写像度のソースを表示

'''写像度'''（しゃぞうど、<em lang="en">degree, mapping degree</em>）とは、[[コンパクト (数学)|コンパクト]]、[[弧状連結]]、[[向き]]付けられた同[[次元]]の[[多様体]]間での[[連続写像]]を特徴付ける[[整数]]のこと。写像の[[ホモトピー]][[不変量]]のひとつである。

== 概要 ==
円周 ''S''<sup>1</sup>上の連続写像 ''f'' : ''S''<sup>1</sup> &rarr; ''S''<sup>1</sup>について、''f'' の[[像]]が ''S''<sup>1</sup>を(向きを込めて)何重に被覆するかを考える。
例えば、 ''S''<sup>1</sup> を絶対値 1 の複素数の集合（[[群 (数学)|群]]）とみなしたとき、''z'' を ''z''<sup>''k''</sup> にうつす写像は ''S'' <sup>1</sup> を ''k'' 重に被覆する。
このように、写像 ''f'' が ''S''<sup>1</sup> を ''k'' 重に被覆するとき、''f'' の写像度が ''k'' である、という。
このとき、 ''f'' を連続変形しても写像度は変化しないことがわかる。

[[超球面|''n'' 次元球面]] ''S''<sup>''n''</sup>上の連続写像 ''f'' : ''S''<sup>''n''</sup> &rarr; ''S''<sup>''n''</sup> や、もっと一般に ''n'' 次元多様体 ''M'', ''N'' の間の連続写像 ''f'' : ''M'' &rarr; ''N'' についても同じように写像度を定義することができる。

== 定義 ==
[[弧状連結]]で、[[向き付け可能]]な ''n'' 次元[[多様体]] ''X'' の ''n'' 次[[ホモロジー群]] ''H<sub>n</sub>''(''X'') は整数群 '''Z''' と同型であり、ひとつの生成元から生成される無限[[巡回群]]である。生成元となりうる元は ± の二つ存在するが、 ''X'' に向きを付けると、 どちらが + であるかを定める。 つまり、''H<sub>n</sub>''(''X'') の生成元を定めることになる。この生成元を（向き付けられた）''X'' の基本ホモロジー類といい、 [''X''] と書く。

[[コンパクト空間|コンパクト]]、弧状連結で向きのついた''n'' 次元多様体 ''M, N'' と[[連続写像]] ''f'' : ''M'' &rarr; ''N'' が与えられたとする。 ''f'' から誘導される準同型 

<math>f_*: H_n(M) \rightarrow H_n(N)</math>

について、

<math>^{\exist 1} k \in \mathbb Z\ f_*([M]) = k[N]</math>

である。このとき、''f'' の写像度 deg ''f'' を ''k'' で定義する。

== なめらかな多様体の場合 ==
''M, N'' ともになめらかな多様体で 、''f'' がなめらかな写像であった場合、 deg ''f'' を上の定義とは違う方法で計算できる。

''M, N'' はコンパクトな多様体であるので、 任意の ''f'' の[[正則値]] ''y'' について、 ''y'' の[[逆像]] ''f'' <sup>-1</sup>(''y'') は[[有限集合]]である。よって、正則値 ''y'' に対して整数

<math>d(y) := \sum_{x \in f^{-1}(y)} \operatorname{sign} df_x</math>

を定義することができる。ただし、''df<sub>x</sub>'' は ''f'' の ''x'' における[[微分]]、 sign ''df<sub>x</sub>'' は ''df<sub>x</sub>'' （を[[行列]]としてみたとき）の[[行列式]]の符号<ref>''f'' が ''x'' において向きを保つときに 1, 向きを逆転させるときに -1 の値をとる</ref>である。

このように定義すると、 任意の正則値 ''y'' について ''d''(''y'') は deg ''f'' と等しい。

== 性質 ==
* 写像 ''f'' と ''g'' が[[ホモトピック]]であれば、 deg ''f'' = deg ''g'' である。
* ''N = S<sup>n</sup>'' であれば、写像 ''f'' と ''g'' がホモトピックであることと deg ''f'' = deg ''g'' であることは同値である（[[ホップの定理]]）。

== 例 ==
''S''<sup>1</sup> &rarr; ''S''<sup>1</sup> の写像は ''S''<sup>1</sup> &times; ''S''<sup>1</sup>、つまり[[トーラス]]上にグラフを描くことができる。下の図は、それぞれ写像度 -4, 0, 3の写像のグラフである。

[[画像:A map whose degree is -4.png|300px|写像度 -4 の写像]]
[[画像:A map whose degree is 0.png|300px|写像度 0 の写像]]
[[画像:A map whose degree is 3.png|300px|写像度 3 の写像]]

==脚注==
<references/>

==参考文献==
* 田村一郎 『トポロジー』 岩波全書
* John W. Milnor, ''Topology from the Differentiable Viewpoint'', PRINCETON UNIVERSITY PRESS

== 関連項目 ==
* [[位相幾何学]]
* [[多様体]]
* [[ホモトピー]]
* [[ホモロジー (数学)|ホモロジー]]

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[[Category:数学に関する記事]]
[[Category:位相幾何学]]