円板のソースを表示

{{混同|円盤}}
{{出典の明記|date=2015年10月}}
[[ファイル:CIRCLE 1.svg|thumb|円板は、円で区切られた領域である。開円板は境界上の点を全て除いた[[内部 (位相空間論)|内部]]であり、閉円板はその境界上の点を全て含む[[閉包 (位相空間論)|閉包]]である。]]
各種[[幾何学]]における'''円板'''（えんばん、{{lang-en-short|disk; disc}} と綴ることもある）は、平面上で[[円 (数学)|円]]で囲まれた[[有界集合|有界]]領域である。

円板はその境界となる円周を「すべて含む」または「全く含まない」ことを以ってそれぞれ「'''閉円板'''」または「'''開円板'''」という。

== 初等幾何学 ==
[[直交座標系]]では、点 (''a'', ''b'') ∈ '''R'''<sup>2</sup> を中心とする半径 ''R'' > 0 の開円板は
:<math>D=D((a,b);R)=\{(x, y)\in {\mathbb R^2}: (x-a)^2+(y-b)^2 < R^2\}</math>
で、同じ中心と半径を持つ閉円板は
:<math>\overline{D}=\overline{D}((a,b);R)=\{(x, y)\in {\mathbb R^2}: (x-a)^2+(y-b)^2 \le R^2\}</math>
で表される。

[[ユークリッド幾何学]]における円板は、[[回転対称]]である。

半径 ''R'' の（開または閉）円板の[[面積]]は、{{π}}''R''<sup>2</sup> である<ref>境界上の点の有無は面積に影響しない。</ref>。{{See2|[[円の面積]]も}}

== 定義 ==
前節で述べたものは、ユークリッド平面 ('''R'''<sup>2</sup>, ''d'') の通常の（ユークリッド）距離 ''d'' に関する開円板
:<math>D(P;r)=\{Q \in \mathbb{R}^2: d_2(P,Q) < r\}</math>
と閉円板
:<math>\overline{D}(P;r)=\{Q\in \mathbb{R}^2 : d_2(P,Q) \le r\}</math>
であり、これは '''R'''<sup>2</sup> を任意の距離空間 (''X'', ''d'') で置き換えてもそのまま通用する。

一般の[[距離空間]]における距離に関して円板を考えたものは、一般に[[球体]] (''ball'') と呼ばれるものを定める（たとえば、三次元ユークリッド空間 ('''R'''<sup>3</sup>, ''d'') における円板は通常の意味における（狭義の）[[球体]]である）。即ち、この文脈において「円板」と言う代わりに「球体」を用いても同じ意味になる。

== 位相的円板 ==
[[位相空間]]としての開円板と閉円板は同相でない（後者は[[コンパクト空間|コンパクト]]だが、前者はそうでない）。

しかし、[[代数的位相幾何学]]的な観点からは、これらは多くの性質が共通している。例えば両者とも[[可縮]]であり、ゆえ[[一元集合|一点]]に[[ホモトピー同値]]である。

従って、さらに、これらの[[基本群]]は自明であり、'''Z''' と同型な零次を除いて、全ての[[ホモロジー群]]が自明である。一点の[[オイラー標数]]は {{math|1}} であるから、開および閉円板のそれもやはりともに {{math|1}} であることがわかる。

閉円板からそれ自身への任意の[[連続写像]]（[[全単射]]でなくてもよく、また[[全射]]であることすら仮定しない）は少なくとも一つの[[不動点]]を持つ<ref>これは、[[ブラウワーの不動点定理]]の ''n'' = 2 の場合である。</ref>。

この主張において閉円板であるというところを「開円板」に置き換えることはできない。

例えば
: <math>f(x,y)=\left({\frac {x+{\sqrt {1-y^{2}}}}{2}},y\right)</math>
は、開単位円板上の任意の点をその点の少し右へ写すから、固定される点は存在しない。

== 注釈 ==
{{脚注ヘルプ}}<references/>
== 関連項目 ==
* [[単位円板]]
* {{仮リンク|穴あき円板|en|Punctured disk}} / [[アニュラス|環帯]]
* [[球体]] - 3次元の円板
* [[レントイド]] - 両凸レンズ形

{{デフォルトソート:えんはん}}
[[Category:円 (数学)]]
[[Category:位相幾何学]]
[[Category:数学に関する記事]]