円外接多角形のソースを表示

[[File:Tangential trapezoid.svg|thumb|円に外接する台形]]
[[ユークリッド幾何学]]における'''接多角形''' (''tangential polygon'') あるいは'''円の外接多角形'''（がいせつたかっけい、{{lang-en-short|''circumscribed polygon''}}; '''円外接多角形'''）は、[[内接円]]（内円）と呼ばれるただ一つの円に全ての[[辺 (幾何学)|辺]]が接する[[凸多角形]]を言う。円外接多角形の{{仮リンク|双対多角形|en|dual polygon}}は[[円内接多角形]]（[[共円多角形]]）で、この場合そのすべての頂点が[[外接円]]と呼ばれる[[共円|ひとつの円周上にある]]。

任意の[[三角形]]は円に外接し、また任意の[[正多角形]]も内接円を持つ。よく調べられている外接多角形は[[円に外接する四角形]]で[[菱形]]や[[凧形]]などはその例となる。

== 特徴付け ==
凸多角形が内接円を持つための[[必要十分条件]]は、その内角の[[角の二等分線|二等分線]]が[[共点|すべて一点で交わる]]ことである。この共通交点は[[内心]]（内接円の中心）となる<ref>Owen Byer, Felix Lazebnik and Deirdre Smeltzer, ''Methods for Euclidean Geometry'', Mathematical Association of America, 2010.</ref>{{rp|77}}。

=== 辺長による存在判定===
{{quotation|
: {{mvar|n}} 個の辺が相隣る順に {{math|''a''{{sub|1}}, …, ''a{{sub|n}}''}} であるような接多角形が存在するための必要十分条件は、[[連立方程式]] <math display="block">x_1+x_2=a_1,\quad x_2+x_3=a_2,\quad \ldots,\quad x_n+x_1=a_n</math> が[[正の数|正]]の[[実数]]解 {{math|(''x''{{sub|1}}, …, ''x{{sub|n}}'')}} を持つことである<ref name=IMO/>。}}
そのような解が存在するとき、{{math|''x''{{sub|1}}, …, ''x{{sub|n}}''}} を外接多角形の'''接辺長''' (''tangent length'') と呼ぶ（{{mvar|x{{sub|i}}}} は外接多角形の各頂点から相隣る接点までの長さになっていることに注意する）。

== 一意性と多意性 ==
多角形の辺数 {{mvar|n}} が奇数ならば、任意に与えられた辺長の組 {{math|''a''{{sub|1}}, …, ''a{{sub|n}}''}} に対して、上記の判定法により、そのような辺長を持つ接多角形がただ一つ存在する。しかし {{mvar|n}} が偶数の場合には、そのような接多角形は無数 (infinitude) に存在する<ref name="Hess">{{citation|和書|title=On a circle containing the incenters of tangential quadrilaterals|last=Hess|first=Albrecht|year=2014|url=http://forumgeom.fau.edu/FG2014volume14/FG201437.pdf|journal=[[Forum Geometricorum]]|volume=14|pages=389–396}}.</ref>{{rp|389}}。例えば、すべての辺が同じ長さを持つ四辺形の場合、任意の角度の鋭角を持つ[[菱形]]が作れて、内接円に接する。

== 内半径 ==
円外接 {{mvar|n}}-角形の辺長が {{math|''a''{{sub|1}}, …, ''a{{sub|n}}''}} であるとき、その内半径（内接円の[[半径]]）は <math display="block">r=\frac{K}{s}=\frac{2K}{\sum_{i=1}^n a_i}</math> で与えられる<ref>Alsina, Claudi and Nelsen, Roger, ''Icons of Mathematics. An exploration of twenty key images'', Mathematical Association of America, 2011</ref>{{rp|125}}。ただし、{{mvar|K}} はその多角形の[[面積]]で {{mvar|s}} は多角形の[[半周長]]とする。

（任意の三角形は内接円を持つのであったから、この公式は任意の三角形に当てはまる。）

== その他の性質 ==
* 円外接奇数角形に対して、すべての辺の長さが等しいための必要十分条件は、全ての角の大きさが等しい（したがって正多角形となる）ことである。円外接偶数角形のすべての辺の長さが等しいための必要十分条件は、連続する全ての角が交互に等しいことである（つまり、相隣る角を順に {{math|A, B, C, D, E, F, …}} とすれば、それらの角度は {{mvar|A, C, E, …}} が等しくかつ {{mvar|B, D, F, …}} が等しい）<ref>{{citation|last=De Villiers |first= Michael |title= Equiangular cyclic and equilateral circumscribed polygons |journal= [[Mathematical Gazette]] |volume= 95 |month= March |year= 2011 |pages= 102–107}}</ref>。
* 円外接偶数角形において、奇数番目の辺の辺長の総和と偶数番目の辺の辺長の総和は等しい<ref name=IMO>Dušan Djukić, Vladimir Janković, Ivan Matić, Nikola Petrović, ''The IMO Compendium'', Springer, 2006</ref>{{rp|561}}。
* 接多角形の面積は、同じ周長を持ちかつ順番まで込めて対応する内角の角度が同じであるようなほかの任意の多角形の面積よりも大きい<ref name=AM>{{cite journal|last1=Tom  M.  Apostol  and  Mamikon  A.  Mnatsakanian|title=Figures  Circumscribing  Circles|journal=American Mathematical Monthly|date=December 2004|pages=853–863|doi=10.2307/4145094|url=http://www.maa.org/sites/default/files/images/upload_library/22/Ford/Apostol853-863.pdf|accessdate= 6 April 2016|volume=111}}</ref>{{rp|862}}<ref>{{cite journal|last1=Apostol|first1=Tom|title=erratum|journal=American Mathematical Monthly|date=December 2005|volume=112|issue=10|page=946|doi=10.1080/00029890.2005.11920274}}</ref>
* 任意の接多角形において、多角形の[[幾何中心|重心]]、境界点すべてからなる集合の重心と、内心は[[同一直線上にある]]。このとき、多角形の重心とほかの二点との間の距離は、内心から境界点集合の重心までの距離の二倍になる<ref name=AM/>{{rp|858–859}}。

== 接線三角形 ==
任意の三角形が何らかの円に外接するけれども、特に[[接線三角形]]と呼ぶときには、基準となる三角形 (reference triangle) を固定して、内接円との接点が基準三角形の頂点となっているような三角形の意味で用いる。

== 接四辺形 ==
{{Excerpt|円に外接する四角形|references=no}}

== 接六角形 ==
[[Image:Brianchon's Theorem.svg|thumb|接六角形の主対角線は共点である]]
* 接[[六角形]] {{math|ABCDEF}} において、主[[対角線]] {{math|AD, BE, CF}} は[[ブリアンションの定理]]により[[共線]]である。

== 関連項目 ==
* [[Circumgon]]

{{polygons}}
== 参考文献 ==
{{reflist}}

== 外部リンク ==
* {{MathWorld|urlname=TangentialPolygon|title=Tangential Polygon}}

{{DEFAULTSORT:えんかいせつたかつけい}}
[[Category:多角形]]
[[Category:数学に関する記事]]