円錐のソースを表示

{{出典の明記|date=2015年10月}}
{{Expand English|Cone|date=2024年5月}}
[[Image:Cone.jpg|thumb|240px|円錐]]
'''円錐'''（えんすい、{{lang-en-short|cone}}）とは、[[円 (数学)|円]]を底面として持つ{{読み仮名|[[錐 (工具)|錐]]|きり}}状にとがった立体のことである。

== 定義 ==
三次元[[ユークリッド空間|空間]]内の[[直線]] ''l'' と ''l'' 上の点 ''p'' を置く。点 ''p'' を通り、直線 ''l'' に[[平行]]でも[[垂直]]でもない直線を、 ''l'' を軸として回転させて得られる[[曲面]]（[[回転面]]）を'''円錐面'''という。

さらに回転軸に[[直交]]する[[平面]] ''P'' をとり、円錐面と ''P'' とで囲む[[有界]]で中身の詰まった立体図形を'''直円錐'''あるいは単に'''円錐'''という。

このとき、点 ''p'' をこの円錐の'''頂点'''、頂点と底面との距離をこの円錐の'''高さ'''といい、直線 ''l'' （と円錐との共通部分）をこの円錐の'''[[母線 (数学)|母線]]'''という。また、円錐と平面 ''P'' との共通部分をこの円錐の'''底面'''といい、そうでない面を'''側面'''という。底面は回転軸と平面 ''P'' との交点を中心とするような円になる。また、円錐の[[展開図]]を書くと、側面は[[扇形]]である。この扇形の[[半径]]となるような[[線分]]も母線と呼ばれ、この扇形の[[中心角]]は円錐の'''頂角'''と呼ばれる。

== 性質 ==
{{Double image aside|right|Cone (geometry).png|150|KegelNetz.svg|150|外観図と展開図}}
* 円錐は、[[錐体]]の一種である。
* 高さを ''h''、母線の長さを ''c''、底面の半径を ''r''、底面積を ''B'' (<math>=\pi r^2</math>)、底面の周を ''b'' (<math>=2 \pi r</math>)、 と置けば、円錐の側面積 ''S''<sub>side</sub>、表面積 ''S''、[[体積]] ''V'' はそれぞれ以下で与えられる<ref>「4次元以上の空間が見える」小笠英志　ベレ出版　ISBN 978-4860641184<nowiki/>のPP.178-185に、錐の体積＝（1/3）×底面積×高さの公式の1/3はどうして1/3になるのかについての小学生も納得できる説明が載っている
</ref>： 
*: <math> S_\mathrm{side} = \pi r c = \pi c \sqrt{c^2 - h^2 } = \frac{1}{2} b c </math>
*: <math> S = S_\mathrm{side} + B = \pi r (r + c) = \frac{1}{2} b (r + c) \,</math>
*: <math> V = \frac{1}{3} \pi r^2 h = \frac{1}{3} \pi (c^2 - h^2) h = \frac{1}{3} B h </math>

== 標準化 ==
円錐面は、適当な[[直交変換]]を行うことにより、次の[[陰関数]]に帰着される。
: <math>aX^2+bY^2-cZ^2=0</math>
式の形から、円錐面は[[二次曲面]]の一種であることがわかる。また定義から直接に、円錐面は次の関数に[[媒介変数表示]]できる。
:<math>
\begin{cases}
X=a\cos(st) \\
Y=b\sin(st) \\
Z=ct
\end{cases}
</math>

== 円錐曲線 ==
円錐面を平面で切断したとき、その断面として現れる[[曲線]]を総称して[[円錐曲線]]という。[[解析幾何学]]においてはこれが二次曲線と同値であることが示される。

== 一般化 ==
[[File:Circle cones 01.png|thumb|250px|直円錐と斜円錐]]
一般に、ある平面 ''P'' 上の円 ''O'' と平面 ''P'' 上にない点 ''T'' が与えられたとき、''O'' の円周上の点と ''T'' とを結んだ[[線分]]の軌跡および円 ''O'' で囲まれる立体を'''斜円錐'''あるいは単に円錐という。また、円 ''O'' をこの斜円錐の'''底面'''、点 ''T'' をこの斜円錐の'''頂点'''という。

底面でない面を側面、頂点と底面との距離を高さと呼ぶのは直円錐と同じである。

なお、斜円錐の頂点 ''T'' から平面 ''P'' に下ろした垂線の足が円 ''O'' の中心に一致するならば、この斜円錐は直円錐である。

また、直円錐は直線を交わる直線を軸にして得られた回転体であったが、仮に直線をそれに平行な直線を軸にして回転させると[[柱体|直柱体]]になり、"ねじれの位置" にある直線を軸にして回転させると回転双曲面になる。

== 出典 ==
{{脚注ヘルプ}}
{{Reflist}}

== 関連項目 ==
{{Commonscat|Cones}}
[[ファイル:Mayon.jpg|thumb|[[フィリピン]]にある[[マヨン山]]（ルソン富士）。成層火山の一例。]]
* [[回転体]]
* [[柱体]]
* [[双円錐]]
* [[円錐台]]
* [[成層火山]]
* [[角錐]]
* [[円柱 (数学)]]
* [[エウドクソス]] - 円錐の体積の公式を発見したとされる

{{立体}}

{{DEFAULTSORT:えんすい}}
[[Category:回転体]]
[[Category:初等数学]]
[[Category:柱体・錐体]]
[[Category:数学に関する記事]]