円周率を含む数式のソースを表示

{{円周率}}

'''[[円周率]]を含む[[数式]]'''（えんしゅうりつをふくむすうしき）を分野別にまとめる。数式自体または円周率、[[円周率の近似]]のいずれかの記事において重要性が確立されているものだけを述べる。

== ユークリッド幾何学 ==
; 円の外周（[[円周]]） {{mvar|C}} と[[直径]] {{mvar|d}} の関係
: <math>C =\pi d</math>
; 円の面積 {{mvar|A}} と[[半径]] {{mvar|r}} の関係
: <math>A = \pi r^2</math>
; [[球体|球]]の[[体積]] {{mvar|V}} と半径 {{mvar|r}} の関係
: <math>V = \frac{4}{3}\pi r^3</math>
; 球の[[表面積]] {{mvar|S}} と半径 {{mvar|r}} の関係
: <math>S = 4\pi r^2</math>
{{See also|超球面#体積と表面積}}

== 物理学 ==

; [[宇宙定数]]
: <math>\Lambda = {{8\pi G} \over {3c^2}} \rho</math>
; [[不確定性原理|ハイゼンベルクの不確定性原理]]
: <math> \Delta x\, \Delta p \ge \frac h {4\pi} </math>
; [[一般相対性理論]]の[[アインシュタイン方程式]]
: <math> R_{\mu\nu} - \frac{1}{2}g_{\mu\nu}R + \Lambda g_{\mu\nu} = {8 \pi G \over c^4} T_{\mu\nu} </math>
; [[クーロンの法則]]
: <math> F = \frac{|q_1q_2|}{4 \pi \varepsilon_0 r^2}</math>
; 振幅が小さい範囲での[[振り子]]の[[周期]]
: <math>T \approx 2\pi \sqrt\frac L g </math>
; [[座屈]]のオイラーの式
: <math>F =\frac{\pi^2EI}{L^2}</math>

== 円周率を得るための数式 ==

=== 積分 ===

: <math>\int_{-\infty}^\infty \operatorname{sech}(x) \, dx = \pi </math>

: <math>\int_{-\infty}^\infty \int_t^\infty e^{-1/2t^2-x^2+xt} \, dx \, dt = \int_{-\infty}^\infty \int_t^\infty e^{-t^2-1/2x^2+xt} \, dx \, dt = \pi</math>

: <math>\int_{-1}^1 \sqrt{1-x^2}\,dx = \frac \pi 2 </math>
:
: <math>\int_{0}^1 {1 \over 1+x^2}\,dx = \frac \pi4 </math>

: <math>\int_{-1}^1\frac{dx}{\sqrt{1-x^2}} = \pi</math>

: <math>\int_{-\infty}^\infty\frac{dx}{1+x^2} = \pi</math> （[[逆正接関数]]）

: <math>\int_{-\infty}^\infty e^{-x^2}\,dx = \sqrt{\pi}</math>  （[[ガウス積分]]）

: <math>\oint\frac{dz} z = 2\pi i</math> （[[コーシーの積分定理]]）

: <math>\int_{-\infty}^\infty \frac{\sin x} x \,dx=\pi </math>

: <math>\int_0^1 {x^4(1-x)^4 \over 1+x^2}\,dx = {22 \over 7} - \pi</math> （[[円周率が22/7より小さいことの証明]]）

=== 効率的な級数 ===

: <math>\sum_{k=0}^\infty \frac{k!}{(2k+1)!!} = \sum_{k=0}^\infty\frac{2^k k!^2}{(2k+1)!} = \frac \pi 2 </math>

: <math>12 \sum^\infty_{k=0} \frac{(-1)^k (6k)! (13591409 + 545140134k)}{(3k)!(k!)^3 640320^{3k + 3/2}}=\frac 1 \pi </math> （Chudnovsky algorithm）

: <math>\frac{2\sqrt{2}}{9801} \sum^\infty_{k=0} \frac{(4k)!(1103+26390k)}{(k!)^4 396^{4k}}=\frac 1 \pi </math> （[[シュリニヴァーサ・ラマヌジャン]]）

: <math>\frac{12}{\sqrt{(1249638720+159999840\sqrt{61})^{3}}}\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^{n}(6n)!(1657145277365+212175710912\sqrt{61}+(107578229802750+3773980892672\sqrt{61})n)}{(3n)!(n!)^{3}(1249638720+159999840\sqrt{61})^{n}}=\frac{1}{\pi}</math>(Borwein)


: <math>\frac{\sqrt{3}}{6^5} \sum_{k = 0}^{\infty} \frac{((4k)!)^2(6k)!}{9^{k+1}(12k)!(2k)!} \left( \frac{127169}{12k + 1} - \frac{1070}{12k + 5} - \frac{131}{12k + 7} + \frac{2}{12k + 11}\right)=\pi</math><ref>Cetin Hakimoglu-Brown [http://iamned.com/math/infiniteseries.pdf Derivation of Rapidly Converging Infinite Series]</ref>

以下は、円周率の任意の桁を[[二進法|2進数]]で求められる効率的な数式である。

: <math>\sum_{k = 0}^{\infty} \frac{1}{16^k} \left( \frac{4}{8k + 1} - \frac{2}{8k + 4} - \frac{1}{8k + 5} - \frac{1}{8k + 6}\right)=\pi</math> （[[ベイリー＝ボールウェイン＝プラウフの公式]]）

: <math>\frac{1}{2^6} \sum_{n=0}^{\infty} \frac{{(-1)}^n}{2^{10n}} \left( - \frac{2^5}{4n+1} - \frac{1}{4n+3} + \frac{2^8}{10n+1} - \frac{2^6}{10n+3} - \frac{2^2}{10n+5} - \frac{2^2}{10n+7} + \frac{1}{10n+9} \right)=\pi</math>

=== 他の級数 ===

:<math>\zeta(2) = \frac{1}{1^2} + \frac{1}{2^2} + \frac{1}{3^2} + \frac{1}{4^2} + \cdots = \frac{\pi^2}{6}</math> （[[バーゼル問題|バーゼルの問題]]、[[リーマンゼータ関数]]）

: <math>\zeta(4)= \frac{1}{1^4} + \frac{1}{2^4} + \frac{1}{3^4} + \frac{1}{4^4} + \cdots = \frac{\pi^4}{90}</math>

:<math>\zeta(2n) = \sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{k^{2n}}\, = \frac{1}{1^{2n}} + \frac{1}{2^{2n}} + \frac{1}{3^{2n}} + \frac{1}{4^{2n}} + \cdots = (-1)^{n+1}\frac{B_{2n}(2\pi)^{2n}}{2(2n)!}</math> , ただし ''B''<sub>2''n''</sub> は [[ベルヌーイ数]]）

: <math>\sum_{n=1}^{\infty} \frac{3^n - 1}{4^n}\, \zeta(n+1) = \pi</math><ref>[http://mathworld.wolfram.com/PiFormulas.html Weisstein, Eric W. "Pi Formulas", MathWorld]</ref>

:<math>\sum_{n=0}^{\infty} {\left( \frac{(-1)^{n}}{2n+1} \right) }^1 = \frac{1}{1} - \frac{1}{3} + \frac{1}{5} - \frac{1}{7} + \frac{1}{9} - \cdots = \arctan{1} = \frac{\pi}{4}</math> （[[ライプニッツの公式|ライプニッツ公式]]）

: <math>\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n+1}}{n^2}=\frac{1}{1^2} - \frac{1}{2^2} + \frac{1}{3^2} - \frac{1}{4^2} + \cdots=\frac{\pi^2}{12}</math>

: <math>\sum_{n=1}^{\infty} \frac1{(2n)^2} = \frac{1}{2^2} + \frac{1}{4^2} + \frac{1}{6^2} + \frac{1}{8^2} + \cdots = \frac{\pi^2}{24}</math>

: <math>\sum_{n=0}^{\infty} {\left( \frac{(-1)^{n}}{2n+1} \right) }^2 = \frac{1}{1^2} + \frac{1}{3^2} + \frac{1}{5^2} + \frac{1}{7^2} + \cdots = \frac{\pi^2}{8}</math>

: <math>\sum_{n=0}^{\infty} {\left( \frac{(-1)^{n}}{2n+1} \right) }^3 = \frac{1}{1^3} - \frac{1}{3^3} + \frac{1}{5^3} - \frac{1}{7^3} + \cdots = \frac{\pi^3}{32}</math>

: <math>\sum_{n=0}^{\infty} {\left( \frac{(-1)^{n}}{2n+1} \right) }^4 = \frac{1}{1^4} + \frac{1}{3^4} + \frac{1}{5^4} + \frac{1}{7^4} + \cdots = \frac{\pi^4}{96}</math>

: <math>\sum_{n=0}^{\infty} {\left( \frac{(-1)^{n}}{2n+1} \right) }^5 = \frac{1}{1^5} - \frac{1}{3^5} + \frac{1}{5^5} - \frac{1}{7^5} + \cdots = \frac{5\pi^5}{1536}</math>

: <math>\sum_{n=0}^{\infty} {\left( \frac{(-1)^{n}}{2n+1} \right) }^6 = \frac{1}{1^6} + \frac{1}{3^6} + \frac{1}{5^6} + \frac{1}{7^6} + \cdots = \frac{\pi^6}{960}</math>

: <math> \sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{(4n+1)(4n+3)} = \frac{1}{1\cdot 3}+\frac{1}{5\cdot 7} +\frac{1}{9\cdot 11} +\cdots=\frac{\pi}{8}</math>

: <math> \pi = {{1}} + \frac{{1}}{{2}} + \frac{{1}}{{3}} + \frac{{1}}{{4}} - \frac{{1}}{{5}} + \frac{{1}}{{6}} + \frac{{1}}{{7}} + \frac{{1}}{{8}} + \frac{{1}}{{9}} - \frac{{1}}{{10}} + \frac{{1}}{{11}} + \frac{{1}}{{12}} - \frac{{1}}{{13}} + \cdots </math> &nbsp; （オイラー、1748年）

: この式では、最初の2つの項の後、符号は次のように決定される。分母が4m - 1で表される素数である場合、符号は正であり。分母が4m + 1で表される素数である場合、符号は負である。 合成数の場合、符号はその素因数分解した素数の符号の積に等しい<ref>[[:en:Carl_B._Boyer|Carl B. Boyer]], ''A History of Mathematics'', Chapter 21., p. 488-489</ref>。

: また

: <math>\sum_{n=1}^\infty \frac{F_{2n}}{n^2 \binom{2n}{n}}=\frac{4\pi^2}{25\sqrt5}</math>

: ただし <math>F_n</math> は''n''番目の[[フィボナッチ数]]。

=== マチンの公式 ===

: <math>\frac{\pi}{4} = \arctan 1</math>

: <math>\frac{\pi}{4} = \arctan\frac{1}{2} + \arctan\frac{1}{3}</math>

: <math>\frac{\pi}{4} = 2 \arctan\frac{1}{2} - \arctan\frac{1}{7}</math>

: <math>\frac{\pi}{4} = 2 \arctan\frac{1}{3} + \arctan\frac{1}{7}</math>

: <math>\frac{\pi}{4} = 4 \arctan\frac{1}{5} - \arctan\frac{1}{239} </math> （[[マチンの公式]]）

: <math>\frac{\pi}{4} = 5 \arctan\frac{1}{7} + 2 \arctan\frac{3}{79}</math>

: <math>\frac{\pi}{4} = 6 \arctan\frac{1}{8} + 2 \arctan\frac{1}{57} + \arctan\frac{1}{239}</math>

: <math>\frac{\pi}{4} = 12 \arctan\frac{1}{49} + 32 \arctan\frac{1}{57} - 5 \arctan\frac{1}{239} + 12 \arctan\frac{1}{110443}</math>

: <math>\frac{\pi}{4} = 44 \arctan\frac{1}{57} + 7 \arctan\frac{1}{239} - 12 \arctan\frac{1}{682} + 24 \arctan\frac{1}{12943}</math>

: <math>\frac{\pi}{2} = \sum_{n=0}^\infty \arctan\frac{1}{F_{2n+1}} = \arctan\frac{1}{1} + \arctan\frac{1}{2} + \arctan\frac{1}{5} + \arctan\frac{1}{13} + \cdots </math>

ただし <math>F_n</math> は''n''番目のフィボナッチ数。

=== 級数 ===
円周率を含む級数<ref>{{Cite web|url=http://www.pi314.net/eng/ramanujan.php|title=The world of Pi|accessdate=2011-01-29|author=Simon Plouffe / David Bailey|last=Simon Plouffe / David Bailey|publisher=Pi314.net}}<br />
{{Cite web|url=http://numbers.computation.free.fr/Constants/Pi/piSeries.html|title=Collection of series for {{pi}}|accessdate=2011-01-29|publisher=Numbers.computation.free.fr}}</ref>
{| class="wikitable" style="margin-bottom: 10px;"
| <math>\pi=\frac{1}{Z}</math>
| <math>Z=\sum_{n=0}^{\infty } \frac{((2n)!)^3(42n+5)} {(n!)^6{16}^{3n+1}}</math>
|-
| <math>\pi=\frac{4}{Z}</math>
| <math>Z=\sum_{n=0}^{\infty } \frac{(-1)^n(4n)!(21460n+1123)} {(n!)^4{441}^{2n+1}{2}^{10n+1}}</math>
|-
| <math>\pi=\frac{4}{Z}</math>
| <math>Z=\sum_{n=0}^{\infty } \frac{(6n+1)\left ( \frac{1}{2} \right )^3_n} {{4^n}(n!)^3}</math>
|-
| <math>\pi=\frac{32}{Z}</math>
| <math>Z=\sum_{n=0}^{\infty } \left (\frac{\sqrt{5}-1}{2} \right )^{8n} \frac{(42n\sqrt{5} +30n + 5\sqrt{5}-1) \left ( \frac{1}{2} \right )^3_n} {{64^n}(n!)^3}</math>
|-
| <math>\pi=\frac{27}{4Z}</math>
| <math>Z=\sum_{n=0}^{\infty } \left (\frac{2}{27} \right )^n \frac{(15n+2)\left ( \frac{1}{2} \right )_n \left ( \frac{1}{3} \right )_n \left ( \frac{2}{3} \right )_n} {(n!)^3}</math>
|-
| <math>\pi=\frac{15\sqrt{3}}{2Z}</math>
| <math>Z=\sum_{n=0}^{\infty } \left ( \frac{4}{125} \right )^n \frac{(33n+4)\left ( \frac{1}{2} \right )_n \left ( \frac{1}{3} \right )_n \left ( \frac{2}{3} \right )_n} {(n!)^3}</math>
|-
| <math>\pi=\frac{85\sqrt{85}}{18\sqrt{3}Z}</math>
| <math>Z=\sum_{n=0}^{\infty } \left ( \frac{4}{85} \right )^n \frac{(133n+8)\left ( \frac{1}{2} \right )_n \left ( \frac{1}{6} \right )_n \left ( \frac{5}{6} \right )_n} {(n!)^3}</math>
|-
| <math>\pi=\frac{5\sqrt{5}}{2\sqrt{3}Z} </math>
| <math>Z=\sum_{n=0}^{\infty } \left ( \frac{4}{125} \right )^n \frac{(11n+1)\left ( \frac{1}{2} \right )_n \left ( \frac{1}{6} \right )_n \left ( \frac{5}{6} \right )_n} {(n!)^3}</math>
|-
| <math>\pi=\frac{2\sqrt{3}}{Z} </math>
| <math>Z=\sum_{n=0}^{\infty } \frac{(8n+1)\left ( \frac{1}{2} \right )_n \left ( \frac{1}{4} \right )_n \left ( \frac{3}{4} \right )_n} {(n!)^3{9}^{n}}</math>
|-
| <math>\pi=\frac{\sqrt{3}}{9Z} </math>
| <math>Z=\sum_{n=0}^{\infty } \frac{(40n+3)\left ( \frac{1}{2} \right )_n \left ( \frac{1}{4} \right )_n \left ( \frac{3}{4} \right )_n} {(n!)^3{49}^{2n+1}}</math>
|-
| <math>\pi=\frac{2\sqrt{11}}{11Z} </math>
| <math>Z=\sum_{n=0}^{\infty } \frac{(280n+19)\left ( \frac{1}{2} \right )_n \left ( \frac{1}{4} \right )_n \left ( \frac{3}{4} \right )_n} {(n!)^3{99}^{2n+1}}</math>
|-
| <math>\pi=\frac{\sqrt{2}}{4Z} </math>
| <math>Z=\sum_{n=0}^{\infty } \frac{(10n+1) \left ( \frac{1}{2} \right )_n \left ( \frac{1}{4} \right )_n \left ( \frac{3}{4} \right )_n} {(n!)^3{9}^{2n+1}}</math>
|-
| <math>\pi=\frac{4\sqrt{5}}{5Z} </math>
| <math>Z=\sum_{n=0}^{\infty } \frac{(644n+41) \left ( \frac{1}{2} \right )_n \left ( \frac{1}{4} \right )_n \left ( \frac{3}{4} \right )_n} {(n!)^35^n{72}^{2n+1}}</math>
|-
| <math>\pi=\frac{4\sqrt{3}}{3Z} </math>
| <math>Z=\sum_{n=0}^{\infty } \frac{(-1)^n(28n+3) \left ( \frac{1}{2} \right )_n \left ( \frac{1}{4} \right )_n \left ( \frac{3}{4} \right )_n} { (n!)^3{3^n}{4}^{n+1}}</math>
|-
| <math> \pi=\frac{4}{Z}</math>
| <math>Z=\sum_{n=0}^{\infty } \frac{(-1)^n(20n+3) \left ( \frac{1}{2} \right )_n \left ( \frac{1}{4} \right )_n \left ( \frac{3}{4} \right )_n} { (n!)^3{2}^{2n+1}}</math>
|-
| <math>\pi=\frac{72}{Z} </math>
| <math>Z=\sum_{n=0}^{\infty } \frac{(-1)^n(4n)!(260n+23)}{(n!)^44^{4n}18^{2n}}</math>
|-
| <math>\pi=\frac{3528}{Z} </math>
| <math>Z=\sum_{n=0}^{\infty } \frac{(-1)^n(4n)!(21460n+1123)}{(n!)^44^{4n}882^{2n}}</math>
|}
<math>(x)_n </math> は[[階乗冪]]。
{{See also|en:Ramanujan–Sato series}}

=== 無限積 ===

: <math> \frac{\pi}{4} = \frac{3}{4} \cdot \frac{5}{4} \cdot \frac{7}{8} \cdot \frac{11}{12} \cdot \frac{13}{12} \cdot \frac{17}{16} \cdot \frac{19}{20} \cdot \frac{23}{24} \cdot \frac{29}{28} \cdot \frac{31}{32}  \cdot\,\cdots </math> (オイラー）
: 全ての奇素数を[[分子]]とし、それに最も近い4の[[倍数]]を[[分母]]とした分数の総乗。

: <math> \prod_{n=1}^{\infty} \frac{4n^2}{4n^2-1} = \frac{2}{1} \cdot \frac{2}{3} \cdot \frac{4}{3} \cdot \frac{4}{5} \cdot \frac{6}{5} \cdot \frac{6}{7} \cdot \frac{8}{7} \cdot \frac{8}{9} \cdots = \frac{4}{3} \cdot \frac{16}{15} \cdot \frac{36}{35} \cdot \frac{64}{63} \cdot\,\cdots = \frac{\pi}{2} </math> （[[ウォリス積]]を参照）

: <math>\prod_{n=1}^{\infty} \cos \frac{90^\circ}{2^n} = \frac{\sqrt2}2 \cdot \frac{\sqrt{2+\sqrt2}}2 \cdot \frac{\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt2}}}2 \cdot\, \cdots = \frac2\pi</math> （[[フランソワ・ビエト#ビエトの公式|ビエトの公式]]）

=== 連分数 ===

: <math>
\pi= {3 + \cfrac{1^2}{6 + \cfrac{3^2}{6 + \cfrac{5^2}{6 + \cfrac{7^2}{6 + \ddots\,}}}}}
</math>

: <math>
\pi = \cfrac{4}{1 + \cfrac{1^2}{3 + \cfrac{2^2}{5 + \cfrac{3^2}{7 + \cfrac{4^2}{9 + \ddots}}}}}
</math>

: <math>
\pi = \cfrac{4}{1 + \cfrac{1^2}{2 + \cfrac{3^2}{2 + \cfrac{5^2}{2 + \cfrac{7^2}{2 + \ddots}}}}}</math>

: <math>
2\pi = {6 + \cfrac{2^2}{12 + \cfrac{6^2}{12 + \cfrac{10^2}{12+ \cfrac{14^2}{12 + \cfrac{18^2}{12 + \ddots}}}}}}
</math>

{{See also|連分数}}

=== その他 ===

:<math>n! \sim \sqrt{2 \pi n} \left(\frac{n}{e}\right)^n</math> （[[スターリングの近似]]）

: <math>e^{i \pi} +1 = 0</math> （[[オイラーの等式]]）

: <math>\sum_{k=1}^{n} \varphi (k) \sim \frac{3n^2}{\pi^2}</math> （[[オイラーのトーティエント関数]]）

: <math>\sum_{k=1}^{n} \frac {\varphi (k)} {k} \sim \frac{6n}{\pi^2}</math> （オイラーのトーティエント関数）

: <math>\Gamma\left({1 \over 2}\right)=\sqrt{\pi}</math> （[[ガンマ関数]]）

: <math>\pi = \frac{\Gamma\left({1/4}\right)^{4/3} \operatorname{agm}(1, \sqrt{2})^{2/3}}{2}</math> （agmは[[算術幾何平均]]）

: <math>\lim_{n\rightarrow \infty}\frac{1}{n^2} \sum_{k=1}^n (n\;\bmod\;k) = 1-\frac{\pi^2}{12}</math> （mod は[[モジュロ演算|剰余演算]]）

: <math> \pi = \lim_{n \rightarrow \infty} \frac{4}{n^2} \sum_{k=1}^n \sqrt{n^2 - k^2} </math> （単位円の面積とリーマン和を参照）

: <math> \pi = \lim_{n \rightarrow \infty} \frac{2^{4n}}{n {2n\choose n}^2} </math> （[[スターリングの近似]]）

== 参考文献 ==
{{reflist}}

== 関連文献 ==

* Peter Borwein, ''[http://www.cecm.sfu.ca/personal/pborwein/PAPERS/P159.pdf The Amazing Number Pi]''
* Kazuya Kato, Nobushige Kurokawa, Saito Takeshi: ''Number Theory 1: Fermat's Dream.'' American Mathematical Society, Providence 1993, {{ISBN2|0-8218-0863-X}}.

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