円弧三角形のソースを表示

[[ファイル:Circular_triangles_convex_concave.png|サムネイル|弧の凹凸を混ぜた円弧三角形|187x187px]]
[[幾何学]]において'''円弧三角形'''（えんこさんかくけい、{{Lang-en-short|circular triangle}}、{{Lang-de-short|Kreisbogendreieck}}）は、[[円弧]]を[[辺]]に持つ[[三角形]]<ref name=":0">{{Cite book|和書 |title=幾何学続編 |year=1909 |publisher=[[有朋堂]] |pages= |author=[[ジョン・ケイシー (数学者)|ジョン・ケージー]] |doi=10.11501/828521 |translator=[[山下安太郎]], [[高橋三蔵]] |page=22}}</ref>。円三角形とも<ref>{{Cite book|和書 |title=応用函数論階梯 |year=1943 |publisher=有象堂出版部 |page=56 |author=[[竹内時男]] |id={{NDLJP|1063360}}}}</ref>。曲線三角形（curvilinear triangle）<ref>{{Cite book|和書 |title=英和数学新字典 |year=1902 |publisher=[[開新堂]] |doi=10.11501/826188 |page=310 |author=[[宮本藤吉]]}}</ref>は円に限らない[[曲線]]の一部（[[弧 (幾何学)|弧]]）を辺に持つ三角形で、円弧三角形とは区別される。

== 例 ==
{{multiple image|image1=Circular_triangle_example.svg|caption1=3[[円板]]の共通部分|image2=Circular_horn_triangle_example.svg|caption2=Circular horn triangle|total_width=400}}<div class="thumb tmulti tright"><div class="thumbinner multiimageinner" style="width:392px;max-width:392px"><div class="trow"><div class="tsingle" style="width:130px;max-width:130px"><div class="thumbimage" style="height:128px;overflow:hidden">[[File:ReuleauxTriangle.svg|代替文=|128x128ピクセル]]</div><div class="thumbcaption">[[ルーローの三角形]]</div></div><div class="tsingle" style="width:258px;max-width:258px"><div class="thumbimage" style="height:128px;overflow:hidden">[[File:Arbelos.svg|代替文=|256x256ピクセル]]</div><div class="thumbcaption">[[アルベロス]]</div></div></div></div></div>3つの[[円板]]の[[共通部分]]は凸な円弧三角形を成す。例えば[[ルーローの三角形]]は、中心を[[正三角形]]の各頂点、半径を辺長とする3つの円の共通部分にあたる。しかし、すべての凸な円弧三角形が3円の共通集合として定義されるわけではない。 

'''Circular horn triangle''' はすべての[[内角]]が0となる<ref>{{Citation|title=The geometry of the circular horn triangle|last=Kasner|first=Edward|author-link=Edward Kasner|last2=Kalish|first2=Aida|year=1944|journal=[[National Mathematics Magazine]]|volume=18|pages=299–304|doi=10.2307/3030080|jstor=3030080|mr=10442}}</ref>。3円をそれぞれが他の円に[[接する|外接]]するように配置すれば、horn triangleを作ることができる。ただし、[[アルベロス]]の様に2円を外接させ、1円をその2円に内接するように配置してもhorn triangleを作ることができる<ref>{{Citation|title=Reflections on the arbelos|last=Boas|first=Harold P.|author-link=Harold P. Boas|year=2006|url=http://www.math.tamu.edu/~harold.boas/preprints/arbelos.pdf|journal=[[American Mathematical Monthly]]|volume=113|issue=3|pages=236–249|doi=10.2307/27641891|jstor=27641891|mr=2204487}}.</ref>。アルベロスは、3つの円の中心が[[共線]]で、円の半分（[[半円]]）から成るような特別な場合である。 
[[ファイル:Boscovich's_cardioid.svg|サムネイル|ボスコヴィッチのカージオイドとその周長の二等分線の一つ。]]
[[ルジェル・ヨシプ・ボスコヴィッチ]]は[[カージオイド]]と似た円弧三角形を発見した。この三角形は、3円の中心は共線で円の中心を結ぶ[[直線]]上に頂点を持ち、円はすべて半円で、3円のうち2つは合同で他1つは2円の2倍の半径を持つ。 外側の2つの頂点は内角が<math>\pi</math>、中央の頂点は内角が<math>2\pi</math>である。中央の頂点を通る直線は、すべて[[周長]]の[[二等分線]]となる<ref>{{Citation|title=On the geometry of piecewise circular curves|last=Banchoff|first=Thomas|author-link=Thomas Banchoff|last2=Giblin|first2=Peter|year=1994|journal=[[The American Mathematical Monthly]]|volume=101|issue=5|pages=403–416|doi=10.2307/2974900|jstor=2974900|mr=1272938}}</ref>。

他の円弧三角形も、凸または凹な円弧を組み合わせて作ることができる。

== 角度の特徴づけ ==
{{Math|''θ''{{Sub|1}} , ''θ''{{Sub|2}} , ''θ''{{Sub|3}}}}を区間<math>[0,2\pi]</math>内の角とする。内角に{{Math|''θ''{{Sub|1}} , ''θ''{{Sub|2}} , ''θ''{{Sub|3}}}}を持つ（自己交叉をしない）円弧三角形が存在することと次の[[不等式]]を満たすことは[[同値]]である。<math display="block">
\begin{align}
-2\pi &< \theta_1 + \theta_2 - \theta_3 < 2\pi\\
-2\pi &< \theta_1 + \theta_3 - \theta_2 < 2\pi\\
-2\pi &< \theta_2 + \theta_3 - \theta_1 < 2\pi.
\end{align}
</math>3つの内角がすべて等しい円弧三角形は[[メビウス変換]]の下で同一である<ref>{{Citation|title=Angles of arc-polygons and Lombardi drawings of cacti|last=Eppstein|first=David|author-link=David Eppstein|last2=Frishberg|first2=Daniel|last3=Osegueda|first3=Martha C.|date=June 2023|journal=[[Computational Geometry (journal)|Computational Geometry]]|volume=112|page=101982|arxiv=2107.03615|doi=10.1016/j.comgeo.2023.101982}}</ref>。

== 等周性 ==
円弧三角形は、指定された面積であり指定された3点を含む[[曲線]]の中で最小の周長を求めるという場合の[[等周定理|等周問題]]に解をもたらす。面積が、その3点を通る円（[[外接円]]） の面積より大きければ、解は3点を囲む任意の円である。外接円の面積より小さければ、3点を頂点とする、 円弧の元となる円の半径が等しく、内角の1つが0に達した円弧三角形が解となる。これより下の面積では、曲線は"アンテナ"を持つ円弧三角形、つまり内角0の頂点からいくつかの点を経由する折れ線部分を持つ円弧三角形に退化する。面積が0である場合は[[フェルマー点]]へ退化する<ref>{{Citation|title=What is Mathematics? An Elementary Approach to Ideas and Methods|last=Courant|first=Richard|author-link=Richard Courant|last2=Robbins|first2=Herbert|author2-link=Herbert Robbins|year=1996|edition=2nd|publisher=Oxford University Press|pages=378–379}}</ref>。

== 関連項目 ==

* [[ハート円]]、ある円弧三角形に内接する円。
* {{仮リンク|双曲三角形|en|Hyperbolic triangle}}、[[双曲幾何学]]における直線から成る三角形。 円弧のように描くモデルもある。
* {{仮リンク|三日月形 (幾何学)|en|Lune (geometry)|label=三日月形}}と{{仮リンク|レンズ (幾何学)|en|Lens (geometry)|label=レンズ}}、2つの円弧から成る図。
* [[正弦三倍角円]]
* {{仮リンク|三葉 (シンボル)|en|Trefoil|label=三葉}}、3頂点から外側へ円が膨らんだような円弧三角形。建築物に使われる。

== 出典 ==
{{Reflist}}
== 外部リンク ==
*{{MathWorld|title=Circular Triangle|id=CircularTriangle}}

{{デフォルトソート:えんこさんかくけい}}
[[Category:三角形]]
[[Category:円 (数学)]]
[[Category:数学に関する記事]]