円板被覆問題のソースを表示

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'''円板被覆問題'''（えんばんひふくもんだい）とは、[[単位円板]]を ''n'' 枚の円板で被覆しようとするとき、被覆可能である最小の半径 ''r(n)'' を求める問題である。また、円板の半径を特定のεとし、単位円板を被覆可能な最小の個数 ''n'' を求める問題でもある<ref>{{Citation|title=The number of circles covering a set|year=1939|last=Kershner|first=Richard|journal=American Journal of Mathematics|volume=61|pages=665–671|doi=10.2307/2371320|DOI=10.2307/2371320|mr=0000043|MR=0000043}}.</ref>。集合被覆問題の特殊な例といえる。

最適な解として、以下の様なものが知られている
{| border="1" class="wikitable" style="margin-bottom: 10px;"
! n
! r(n)
! 対称性
|-
| 1
| 1
|全方向
|-
|2
| 1
|全方向(2枚の円板が重なっている状態）
|-
| 3
| <math>\sqrt{3}/2</math> =0.866025...
| 120°回転、3-鏡映
|-
| 4
| <math>\sqrt{2}/2</math> =0.707107...
| 90°回転、4-鏡映
|-
| 5
| 0.609382...
| 1-鏡映
|-
| 6
| 0.555905...
| 1-鏡映
|-
| 7
| <math>1/2</math> =0.5
| 60°回転、6-鏡映
|-
| 8
| 0.445041...
|360/7° ≒ 51.4°回転、7-鏡映
|-
| 9
| <math>\frac{1}{1+\sqrt{2}}</math>=0.414213...
| 45°回転、8-鏡映
|-
| 10
| 0.394930... 
| 36°回転、9-鏡映
|-
| 11
| 0.380083...
| 1-鏡映
|-
| 12
| 0.361141...
| 120°回転、3-鏡映
|}

== 被覆方法 ==
半径約0.6の6つの円板（実践）で被覆された単位円板（破線）の例を考える。被覆するための円板の1つは中央に配置され、残りの5つはその周りに対称的に配置される。

r(7), r(8), r(9), r(10)も中央に1つの円板を配置し、残りをその周囲に並べることで求められる。そして、周囲の円が接する位置を示すθは、上記の表の「対称性」の列に示す。実際の配置は {{Cite web|url=http://www2.stetson.edu/~efriedma/circovcir/|title=circles covering circles|accessdate=2017-10-30}}を参照。

== 関連項目 ==
* [[集合被覆問題]]

== 脚注 ==
{{reflist}}

== 外部リンク ==
* {{MathWorld|title=Disk Covering Problem|id=DiskCoveringProblem}}
* Finch, S. R. "Circular Coverage Constants." §2.2 in Mathematical Constants. Cambridge, England: Cambridge University Press, pp. 484–489, 2003.
* Illustrations of [http://www2.stetson.edu/~efriedma/circovcir/ circles covering circles]

{{DEFAULTSORT:えんはんひふくもんたい}}
[[Category:離散幾何学]]
[[Category:幾何学関連のスタブ項目]]
[[Category:数学の問題]]
[[Category:数学に関する記事]]