka.org/~JHL/L1768b.pdf pdf ファイル]</ref>。その証明は現代的にはやや不満の残るものであったが、[[1794年]]に[[フランス]]の[[アドリアン＝マリ・ルジャンドル]]は厳密な証明を与え、さらに {{π}}{{sup|2}} も無理数であることを発見した。したがってルジャンドルは {{π}} の無理性よりも強い結果を示した。

[[20世紀]]には、初等的な微分積分学の知識のみを用いた証明が発見された。そのうち最もよく知られたものは、[[カナダ]]出身の[[イヴァン・ニーベン]]が[[1947年]]に発表した証明<ref>Ivan Niven, ''A simple proof that &pi; is irrational'', Bulletin of the American Mathematical Society, '''53''' (1947), 509. [http://www.ams.org/bull/1947-53-06/S0002-9904-1947-08821-2/S0002-9904-1947-08821-2.pdf 論文の PDF ファイル]</ref>である。それ以前の[[1945年]]にも、[[イギリス]]の{{仮リンク|メアリー・カートライト|en|Mary Cartwright}}が似た証明を与えている。彼女はそれを公表しなかったが、後に[[ハロルド・ジェフリーズ]]の著書に収録された<ref>Jeffreys p.268</ref>。[[1949年]]、[[日本]]の[[岩本義和]]は、ニーベンのアイデアを用いて {{π}}{{sup|2}} が無理数であることの初等的な証明を与えた<ref>Aigner & Ziegler 6章。原論文は Y. Iwamoto, ''A proof that {{π}}{{sup|2}} is irrational'', Journal of the Osaka Institute of Science and Technology '''1''' (1949), 147-148.</ref>。

[[1978年]]、フランスの[[ロジェ・アペリー]]は全ての[[立方数]]の[[逆数]][[加法|和]]
:<math>\frac{1}{1^3} +\frac{1}{2^3} +\frac{1}{3^3} +\frac{1}{4^3} +\cdots</math>
が無理数であることを示した（[[アペリーの定理]]を参照）。この値は、[[リーマンゼータ函数]]
:<math>\zeta (s)=\frac{1}{1^s} +\frac{1}{2^s} +\frac{1}{3^s} +\frac{1}{4^s} +\cdots</math>
の ''s'' = 3 における値 ''ζ''(3) である。同様の手法で、彼は全ての[[平方数]]の逆数和
:<math>\frac{1}{1^2} +\frac{1}{2^2} +\frac{1}{3^2} +\frac{1}{4^2} +\cdots</math>
すなわち ''ζ''(2) も無理数であることを示した。この[[極限]]は <math>\frac{\pi^2}{6}</math> に等しい、という事実をすでに[[レオンハルト・オイラー]]が示していたので（[[バーゼル問題]]を参照）、これはルジャンドルが示したことと[[同値]]である。すなわち、アペリーの証明は {{π}}{{sup|2}} が無理数であることの別証明になっている。

== 証明 ==
本節では、ニーベンの証明を紹介する。原論文は必要最低限の記述しかないが、ここではいくらか解説を加えている。円周率 {{π}} は、[[三角関数|正弦関数]] sin ''x'' の正の[[零点]]の中で最小のものとする<ref>[[初等教育]]においては、円周率の定義は「円周長の直径に対する比率」と学ぶ。この定義は初学者には受け入れ易いものの、現代数学の観点からは、[[曲線]]の長さの定義に依存しているという問題がある。そのため、現代数学においては、別の定義が採用されることが多い。[[円周率#定義]]も参照のこと。どの定義も結果的に同じ定数を定めることが従う。</ref>。証明は[[背理法]]による。すなわち {{π}} が有理数であり　<math>\pi =\frac{a}{b}</math>（''a'', ''b'' は[[正の数と負の数|正]]の[[整数]]）と表せるものと仮定して、それから[[矛盾]]を導く。

[[自然数]] ''n'' に対して、[[実数|実]][[関数 (数学)|関数]] ''f{{sub|n}}''(''x'') を
:<math>f_n (x)=\frac{1}{n!} x^n (a-bx)^n</math>
で定義する。さらに、
:<math>F_n (x)=f_n (x)-f_n^{(2)} (x)+f_n^{(4)} (x)-\cdots +(-1)^n f_n^{(2n)} (x)</math>
とおく。ここで、''f''{{sup|(''k'')}} は ''f'' の ''k'' 階[[微分]]を表す。

'''補題 1'''：''F{{sub|n}}''(0) は整数である。

'''証明'''：''f{{sub|n}}''(''x'') の定義式を[[二項定理|二項展開]]すると、
:<math>f_n (x)=\frac{1}{n!} \left\{ a^n x^n -\binom{n}{1} a^{n-1} bx^{n+1} +\binom{n}{2} a^{n-2} b^2 x^{n+2} -\cdots +(-1)^n b^n x^{2n} \right\}</math>
''f{{sub|n}}''{{sup|(''k'')}}(''x'') に ''x'' = 0 を代入することを考える。

''k'' < ''n'' のときは、''f{{sub|n}}''{{sup|(''k'')}}(''x'') の各項は全て1次以上だから、''f{{sub|n}}''{{sup|(''k'')}}(0) = 0。

''n'' ≤ ''k'' ≤ 2''n'' のときは、''x'' = 0 を代入する際に、1次以上の項は同様に 0 となるため、定数項のみが残り、
:<math>f_n^{(k)} (0)=\frac{1}{n!} \left\{ (-1)^{k-n} \binom{n}{k-n} a^{2n-k} b^{k-n} x^k \right\}^{(k)} =(-1)^{k-n} \frac{k!}{n!} \binom{n}{k-n} a^{2n-k}b^{k-n}</math>
となる。

''n'' ≤ ''k'' ≤ 2''n'' より <math>\frac{k!}{n!}</math>, ''a''{{sup|2''n''&minus;''k''}}, ''b''{{sup|''k''&minus;''n''}} は整数であるから、''f{{sub|n}}''{{sup|(''k'')}}(0) は整数である。

ゆえに、''f{{sub|n}}''{{sup|(''k'')}}(0) の[[加法|和]]・[[減法|差]]である ''F{{sub|n}}''(0) は整数である。

'''補題 2'''：''F{{sub|n}}''({{π}}) = ''F{{sub|n}}''(0)

'''証明'''：<math>\pi =\frac{a}{b}</math> より ''f{{sub|n}}''({{π}} &minus; ''x'') = ''f{{sub|n}}''(''x'') 、この両辺を ''k'' 階[[微分]]すると、[[連鎖律]]（合成関数の微分法則）より、
:<math>(-1)^k f_n^{(k)}(\pi -x)=f_n^{(k)} (x)</math>
が（正確には[[数学的帰納法]]により）分かる。''k'' = 0, 2, 4, …, 2''n'' を代入して得られる式の総和を取ると、
:<math>F_n (\pi -x)=F_n (x)</math>
を得る。''x'' = 0 を代入すると、補題の式が得られる。

'''補題 3'''：<math>\int_0^\pi f_n (x)\sin x\,dx=2F_n (0)</math>

'''証明'''：deg ''f{{sub|n}}'' = 2''n'' より ''f{{sub|n}}''{{sup|(2''n''+2)}}(''x'') = 0、ゆえに、
:<math>F''_n (x)+F_n (x)=f_n (x)</math>
これと、積の微分法、三角関数の微分の公式（[[微分法#概要]]参照）を用いると、
:<math>(F'_n (x)\sin x-F_n (x)\cos x)'=f_n (x)\sin x</math>
を得る。[[微分積分学の基本定理]]より、
:<math>\int_0^\pi f_n (x)\sin x\, dx=\bigg[ F'_n (x)\sin x-F_n (x)\cos x\bigg]_0^\pi =F_n (\pi )+F_n (0)</math>
となる。最後の等式では、{{π}} が正弦関数の零点であることを用いた。補題 2 より、これは 2''F{{sub|n}}''(0) に等しい。

'''結び'''： 0 < ''x'' < {{π}} の範囲では ''f{{sub|n}}''(''x'') > 0 かつ sin ''x'' > 0 である（{{π}} は正弦関数の正の零点のうち「最小の」ものであることに注意）。ゆえに、''f{{sub|n}}''(''x'') sin ''x'' > 0, 補題 3 より ''F{{sub|n}}''(0) > 0 である。次に、この ''F{{sub|n}}''(0) を上から評価する。
:<math>x(\pi -x)=-\left( x-\frac{\pi}{2} \right)^2 +\left( \frac{\pi}{2} \right)^2 \le \left( \frac{\pi}{2} \right)^2</math>
より、
:<math>f_n (x)=\frac{b^n}{n!} \left\{ x(\pi -x) \right\}^n \le \frac{b^n}{n!} \left( \frac{\pi}{2} \right)^{2n}</math>
を得る。0 ≤ ''x'' ≤ {{π}} で 0 ≤ sin ''x'' ≤ 1、補題 3 より、
:<math>F_n (0)=\frac{1}{2} \int_0^\pi f_n (x) \sin x\,dx \le \frac{1}{2} \int_0^\pi \frac{b^n}{n!} \left( \frac{\pi}{2} \right)^{2n} \times 1\,dx=\frac{b^n}{n!} \left( \frac{\pi}{2} \right)^{2n+1}</math>
ここで、自然数 ''n'' は任意である。一般に、<math>\lim_{n\to \infty} \frac{p^n}{n!} =0</math> が成り立つ。したがって、十分大きな ''n'' に対して 0 < ''F{{sub|n}}''(0) < 1 が成り立つ。これは補題 1 に矛盾する。（証明終）

== カートライトの証明 ==
[[ハロルド・ジェフリーズ]]は、この証明法は{{仮リンク|メアリー・カートライト|en|Mary Cartwright}}が1945年にケンブリッジ大学の試験問題として出したもので，彼女はそれをどこからとったのかを明らかにしていないと書いている（注：証明の詳細については英語版の記述を見られたい）。ただし積分変数を置き換えれば、この証明はG.H.Hardy と E.M.Wright の証明（後述）と一致する。

<math>\frac{\pi}{2} =\frac{b}{a}</math> と置き、自然数 ''n'' に対し、
:<math>I_n (x)=\int_{-1}^1 (1-z^2)^n \cos xz\,dz</math>
と置く。このとき、<math>\frac{b^{2n+1}}{n!} I_n \left( \frac{\pi}{2} \right)</math> は整数となる。また、十分大きな ''n'' に対し、<math>0<\frac{b^{2n+1} I_n \left( \frac{\pi}{2} \right)}{n!} <1</math> が言える。これらは矛盾する。

== L. Zhou と L. Markov の証明 ==
ニーベン・インケリの定理より、{{math|''s''<sup>2</sup>}} が {{math|0}} でない有理数ならば、{{math|cos ''s''}} は無理数である。{{math|1=cos ''&pi;'' = −1}} は有理数であるから、{{math|''π''<sup>2</sup> ≠ 0}} は無理数である<ref name = "円周率は無理数"> L. Zhou and L. Markov, ''Recurrent Proofs of the Irrationality of Certain Trigonometric Values'', {{arXiv|id=0911.1933}}.</ref>（したがって {{math|''π''}} も無理数である）。

Zhou–Markov は {{math|''π''}} が無理数であることの別の初等的な証明も与えている<ref name = "円周率は無理数" />。

ニーベン・インケリの定理の証明を次に示す<ref name = "円周率は無理数" />。

整数 {{math|n &ge; 0}} に対して
:<math>g_n(x) = \frac{(r^2 x^2 - x^4)^n}{n!}</math>
とおき
:<math>
\begin{align}
I_n &= \int_{0}^{r} g_n(x) \sin(r-x)dx,\\
J_n &= \int_{0}^{r} x g_n(x) \cos(r-x)dx,\\
K_n &= \int_{0}^{r} x^2 g_n(x) \sin(r-x)dx,\\
L_n &= \int_{0}^{r} x^3 g_n(x) \cos(r-x)dx,\\
\end{align}
</math>
とおく。{{math|n {{=}} 0}} のときの積分をすると
:<math>
\begin{align}
I_0 &= J_0 = 1-\cos r,\\
K_0 &= r^2-2-2\cos r,\\
L_0 &= 3K_0,\\
\end{align}
</math>
である。各積分を1回ずつ部分積分することにより、{{math|n > 0}} に対して次の漸化式を得る。
:<math>
\begin{align}
I_n &= 4L_{n-1}-2r^2 J_{n-1},\\
J_n &= (4n+1)I_n-2r^2 K_{n-1},\\
K_n &= -(4n+2)J_n+2r^2 L_{n-1},\\
L_n &= (4n+3)K_n+2nr^2I_n-2r^4 K_{n-1}.\\
\end{align}
</math>
これらより、{{math|''I <sub>n</sub>'' , ''J <sub>n</sub>'' , ''K <sub>n</sub>'' , ''L <sub>n</sub>''}} は、すべて
:<math>
\begin{align}
u_n(R)+v_n(R)\cos r
\end{align}
</math>
の形になる。ただし、{{math|''u <sub>n</sub>'' ( ''R'' )}} と {{math|''v <sub>n</sub>'' ( ''R'' )}} は整数係数の {{math|''R'' {{=}} ''r'' <sup>2</sup>}} の多項式で、次数は高々 {{math|2 ''n'' + 1}} である。
:<math>
\begin{align}
I_m = J_m = K_m = L_m = 0\\
\end{align}
</math>
だと仮定すると
:<math>
\begin{align}
I_0 = J_0 = K_0 = L_0 = 0\\
\end{align}
</math>
である。ところが
:<math>
\begin{align}
2I_0 + K_0 = r^2 \ne 0\\
\end{align}
</math>
なので矛盾である。したがって、{{math|''I <sub>n</sub>'' , ''J <sub>n</sub>'' , ''K <sub>n</sub>'' , ''L <sub>n</sub>''}} のうち少なくとも1つは、無限に多くのゼロでない項を持つ。それを {{math|''M <sub>n</sub>''}} とおく。

さて
:<math>
\begin{align}
R = r^2 = {a \over b} \ne 0\\
\end{align}
</math>
が有理数で
:<math>
\begin{align}
\cos r = {p \over q}\\
\end{align}
</math>
も有理数だと仮定する。すると、{{math|''qb'' <sup>2''n'' + 1</sup> ''M''<sub>''n''</sub>}} は整数で、{{math|''n'' → ∞}} のとき限りなく小さくなる。したがって十分大きな {{mvar|''n''}} に対して、{{math|''qb'' <sup>2''n'' + 1</sup> ''M''<sub>''n''</sub> {{=}} 0}} となり、{{math|''M''<sub>''n''</sub> {{=}} 0}} となる。これは矛盾である。ゆえに、ニーベン・インケリの定理が証明された。

== G.H.Hardy と E.M.Wright の証明 ==

正の整数をnとし、c<sub>m</sub>を整数とするとき
:<math>f(x)=\frac{x^n(1-x)^n}{n!}=\frac{1}{n!}\sum_{m=n}^{2n} c_mx^m</math>
とする。0<x<1において
:<math>0<f(x)<\frac{1}{n!}</math>
となる。…(1)

πが有理数であると仮定し、<math>\pi^2=\tfrac{a}{b}</math>（a,bは正の整数）とする。
:<math>G(x)=b^n\sum_{k=0}^{n}(-1)^k \pi^{2n-2k} f^{(2k)}(x)</math>
とする。
m<nまたは2n<mのとき
:<math>f^{(m)}(0)=0</math>
である。
n≦m≦2nのとき
:<math>f^{(m)}(0)=\tfrac{m! c_m}{n!}=m(m-1)\cdot\cdot\cdot(n+1)c_m</math>
なので、整数である。
それゆえ、任意のmに対して
<math>f^{(m)}(0)</math>
は整数である。
したがって
G(0)
は整数である。

f(x)=f(1-x)なので両辺を微分することにより
:<math>f'(x)=-f'(1-x)</math>
:<math>f''(x)=f''(1-x)</math>
:<math>\cdot\cdot\cdot</math>
である。一般に
:<math>f^{(m)}(x)=f^{(m)}(1-x)</math>

のとき
:<math>f^{(m+1)}(x)=-f^{(m+1)}(1-x)</math>
:<math>f^{(m+2)}(x)=f^{(m+2)}(1-x)</math>.
すなわち
:<math>f^{(m)}(x)=(-1)^m f^{(m)}(1-x)</math>
である。
よって
:<math>f^{(2m)}(x)=f^{(2m)}(1-x)</math>
なので
:<math>\begin{align}
G(1-x)&=b^n\sum_{k=0}^{n}(-1)^k \pi^{2n-2k} f^{(2k)}(1-x)\\
&=b^n\sum_{k=0}^{n}(-1)^k \pi^{2n-2k} f^{(2k)}(x)\\
&=G(x).
\end{align}</math>
G(0)=G(1)なのでG(1)も整数である。また
:<math>\begin{align}
(G'(x)\sin \pi x-\pi G(x)\cos \pi x)'
&=(G''(x)+ \pi ^2 G(x))\sin \pi x\\
&=b^n \pi^{2n+2}f(x)\sin \pi x\\
&=\pi^2a^n \sin \pi xf(x)\\
\end{align}</math>
となる。さらに
:<math>\begin{align}
\pi\int\limits_{0}^{1}a^n \sin \pi xf(x)\, dx
&={\tfrac{G'(x)\sin\pi x}{\pi} - G(x)\cos \pi x \Bigg\vert\,}_0^1\\
&=G(0)+G(1)\\
\end{align}</math>
となり、これは整数である。(1)より十分にnが大きいとき
:<math>0 <\pi\int\limits_{0}^{1}a^n \sin \pi xf(x)\, dx < \tfrac{\pi a^n}{n!} < 1</math>
となる。
これは矛盾である。

== ランベルトによる証明 ==
有理数 {{mvar|x}} に対する値 {{math|''y'' {{=}} tan ''x''}} が {{math|0}} または無理数であることから、その対偶を取れば、{{math|0}} でない有理数 {{mvar|y}} に対する値 {{math| ''x'' {{=}} arctan ''y''}} は無理数であることがわかる。よって、{{math|&pi; {{=}} 4 arctan 1}} は無理数である<ref name = "円周率は無理数" />。

== リンデマンの定理の系による証明 ==
円周率の定義は、三角関数  {{math|cos ''x''}} が {{math|0}} を取るような {{math2|''x'' > 0}} の最小値の2倍を用いるものとする。リンデマンの定理の系として、代数的数 {{math| a {{!=}} 0}} に対する {{math|cos ''a''}} は超越数である。リンデマンの定理の系の対偶として、{{math|cos ''a''}} が代数的数であるとき、{{mvar|a}} は {{math| ''a'' {{=}} 0}} か超越数である。円周率の定義とリンデマンの定理の系の対偶より {{math|&pi;}} は超越数であり、無理数である。

== より進んだ結果と未解決問題 ==
ルジャンドルは {{math|''π''{{sup|2}}}} が無理数であることを示したが、現在では {{mvar|π}} の[[冪乗|累乗]]は全て無理数であることが知られている（実は円周率は超越数であり，（非零有理数をべき指数とする）超越数のべき乗も超越数になるので（非零有理数をべき指数とする）円周率のべき乗は超越数になる。そうして超越数は無理数である）。実際、ドイツの[[フェルディナント・フォン・リンデマン]]は、[[1882年]]に {{mvar|π}} が[[超越数]]であることを示した。これは、さらに一般的な[[リンデマンの定理]]<ref>[[1885年]]に[[カール・ワイエルシュトラス]]が証明を簡潔にしたので、'''リンデマン–ワイエルシュトラスの定理'''とも呼ばれる。Beckmann 16章 を参照。定理の主張と証明については 塩川 2.7節 を参照。</ref>の特別な場合である。この定理は、円周率のみならず、[[ネイピア数]] {{mvar|e}}, [[2の自然対数]] {{math|log 2}}, {{math|1}} の[[三角関数|正弦]] {{math|sin 1}} などが超越数であることを導く、非常に強力なものである。また、{{仮リンク|ユーリイ・ネステレンコ|en|Yuri Valentinovich Nesterenko}}は {{mvar|π}} と {{math|''e<sup>π</sup>''}} が {{mathbf|Q}} 上[[体の拡大#代数性・超越性|代数的独立]]であることを示した<ref>塩川 p. 93.</ref>。この事実は、{{mvar|π}} が無理数であることや超越数であることを内包している。

これらの進んだ結果が知られているにもかかわらず、円周率の性質が十分判明したとはいえない。例えば、その（任意の記数法において）小数展開の数字列が十分に「乱数的」であるといえるか（「真の乱数」による乱数列と、何か異なった性質がありはしないか）、例えば[[正規数]]であるか、という問題は（そうであろうとは一般に信じられてはいるが）いまだに未解決である。また、{{π}}{{sup|{{π}}}} や {{π}} + ''e'' のような単純な[[数学定数|定数]]についても、無理数であるかどうかも分かっていないようなものがある。

== 脚注 ==
{{脚注ヘルプ}}
{{reflist}}

== 参考文献 ==
*M. Aigner and G. M. Ziegler, ''Proofs from the Book'', 3rd edition, Springer, 2003. ISBN 3540404600
**蟹江幸博訳『天書の証明』シュプリンガー・フェアラーク東京、2002年（2nd edition の訳）ISBN 443170986X
*P. Beckmann, ''History of Pi'', 3rd edition, St. Martin's Press, 1971 ISBN 0312381859
**田尾陽一・清水韶光訳『{{π}} の歴史』[[筑摩書房]]、2006年 ISBN 4480089853
*E. Hairer and G. Wanner, ''Analysis by Its History'', Undergraduate Texts in Mathematics, Springer-Verlag, 1996 ISBN 0387945512
**蟹江幸博訳『解析教程』シュプリンガー東京、2006年（上巻）ISBN 4431712135（下巻）ISBN 4431712143
*H. Jeffreys, ''Scientific Inference'', 3rd edition, Cambridge University Press, 1973 ISBN 0521084466
*[[小平邦彦]]編『数学の学び方』[[岩波書店]]、1987年 ISBN 4000055119
*{{Cite book|和書|author=塩川宇賢|authorlink=塩川宇賢|date=1999-03-30|title=無理数と超越数|publisher=森北出版|isbn=4-627-06091-2|ref=塩川1999|url=http://www.morikita.co.jp/shoshi/ISBN978-4-627-06091-3.html}} - 20～21頁に円周率の無理性の証明が掲載されている。

== 関連項目 ==
*[[ネイピア数の無理性の証明]]
*[[円周率が22/7より小さいことの証明|円周率が{{sfrac|22|7}}より小さいことの証明]]

{{DEFAULTSORT:えんしゆうりつのむりせいのしようめい}}

[[Category:円周率|むりせいのしようめい]]
[[Category:数学に関する記事]]
[[Category:証明を含む記事]]