冪乗のソースを表示

{{redirect|冪|この漢字の意味|wikt:冪}}
{{Calculation results}}{{上付き文字}}
[[数学]]における'''冪乗'''（べきじょう、べき乗、[[英語|英]]: [[フランス語|仏]]: [[ドイツ語|独]]: exponentiation）または'''冪演算'''（べきえんざん）は、'''底''' (てい、{{lang-en-short|base}}) および'''冪指数''' (べきしすう、{{lang-en-short|exponent}}) と呼ばれる二つの[[数]]に対して定まる[[数学]]的[[演算 (数学)|算法]]である。その結果は'''冪''' (べき、{{lang-en-short|power}}) と呼ばれる。<!--[[自然数]] {{mvar|n}} を冪指数とする冪演算は'''累[[乗法|乗]]''' (るいじょう、{{lang-en-short|repeated multiplication}}) に一致する。-->表現の揺れにより同じ概念は日本語で「累乗」とも表現されており、初等教育ではこちらの表現のほうが多くなっている（本文参照）。

==概要==
{{仮リンク|冪の底|en|Base (exponentiation)|label=底}} {{mvar|b}} および冪指数 {{mvar|e}} をもつ冪は、底の[[上付き文字|右肩]]に冪指数を乗せて {{mvar|b{{exp|e}}}} のように書かれる。<!--{{mvar|n}} が[[自然数]]（正の整数）のとき、自然数乗 {{mvar|b{{exp|n}}}} は底の累乗{{efn|「累」＝重ねる、「乗」＝掛ける。}}-->
: <math>b^n = \underbrace{b \times \cdots \times b}_{n\text{ 個}}</math>
であり、{{mvar|b{{exp|n}}}} は {{mvar|b}} の {{mvar|n}}-乗や、{{mvar|n}}-次の {{mvar|b}}-冪などと呼ばれる。

特定の冪指数に対して、固有の名前が付けられている。例えば、冪指数が {{math|2}} である冪（2 乗） {{math|''b''{{exp|2}}}} は「{{mvar|b}} の'''[[平方数|平方]]''' (square of {{mvar|b}})」または「{{mvar|b}}-[[自乗]] ({{mvar|b}}-squared)」と呼ばれ、冪指数が {{math|3}} である冪（3 乗） {{math|''b''{{exp|3}}}} は「{{mvar|b}} の'''[[立方数|立方]]''' (cube of {{mvar|b}}, {{mvar|b}}-cubed)」と呼ばれる。それ以降は 4 乗、5 乗、… というように「{{mvar|n}} 乗」という言い方が一般的である。

冪指数が {{math|−1}} である冪 {{math|''b''{{exp|&minus;1}}}} は {{math|1/''b''}} であり、「{{mvar|b}} の[[逆数]]」（または[[乗法逆元]]）と呼ばれる。一般に冪指数が負の整数 {{mvar|n}} である冪 {{mvar|b{{exp|n}}}} は、{{math|1=''b''<sup>''n''</sup> × ''b''<sup>''m''</sup> = ''b''<sup>''n'' + ''m''</sup>}} という性質を保つように、底 {{mvar|b}} が 0 でないとき {{math|''b''{{exp|''n''}} :{{=}} 1/''b''{{exp|−''n''}}}} と定義される。

冪乗は、任意の[[実数]]または[[複素数]]を冪指数とするように定義を拡張することができる。底および冪指数が実数である冪において、底を固定して冪指数を変数と見なせば[[指数函数]]であり、冪指数を固定して底を変数と見なせば[[冪函数]]である。整数乗の冪に限れば、[[行列]]などを含めた多種多様な代数的対象に対してもそれを底とする冪を定義することができる。冪指数まで同種の対象に拡張すると、その上で定義された自然指数函数と[[自然対数]]函数をもつ[[バナッハ環|完備ノルム環]]（例えば実数全体 {{mathbf|R}} や複素数全体 {{mathbf|C}} など）を想定するのが自然である。

== 歴史 ==
歴史上に冪が現れたのは非常に古く、B.C.16世紀ごろに作成された粘土板には平方数表、平方根表、立方根表や三平方の定理について書かれており{{sfn|鈴木|2013|p=319|loc=(PDF p. 5)}}、エジプト、インド、ギリシアなどでも冪の概念は明示されている。一方で、指数法則に言明する文献は見当たらず「指数概念」には未だ到達していないと考えるべきであるが、冪を意味する英単語 {{en|"power"}} はギリシアの数学者[[エウクレイデス]]（ユークリッド）が直線の平方を表すのに用いた語に起源がある<ref name="MacTutor" />。また、「[[ユークリッド原論|原論]]」において指数法則 {{math2|1=''a''<sup>''m''</sup> × ''a''<sup>''n''</sup> = ''a''<sup>''m''+''n''</sup>}} に相当する命題に言及している{{sfn|鈴木|2013|p=319|loc=(PDF p. 5)}}が、この時代には算式は発明されておらず、すべて言葉で表現していた{{sfn|鈴木|2013|p=319|loc=(PDF p. 5)}}。

=== 記法 ===
[[アルキメデス]]は {{math|10}} の冪を扱うために必要となる指数法則 {{math2|1=10{{exp|''a''}}{{*}}10{{exp|''b''}} = 10{{exp|''a'' + ''b''}}}} を発見し、証明した（『[[砂粒を数えるもの]]』を参照）。9世紀に、ペルシアの数学者[[フワーリズミー|アル゠フワーリズミ]]は平方を {{mvar|mal}}, 立方を {{mvar|kab}} で表した。これを後に[[アラビア数学|中世イスラム]]の数学者がそれぞれ {{mvar|m}}, {{mvar|k}} で表す記法として用いていることが、15世紀ごろの{{仮リンク|アル゠カラサディ|en|Abū al-Hasan ibn Alī al-Qalasādī}}の仕事に見ることができる<ref>{{MacTutor|id=Al-Qalasadi|title= Abu'l Hasan ibn Ali al Qalasadi}}</ref>。

16世紀後半、[[ヨスト・ビュルギ]]は冪指数をローマ数字を用いて表した<ref>Cajori, Florian (2007). A History of Mathematical Notations, Vol I. Cosimo Classics. Pg 344. ISBN 1602066841</ref>。

17世紀初頭、今日用いられる現代的な冪記法の最初の形は、[[ルネ・デカルト]]が著書 ''La Géométrie'' の一巻において導入した<ref name="Descartes">René Descartes, ''Discourse de la Méthode'' ... (Leiden, (Netherlands):  Jan Maire, 1637), appended book:  ''La Géométrie'', book one, [http://gallica.bnf.fr/ark:/12148/btv1b86069594/f383.image page 299.]  From page 299:  ''" ... Et ''aa'', ou ''a''<sup>2</sup>, pour multiplier ''a'' par soy mesme; Et ''a''<sup>3</sup>, pour le multiplier encore une fois par ''a'', & ainsi a l'infini ; ... "''  ( ... and ''aa'', or ''a''<sup>2</sup>, in order to multiply ''a'' by itself; and ''a''<sup>3</sup>, in order to multiply it once more by ''a'', and thus to infinity ; ... )</ref>。

[[アイザック・ニュートン]]など一部の数学者は冪指数は 2 乗よりも大きな冪に対してだけ用い、平方は反復積として書き表した。例えば、多項式を {{math2|1=''ax'' + ''bxx'' + ''cx''<sup>3</sup> + ''d''}} のように書いた。

=== 用語 ===
15世紀に{{仮リンク|ニコラ・ショケ|en|Nicolas Chuquet}}は冪記法の一種を用い、それは後の16世紀に{{仮リンク|ハインリヒ・シュライベル|en|Henricus Grammateus}}および{{仮リンク|ミハエル・スティーフェル|en|Michael Stifel}}が用いている。

16世紀に[[ロバート・レコード]]は、square（二次）, cube（三次）, zenzizenzic（[[二重平方数|四次]]）, sursolid（五次）, zenzicube（六次）, second sursolid（七次）, zenzizenzizenzic（{{仮リンク|八乗|en|zenzizenzizenzic|label=八次}}）の語を用いた<ref>{{Cite web|url=http://www.worldwidewords.org/weirdwords/ww-zen1.htm|title=Zenzizenzizenzic - the eighth power of a number|publisher=World Wide Words|first=Michael|last=Quinion|accessdate=2010-03-19}}</ref>。4 乗については biquadrate（複二次）の語も用いられた。

歴史的には "involution" が冪の同義語として用いられていた<ref>This definition of "involution" appears in the OED second edition, 1989, and Merriam-Webster online dictionary [http://www.m-w.com/dictionary/involution].  The most recent usage in this sense cited by the OED is from 1806.</ref>が現在では稀であり、別の意味（[[対合]]）で用いられているので混同すべきではない。

==== 冪指数 ====
冪の肩に書かれる数のことを冪指数と呼ぶ<ref>小学館デジタル大辞泉「冪指数」[https://dictionary.goo.ne.jp/word/%E5%86%AA%E6%8C%87%E6%95%B0/#:~:text=%E3%81%B9%E3%81%8D%E2%80%90%E3%81%97%E3%81%99%E3%81%86%E3%80%90%C3%97%E5%86%AA%E6%8C%87%E6%95%B0%E3%80%91&text=%E5%86%AA%E3%81%AE%E8%82%A9%E3%81%AB%E6%9B%B8,%E7%B4%AF%E4%B9%97%E3%81%AE%E6%8C%87%E6%95%B0%E3%80%82]</ref>が、冪指数を意味する用語として、英語ではしばしば exponent と index が同義語として用いられる。この用語選定は18世紀、19世紀を通じて極めて曖昧で個人の嗜好に委ねられていた{{sfn|鈴木|2013|p=372|loc=(PDF p. 58)}}。しかし、[[カール・フリードリヒ・ガウス|ガウス]]は、その著書 ''[[Disquisitiones Arithmeticae]]'' において通常の冪指数と[[指数 (初等整数論)|数論的な指数]]を峻別する必要性から exponens は通常の冪指数、index は数論的な指数を表すものとして明確に区別し使い分けて解説に使用しており、この使い分けはディリクレ、デデキント、ヒルベルトを通じて数論の世界での標準となった{{sfn|鈴木|2013|p=372|loc=(PDF p. 58)}}。

もとをたどれば、1544年にミハエル・スティーフェルが{{lang-la|"exponens"}} を造語し<ref>See:
* [http://jeff560.tripod.com/e.html Earliest Known Uses of Some of the Words of Mathematics]
* Michael Stifel, ''Arithmetica integra'' (Nuremberg ("Norimberga"), (Germany):  Johannes Petreius, 1544), Liber III (Book 3), Caput III (Chapter 3):  De Algorithmo numerorum Cossicorum. (On algorithms of algebra.), [https://books.google.co.jp/books?id=fndPsRv08R0C&vq=exponens&pg=RA7-PA231&redir_esc=y&hl=ja#v=onepage&q&f=false page 236.]  Stifel was trying to conveniently represent the terms of geometric progressions.  He devised a cumbersome notation for doing that.  On page 236, he presented the notation for the first eight terms of a geometric progression (using 1 as a base) and then he wrote:  ''"Quemadmodum autem hic vides, quemlibet terminum progressionis cossicæ, suum habere exponentem in suo ordine (ut 1ze habet 1. 1ʓ habet 2 &c.) sic quilibet numerus cossicus, servat exponentem suæ denominationis implicite, qui ei serviat & utilis sit, potissimus in multiplicatione & divisione, ut paulo inferius dicam."''  (However, you see how each term of the progression has its exponent in its order (as 1ze has a 1, 1ʓ has a 2, etc.), so each number is implicitly subject to the exponent of its denomination, which [in turn] is subject to it and is useful mainly in multiplication and division, as I will mention just below.)  [Note:  Most of Stifel's cumbersome symbols were taken from [[Christoff Rudolff]], who in turn took them from Leonardo Fibonacci's ''Liber Abaci'' (1202), where they served as shorthand symbols for the Latin words ''res''/''radix'' (x), ''census''/''zensus'' (''x''<sup>2</sup>), and ''cubus'' (''x''<sup>3</sup>).]</ref>{{sfn|鈴木|2013|p=337|loc=(PDF p. 23)}}、対して1586年にラザルス・シェーナーが数学者ペトルス・ラムスの書籍への補注として{{lang-la|"index"}} を（スティーフェルが exponens と呼んだものと同じものを指す意味で）用いた{{sfn|鈴木|2013|p=348|loc=(PDF p. 34)}}のがそれぞれの語源と考えられる。exponent と index はこれらの英語翻訳であり、例えば index は{{仮リンク|サミュエル・ジーク|en|Samuel Jeake}}が1696年に導入した<ref name="MacTutor">{{MacTutor|class=Miscellaneous|id=Mathematical_notation|title=Etymology of some common mathematical terms}}</ref>。

{{en|exponent}} と {{en|index}} の微妙な使い分けと併用の時代はここから始まり、その併用のされ方は国と時代だけでなく個人によっても異なった。イギリスは当初 {{en|index}} が優勢であり、これは聖バーソロミューの大虐殺で殉死したラムスの著作がプロテスタント諸国で非常に人気を集めたからだとの指摘がある{{sfn|鈴木|2013|p=350|loc=(PDF p. 36)}}。

=== 日本語「冪」 ===
{{wikt|冪}}
『冪』の字義は「覆う、覆うもの」であって、『[[冖部|冖]]』と同音同義である。[[江戸時代]]の[[和算]]家は「冪」の略字として「巾」を用いていた<ref>{{Cite book |和書 |title=「算木」を超えた男 |author=王青翔 |isbn=4-88595-226-3 |publisher=東洋書店 |place=東京 |year=1999}}</ref>。

第二次世界大戦後の漢字制限政策のもと、これらの字は[[常用漢字]]・[[当用漢字]]に含まれず、[[1950年代]]以降の学習参考書などの出版物では[[仮名 (文字)|仮名]]書きで「'''べき乗'''」または「累乗」への書き換えが進められ、結果として[[算数|初等数学]]の教科書ではもっぱら「累乗」が用いられた。<!--「累乗」の字義は「重ね掛けた乗算」であり、自然数乗以外の冪に対して用いることは、字義からすればあまり自然でない。--><!--要出典。自然数のものに「累乗」それ以外は「冪」と誘導するのは独自研究。-->

「[[冪集合]]」、「[[冪級数]]」などの高等学校以下で扱われない多くの概念に対しては、「冪」の部分が置き換えられることはなく、例えば「べき乗集合」や「累乗集合」などといった表現はあまり生じていない。

== 定義 ==
=== 自然数乗冪 ===
[[実数]]（または積 <math>\times</math> の定義された[[群 (数学)|群]]、より一般には[[半群]]）において、元 {{mvar|''x''}} と[[自然数]] {{mvar|''n''}} に対して
{{math|''x''<sup>''n''</sup>}} を
:<math>x^n = \underbrace{x \times \cdots \times x}_{n\ \text{個}}</math>
で定義する（厳密には再帰的に定義する）。
[[上付き文字|上付き]]の {{mvar|''n''}} が書けない場合には、''' ''x''^''n'' '''という表記を用いることが多い。
<!--これを''' ''x'' の ''n'' 乗'''または''' ''x'' の ''n'' 乗冪'''と呼び、''n'' を問題にしないときは''' ''x'' の累乗'''や''' ''x'' の冪'''という。--><!--「累乗」という表現が自然数乗冪「のみ」に限るとするのは独自研究-->

この操作を「''x'' の ''n'' 乗を取る」などといい、特に ''n'' を固定して ''x'' を入力とする関数（特に実数 {{mvar|x}} の函数）と見るときは、[[冪関数]]という。
''x'' の 2乗、3乗は特に、それぞれ ''x'' の'''平方''' (へいほう、 {{lang-en-short|''square''}})、'''立方''' (りっぽう、 {{lang-en-short|''cube''}}) と呼ばれ、2乗を特に'''自乗'''という場合もある。

冪 ''x''<sup>''n''</sup> において、''x'' を'''底'''（てい、{{lang-en-short|''base''}}、 '''基数'''）と呼び、''n'' を'''冪数'''、'''冪指数'''または単に'''指数'''（しすう、 {{lang-en-short|''exponent''}}) と呼ぶ{{efn|単に「指数」と呼ぶ場合、"exponent" に限らず、（数学に限っても）種々の index を意味する場合も多く、文脈に注意を要する（たとえば[[部分群の指数]]）。また、（必ずしも冪指数のことでない）"exponent" の訳として冪数が用いられることもある（たとえば[[群の冪数]]）。}}。必ずしも冪指数とは限らない添字 ''n'' をその基準となる文字 ''x'' の右肩に乗せる[[添字記法]]を指数表記・冪記法などとよぶ場合もある。

厳密には、''x'' の ''n'' 乗冪は
# ''x''<sup>1</sup> = ''x'',
# ''x''<sup>''n''+1</sup> = ''x''<sup>''n''</sup> × ''x'' &nbsp; (''n'' ≥ 1)

によって再帰的に定義される。

=== 負の整数乗冪 ===
帰納的定義を見れば下のように拡張するのが自然である。

有理数の範囲で[[2の冪]]を例に取ると：
*2{{sup|4}} = [[16]]
*2{{sup|3}} = [[8]]
*2{{sup|2}} = [[4]]
*2{{sup|1}} = [[2]]
*2{{sup|0}} = [[1]]
*2{{sup|&minus;1}} = [[1/2|{{sfrac|1|2}}]]
*2{{sup|&minus;2}} = [[1/4|{{sfrac|1|4}}]]
*2{{sup|&minus;3}} = [[1/8|{{sfrac|1|8}}]]
*2{{sup|&minus;4}} = [[1/16|{{sfrac|1|16}}]]
ただし、底が 0 の場合は「0 で割れない」などの理由から定義しないか、または 0{{sup|0}} については 1 と定義するのが一般的である。
{{Main|0の0乗}}

=== 有理数乗冪 ===
{{main|冪根}}
自然数 ''m'' に対し、''x'' の ''m'' [[冪根|乗根]]すなわち ''m'' 乗して ''x'' になるような数 ''y'' がただ一つあるならば、その ''y'' を ''x''<sup>1/''m''</sup> とし、自然数または整数 ''n'' に対し
: ''x''<sup>''n''/''m''</sup> = (''x''<sup>1/''m''</sup>)<sup>''n''</sup>
と定めることによって、''x'' を底とする冪乗の指数を[[有理数]]の範囲まで拡張することができる。
このとき、'''指数法則'''と呼ばれる下の関係式が成り立つ。
* ''x''<sup>''r''+''s''</sup> = ''x''<sup>''r''</sup> × ''x''<sup>''s''</sup>
* ''x''<sup>''r''×''s''</sup> = (''x''<sup>''r''</sup>)<sup>''s''</sup>

ここで、''r'' と ''s'' は、冪が定義できる範囲の有理数である。つまり、''x'' が逆元をもたないなら自然数、逆元はもつが冪根をもたないなら整数、''m'' 乗根をもつが逆元をもたないならば ''m'' を分母とする正の有理数、逆元も ''m'' 乗根ももつならば ''m'' を分母とする有理数である。

=== 実数乗冪 ===
{{main|指数関数}}
''x'' が正の実数ならば、上で制限されていた指数への条件は外れる。
正数ならば任意の自然数 ''m'' に対する正の ''m'' 乗根 <math>\sqrt[m]{x}</math> がただ一つ存在するので、正の有理数 <math>\frac{n}{m}</math> に対し
:<math>x^{\frac{n}{m}} = \bigl(\sqrt[m]{x}\bigr)^n = \sqrt[m]{x^n}</math>
と定めることができる。さらに、''x'' が 0 でなければ逆元が存在するので、指数は有理数全体まで拡張される。

''x'' (>0) の冪は、その指数に関して[[極限]]を取ることによって実数上の関数に拡張され、連続関数になる。連続な拡張は一意であり、これを ''x'' を底とする[[指数関数]]と呼ぶ。

=== 複素数乗冪 ===
{{main|複素指数函数|複素対数函数}}
複素数 {{mvar|z}} に対して、函数 {{math|exp}} を級数
:<math>\exp(z):=\textstyle\sum\limits_{n=0}^\infty \dfrac{z^n}{n!}</math>
で定義する。この級数は任意の複素数 {{mvar|z}} に対して収束する。特に {{math|exp(1) {{eqqcolon}} ''e''}} は[[ネイピア数|自然対数の底]]に等しく、任意の実数 {{mvar|x}} に対して {{math|1=exp(''x'') = ''e{{sup|x}}''}}（右辺は実数 {{mvar|e}} の実数 {{mvar|x}} 乗の意）である（したがって任意の複素数に対して {{math|''e{{sup|z}}'' {{coloneqq}} exp(''z'')}} とも書かれる{{efn|このような実函数の複素[[解析的延長]]は一意に定まる。}}）。{{math|''z'' {{coloneqq}} ''x'' + ''iy''}} （{{mvar|x, y}} は実数）と表すと、
:<math>\exp(x+iy)=e^x(\cos y+i\sin y)=\exp(x)\operatorname{cis}(y)</math>
が成り立つ（{{math|cis}} は[[純虚指数函数]]）。特に {{math|1=''e{{sup|iy}}'' = cos(''y'') + ''i''&sdot;sin(''y'')}} は[[オイラーの公式]]と呼ばれる関係式である。

さらに、この関数の「逆関数」を {{math|[[自然対数|log]]}} と書けば、一般の複素数 ''w'' ≠ 0 に対して
:<math>w^z:=e^{z\log w}</math>
と定義される。{{math|log}} が[[多価関数]]なので、一般には値が 1 つには定まらない。ただし、{{math|''w'' {{=}} ''e''}} の場合には、上の冪級数で定義したほうの意味で用いるのが普通である。

== 性質 ==
* 冪演算は[[交換法則|可換]]でない（たとえば {{math|1=2{{exp|3}} = 8 , 3{{exp|2}} = 9 ,  8≠9.}}）。また[[結合法則|結合的]]でない（たとえば {{math|1=(2{{exp|3}}){{exp|2}} = 64 , 512 = 2{{exp|(3{{exp|2}})}} , 64≠512.}}）。
* 括弧を用いずに {{mvar|a{{exp|b{{exp|c}}}}}} と書いたときには、これはふつう {{math|''a''{{exp|(''b''{{exp|''c''}})}}}} を意味する。すなわち冪演算は右結合的である（'''これは優先順位（precedence, [[演算子の優先順位]]）ではなく'''、演算子の結合性（associativity, [[:en:Operator associativity]]）のことである）。

=== 指数法則 ===
以下の一覧表において多重定義の虞を除くため、底は非零実数であるような冪のみを考える。ただし、正の冪のみを考えるならば、底が {{math|0}} でも各法則は成り立つ。また以下の一覧において、有理数について分母が奇数あるいは偶数であるというときは、常にその有理数の既約分数表示における分母のことを言っているものとする。

{| class="wikitable" style="margin: 1ex auto;"
|+ 指数法則
! 規則 !! 条件
|-
| <math>a^0 = 1</math>
| {{math|''a'' &ne; 0}} は任意
|-
| <math> a^{-r} = \frac{1}{a^r}</math>
| 
* {{math|''a'' > 0}} ならば {{mvar|r}} は任意の実数
* {{math|''a'' < 0}} ならば {{mvar|r}} は分母が奇数の任意の有理数
|-
| <math>a^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{a^m}=(\sqrt [n] a)^m</math>
|
* {{math|''a'' > 0}} ならば {{mvar|n}} は任意の自然数で {{mvar|m}} は任意の整数
* {{math|''a'' < 0}} ならば {{mvar|n}} は任意の奇数で {{mvar|m}} は任意の整数
|-
| <math>a^{r+s} = a^r\cdot a^s</math>
| 
* {{math|''a'' > 0}} ならば {{mvar|r, s}} は任意の実数
* {{math|''a'' < 0}} ならば {{mvar|r, s}} は分母が奇数の任意の有理数
|-
| <math>a^{r-s}=\frac{a^r}{a^s}</math>
| 
* {{math|''a'' > 0}} ならば {{mvar|r, s}} は任意の実数
* {{math|''a'' < 0}} ならば {{mvar|r, s}} は分母が奇数の任意の有理数
|-
| <math>(a\cdot b)^r = a^r\cdot b^r</math>
|
* {{math|''a'' {{*}} ''b'' &ne; 0}} ならば {{mvar|r}} は任意の自然数、あるいは任意の整数
* {{math|''a'' > 0, ''b'' > 0}} ならば {{mvar|r}} は任意の実数
* {{mvar|a, b}} の少なくとも一方が負ならば {{mvar|r}} は分母が奇数の任意の有理数
|-
| <math>\left(\frac{a}{b}\right)^r = \frac{a^r}{b^r}</math>
|
* 整数 {{mvar|r}} に対して、[{{math|''r'' &ge; 0}} かつ {{math|''b'' &ne; 0}}] または [{{math|''r'' &le; 0}} かつ {{math|''a'' &ne; 0}}] のとき
* {{math|''a'' > 0, ''b'' > 0}} ならば {{mvar|r}} は任意の実数
* {{mvar|a, b}} の少なくとも一方が負ならば {{mvar|r}} は分母が奇数の任意の有理数
|-
| <math>(a^r)^s = a^{r\cdot s}</math>
| 
* {{math|''a'' &ne; 0}} ならば {{mvar|r, s}} は任意の整数
* {{math|''a'' > 0}} ならば {{mvar|r, s}} は任意の実数
* {{math|''a'' < 0}} ならば {{mvar|r, s}} は分母が奇数の任意の有理数
|-
| <math>(a^r)^s =- a^{r\cdot s}</math>
| {{math|''a'' < 0}} かつ有理数 {{mvar|r, s}} に対して、{{mvar|r}} および {{math|''r'' {{*}} ''s''}} は分母が奇数、かつ {{math|''r'' {{*}} ''s''}} の分子が奇数のとき
|}

; {{math|(''a''{{exp|''r''}}){{exp|''s''}} {{=}} &plusmn;''a''{{exp|''r''{{*}}''s''}}}} に関して
:* 冪指数 {{mvar|r, s}} の少なくとも一方が無理数であるとき、あるいはこれらの双方が有理数だが {{mvar|r}} または {{math|''r'' {{*}} ''s''}} の少なくとも一方の分母が偶数となるときには、{{math|''a'' < 0}} に対する {{math|(''a''{{exp|''r''}}){{exp|''s''}}}} または {{mvar|a{{exp|r{{*}}s}}}} は定義されない。それ以外のとき、この両者は定義されて[[符号]]の違いを除いて一致する。特に両者は {{math|''a'' > 0}} ならば任意の実数 {{mvar|r, s}} に対して一致し、また {{math|''a'' &ne; 0}} ならば任意の整数 {{mvar|r, s}} に対して一致する。
:* {{math|''a'' < 0}} かつ {{mvar|r, s}} が整数でない有理数であるときには可能性は二通り考えられ、どちらになるかは {{mvar|r}} の分子と {{mvar|s}} の分母の素因数分解が関係する。式 {{math|(''a''{{exp|''r''}}){{exp|''s''}} {{=}} &plusmn;''a''{{exp|''r''{{*}}''s''}}}} の右辺の符号は何れが正しいのかを知るには {{math|''a'' {{=}} &minus;1}} のときを見れば十分である（与えられた {{math|r, s}} に対して {{math|''a'' {{=}} &minus;1}} のとき正しくなる方の符号をとれば、任意の {{math|''a'' < 0}} についても成り立つ）。
:* {{math|''a'' < 0}} に対して {{math|(''a''{{exp|''r''}}){{exp|''s''}} {{=}} &minus;''a''{{exp|''r''{{*}}''s''}}}} が適用されるならば、{{math|''a'' &ne; 0}} に対して {{math|(''a''{{exp|''r''}}){{exp|''s''}} {{=}} {{abs|''a''}}{{exp|''r''{{*}}''s''}}}} が成り立つ（冪指数が正ならば {{math|''a'' {{=}} 0}} のときも成り立つ）。

例えば、{{math|((&minus;1){{exp|2}}){{exp|{{fraction|1|2}}}} {{=}} 1}} および {{math|(&minus;1){{exp|2{{*}}{{fraction|1|2}}}} {{=}} &minus;1}} であるから、{{math|''a'' < 0}} に対して {{math|{{sqrt |''a''{{exp|2}}}} {{=}} (''a''{{exp|2}}){{exp|{{fraction|1|2}}}} {{=}} &minus;''a''{{exp|2{{*}}{{fraction|1|2}}}} {{=}} &minus;''a''}}, したがって任意の実数 {{mvar|a}} に対して {{math|{{sqrt|''a''{{exp|2}}}} {{=}} {{abs|''a''}}}} が成り立つ。

=== 指数・対数法則の不成立 ===
正の実数に対する冪および対数に関する等式のいくつかは、複素数冪や複素対数がどのように{{underline|一価函数として}}定義されようとも、複素数に対しては成り立たないことが起こる。
{{ordered list
|1= 等式 {{math|1=log(''b{{sup|x}}'') = ''x''&sdot;log(''b'')}} は {{mvar|b}} が正の実数で {{mvar|x}} が実数のときにはいつでも成り立つ。しかし、複素対数の{{仮リンク|主枝 (数学)|label=主枝|en|principal branch}}に対して
: <math>i\pi=\log(-1)=\log\left[(-i)^2\right]\neq 2\log(-i)=2\left(-\frac{i\pi}{2}\right)=-i\pi</math>
は反例になる。複素対数のどの枝を用いたかに関わらず、この等式には同様の反例が存在する。（この結果のみを使うものとすれば）
: <math>\log(w^z)\equiv z \cdot\log(w)\pmod{2\pi i}</math>
であるとまでしか言えない。

この等式は {{math|log}} を多価函数と考えるときでさえ成り立たない。{{math|log(''w{{sup|z}}'')}} の取り得る値は {{math|''z''&sdot;log(''w'')}} の取り得る値を部分集合として含む。{{math|log(''w'')}} の主値を {{math|Log(''w'')}} とし、{{mvar|m, n}} を任意の整数とすると、両辺の取り得る値は
: <math>\{\log(w^z)\} = \{z\cdot\operatorname{Log}(w) + z\cdot 2\pi in+2\pi im\}</math>
: <math>\{z\cdot\log w\} = \{z\cdot\operatorname{Log}(w) + z\cdot 2\pi in\}</math>
である。

|2= 等式 {{math|1=(''bc''){{sup|''x''}} = ''b{{sup|x}}&sdot;c{{sup|x}}''}} および {{math|1=(''b''/''c''){{sup|''x''}} = ''b{{sup|x}}''/''c{{sup|x}}''}} は {{mvar|x}} が実数でさらに {{mvar|b}} と {{mvar|c}} が正の実数ならば成り立つ。しかし主枝を用いた計算で
: <math>1=((-1)(-1))^\frac{1}{2} \ne (-1)^\frac{1}{2}(-1)^\frac{1}{2}=-1</math>
および
: <math>i=(-1)^\frac{1}{2}=\left(\frac{1}{-1}\right)^\frac{1}{2} \ne \frac{1^\frac{1}{2}}{(-1)^\frac{1}{2}}=\frac{1}{i}=-i</math>
が反例として示される。

他方、{{mvar|x}} が整数のときには任意の非零複素数に対して成り立つ。

複素数冪を多価函数として考えれば、{{math|((&minus;1)(&minus;1)){{sup|1/2}}}} の取り得る値は {{math|{{mset|1, &minus;1}}}} で、等式は成り立つが {{math|{{mset|1}} {{=}} {{mset|((&minus;1)(&minus;1))<sup>1/2</sup>}}}} と言うことは間違っている。

|3= 等式 {{math|1=(''e{{sup|x}}''){{sup|''y''}} = ''e{{sup|xy}}''}} は {{mvar|x}} と {{mvar|y}} が実数であるときには成り立つが、任意の複素数に対して正しいと仮定すると、{{harvtxt|Clausen et al.|1827|ref=Clausen}}<ref>{{cite journal|author1=Steiner, J.|author2=Clausen, T.|author3=Abel, N. H.|title=Aufgaben und Lehrsatze, erstere aufzulosen, letztere zu beweisen|trans-title=Problems and propositions, the former to solve, the later to prove|url=http://gdz.sub.uni-goettingen.de/no_cache/dms/load/img/?IDDOC=270662|location=[[ベルリン|Berlin]]|publisher={{enlink|Walter de Gruyter|p=off|s=off}}|journal=[[クレレ誌|Journal für die reine und angewandte Mathematik]]|volume=2|year=1827|month=January|pages=286-287|issn=0075-4102|oclc=1782270|doi=10.1515/crll.1827.2.96|ref=ref={{SfnRef|Clausen et al.|1827}}}}</ref>の発見した{{quote|任意の整数 {{mvar|n}} に対して、
# <math>e^{1+2\pi in}=e^{1} e^{2\pi in}=e\cdot 1=e</math>
# <math>(e^{1+2\pi in})^{1+2\pi in}=e</math>
# <math>e^{1+4\pi in-4\pi^{2}n^{2}}=e</math>
# <math>e^1e^{4\pi i n}e^{-4\pi^2n^2}=e</math>
# <math>e^{-4\pi^2n^2}=1</math>
を得るが、これは {{mvar|n}} が {{math|0}} でないとき誤りである。}}
という[[誤った数学的推論|不合理]]が生じる。この推論にはいくつも問題がある:
* 主な誤りは、二行目から三行目に行くときに冪の順番を変えることで選ばれる主値が変わることである。
* 多価函数の視点から見ると、最初の誤りは更に早く起きている。一行目で暗に {{mvar|e}} は実数としているにも拘らず、{{math|''e''{{sup|1+2''&pi;in''}}}} の結果は複素数であり、{{math|''e'' + 0''i''}} と書いたほうがよい。二行目を実数ではなくこの複素数で置き換えることで、そこでの冪が取れる値を複数持つようになる。二行目から三行目で指数の順番を変えたことも、取りうる値の数に影響を及ぼす。{{math|(''e{{sup|z}}''){{sup|''w''}} &ne; ''e{{sup|zw}}''}} だが、整数 {{mvar|n}} にわたって多価な意味で {{math|1=(''e{{sup|z}}''){{sup|''w''}} = ''e''{{sup|(''z''+2''&pi;in'')''w''}}}} としたほうがよい。
}}

== 一般化 ==

=== モノイドにおける冪 ===
冪演算は任意の[[モノイド]]において定義できる<ref>{{cite book|author=Nicolas Bourbaki|title=Algèbre|year=1970|publisher=Springer}}, I.2</ref>。モノイドは単位元を持つ半群、すなわち適当な集合 {{mvar|X}} を台として合成あるいは乗法と呼ばれる[[二項演算]]が定義される[[代数系]]であって、その乗法が[[結合法則]]を満足し、かつ[[乗法単位元]] {{math|1{{sub|''X''}}}} を持つものを言う。モノイドにおける自然数冪は
* <math>x^0:=1_X\quad (\forall x\in X),</math>
* <math>x^{n+1}:=x^n \times x\quad (x\in X,\,n\in \mathbb{Z}_{\ge 0})</math>
として帰納的に定義することができる（先の式の右辺（の 1）は {{mvar|X}} の単位元、後の式の左辺の 1 は自然数の [[1]] で、当然だがこれらは互いに別のものである）。特に先の式（零乗すること）は「単位元を持つ」ことによって初めて意味を成す規約であることに注意すべきである（[[空積]]も参照のこと）。

モノイドの例には[[群 (数学)|群]]や[[環 (数学)|環]]（の乗法モノイド）のような数学的に重要な多くの構造が含まれ、またより特定の例として[[行列環]]や[[可換体|体]]の場合について後述する。

=== 行列および線型作用素の冪 ===
正方行列 {{mvar|A}} に対して {{mvar|A}} 自身の {{mvar|n}} 個の[[行列の積|積]]を行列の冪と呼ぶ。また {{math|''A''{{exp|0}}}} は単位行列に等しいものと定義され<ref>Chapter 1, Elementary Linear Algebra, 8E, Howard Anton</ref>、さらに {{mvar|A}} が可逆ならば {{math|''A''{{exp|&minus;''n''}} {{coloneqq}} (''A''{{msup|&minus;1}}){{exp|''n''}}}} と定義する。

行列の冪は{{仮リンク|離散力学系|en|discrete dynamical system}}の文脈でしばしば現れる。そこでは行列 {{mvar|A}} は適当な系の状態ベクトル {{mvar|x}} を次の状態 {{mvar|Ax}} へ遷移させることを表す<ref>{{citation|first=Gilbert|last=Strang|title=Linear algebra and its applications|publisher=Brooks-Cole|year=1988|edition=3rd}}, Chapter 5.</ref>。これは例えば[[マルコフ連鎖]]の標準的な解釈である。これにより、{{math|''A''{{exp|2}}''x''}} は二段階後の系の状態であり、以下同様に {{mvar|A{{exp|n}}x}} は {{mvar|n}} 段階後の系の状態と理解される。つまり行列の冪 {{mvar|A{{exp|n}}}} は現在と {{mvar|n}} 段階後の状態の間の遷移行列であって、行列の冪を計算することはこの力学系の発展を解くことに等しい。便宜上、多くの場合において行列の冪は[[固有値]]と固有ベクトルを用いて計算することができる。

行列を離れてより一般の[[線型作用素]]にも冪演算は定められる。例えば微分積分学における[[微分]]演算 {{mvar|d{{\}}dx}} は函数 {{mvar|f}} に作用して別の函数 {{math|''df''{{\}}''dx'' {{=}} ''f{{'}}''}} を与える線型作用素であり、この作用素の {{mvar|n}}-乗は {{mvar|n}}-階微分
: <math>\Bigl(\frac{d}{dx}\Big)^{\!n}f(x) = \frac{d^n}{dx^n}f(x) = f^{(n)}(x)</math>
である。これは線型作用素の離散的な冪の例であるが、作用素の連続的な冪が定義できたほうがよい場面が多く存在する。[[C0半群|{{math|''C''{{ind|0}}}}-半群]]の数学的理論はこのような事情を出発点としている<ref>E Hille, R S Phillips: ''Functional Analysis and Semi-Groups''. American Mathematical Society, 1975.</ref>。離散冪指数に対する行列の冪の計算が離散力学系を解くことであったのと同様に、連続冪指数に対する作用素の冪の計算は連続力学系を解くことに等しい。そういった例として[[熱方程式]]、[[シュレーディンガー方程式]]、[[波動方程式]]あるいはもっとほかの時間発展を含む偏微分方程式を挙げることができる。このような冪演算の特別の場合として、微分演算の非整数乗は[[分数階微分]]と呼ばれ、{{仮リンク|分数階積分|en|fractional integral}}とともに、[[分数階微分積分学]]の基本演算の一つとなっている。

=== 有限体における冪 ===
{{seealso|冪剰余}}
[[可換体|体]]は、四則演算が矛盾なく定義されそれらの馴染み深い性質が満足されるような代数的構造である。例えば[[実数]]全体は体を成す。複素数の全体、有理数の全体などもそうである。これら馴染み深い例が全て[[無限集合]]であるのと異なり、有限個の元しか持たない体も存在する。そのもっとも簡単な例が二元体 {{math|'''F'''{{ind|2}} {{=}} {{(}}0,1{{)}}}} で、加法は {{math| 0 + 1 {{=}} 1 + 0 {{=}} 1, 0 + 0 {{=}} 1 + 1 {{=}} 0}} および乗法は {{math|0 {{*}} 0 {{=}} 1 {{*}} 0 {{=}} 0 {{*}} 1 {{=}} 0, 1 {{*}} 1 {{=}} 1}} で与えられる。

有限体における冪演算は[[公開鍵暗号]]に応用を持つ。例えば[[ディフィー・ヘルマン鍵交換]]は、有限体における冪は計算量的にコストが掛からないのに対し、冪の逆である[[離散対数]]は計算量的にコストが掛かるという事実を用いている。

任意の有限体 {{mvar|F}} は、[[素数]] {{mvar|p}} がただ一つ存在して、任意の {{math|''x'' &isin; ''F''}} に対して {{math|''px'' {{=}} 0}} が成り立つ（{{mvar|x}} を {{mvar|p}} 個加えれば零になる）という性質を持つ。例えば二元体 {{math|'''F'''{{ind|2}}}} では {{math|''p'' {{=}} 2}} である。この素数 {{mvar|p}} はその体の[[標数]]と呼ばれる。{{mvar|F}} を標数 {{mvar|p}} の体として {{mvar|F}} の各元を {{mvar|p}}-乗する写像 {{math|''f''(''x'') {{=}} ''x''{{exp|''p''}}}} を考える。これは {{mvar|F}} の[[フロベニュース自己準同型]]と呼ばれる。{{仮リンク|新入生の夢|en|Freshman's dream}}（幼稚な二項定理）とも呼ばれる等式 {{math|(''x'' + ''y''){{exp|''p''}} {{=}} ''x''{{exp|''p''}} + ''y''{{exp|''p''}}}} がこの体においては成り立つため、フロベニュース自己準同型が実際に体の自己準同型を与えるものであることが確認できる。フロベニュース自己準同型は {{mvar|F}} の素体上の[[ガロワ群]]の生成元であるため[[数論]]において重要である。

=== 抽象代数学における冪 ===
冪指数が整数であるような冪演算は[[抽象代数学]]における極めて一般の構造に対して定義することができる。

[[集合]] {{mvar|X}} は乗法的に書かれた{{仮リンク|冪結合性|label=冪結合的|en|power-associative}}[[二項演算]]を持つもの:
: <math>(x^i x^j) x^k = x^i (x^j x^k) \quad (\forall x\in X)</math>
とするとき、任意の {{math|''x'' &isin; ''X''}} と任意の[[自然数]] {{mvar|n}} に対して冪 {{mvar|x{{exp|n}}}} は、{{mvar|x}} の {{mvar|n}} 個のコピーの積を表すものとして
: <math>\begin{align}
  x^1 &= x \\
  x^n &= x^{n-1}x \quad(n > 1)
\end{align}</math>
のように帰納的に定義される。これは以下のような性質
: <math>\begin{align}
 x^{m+n} &= x^m x^n \\
 (x^m)^n &= x^{mn}
\end{align}</math>
を満足する。さらに、考えている演算が両側[[単位元]] {{math|1}} を持つ:
: <math>\exists! 1 \text{ s.t. } x1 = 1x = x \quad (\forall x\in X)</math>
ならば {{math|''x''{{exp|0}}}} は任意の {{mvar|x}} に対して {{math|1}} に等しいものと定義する。{{citation needed|date=April 2014}}

さらにまた演算が両側[[逆元]]を持ち、なおかつ結合的
: <math>\begin{align}
 x x^{-1} &= x^{-1} x = 1,\\
  (x y) z &= x (y z)
\end{align}</math>
ならば[[マグマ (数学)|マグマ]] {{mvar|X}} は[[群 (数学)|群]]を成す。このとき {{mvar|x}} の逆元を {{math|''x''{{exp|−1}}}} と書けば、冪演算に関する通常の規則
:<math>\begin{align}
  x^{-n} &= \left(x^{-1}\right)^n \\
 x^{m-n} &= x^m x^{-n}
\end{align}</math>
はすべて満足される。また（例えば[[アーベル群]]のように）乗法演算が[[交換法則|可換]]ならば
: <math>(xy)^n = x^n y^n </math>
も満足される。（アーベル群が通常そうであるように）二項演算を加法的に書くならば、「冪演算は累乗（反復乗法）である」という主張は「乗法は累加（反復加法）である」という主張に引き写され、各指数法則は対応する乗法法則に引き写される。

一つの集合上に複数の冪結合的に項演算が定義されるときには、各演算に関して反復による冪演算を考えることができるから、どれに関する冪かを明示するために上付き添字に反復したい演算を表す記号を併置する方法がよく用いられる。つまり演算 {{math|∗}} および {{math|#}} が定義されるとき、{{math|''x''{{exp|∗''n''}}}} と書けば {{math|''x'' ∗ ⋯ ∗ ''x''}} を意味し、{{math|''x''{{exp|#''n''}}}} と書けば {{math|''x'' # ⋯ # ''x''}} を意味するという具合である。

上付き添字記法は、特に[[群論]]において、共軛変換を表すのにも用いられる（即ち、{{mvar|g, h}} を適当な群の元として {{math|1=''g''<sup>''h''</sup> = ''h''<sup>−1</sup>''gh''}}）。この共軛変換は指数法則と同様の性質を一部満足するけれども、これはいかなる意味においても反復乗法としての冪演算の例ではない。[[カンドル]]はこれら共軛変換の性質が中心的な役割を果たす代数的構造である。

=== 集合の冪 ===
==== デカルト冪 ====
{{Main|デカルト積}}

自然数 {{mvar|n}} と任意の集合 {{mvar|A}} に対して、式 {{mvar|A{{exp|n}}}} はしばしば {{mvar|A}} の元からなる順序 {{mvar|n}}-[[タプル|組]]全体の成す集合を表すのに用いられる。これは {{mvar|A{{exp|n}}}} は集合 {{math|{{mset|0, 1, 2, …, ''n''−1}}}} から集合 {{mvar|A}} への写像全体の成す集合であると言っても同じことである（{{mvar|n}}-組 {{math|(''a''<sub>0</sub>, ''a''<sub>1</sub>, ''a''<sub>2</sub>, …, ''a''<sub>''n''−1</sub>)}} は {{mvar|i}} を {{mvar|a{{ind|i}}}} へ送る写像を表す）。

無限[[基数]] {{mvar|κ}} と集合 {{mvar|A}} に対しても、記号 {{mvar|A{{exp|κ}}}} は濃度 {{mvar|κ}} の集合から {{mvar|A}} への写像全体の成す集合を表すのに用いられる。基数の冪との区別のために {{mvar|{{exp|κ}}A}} と書くこともある。

==== 反復直和 ====
{{Main|直和}}
一般化された冪は、複数の集合上で定義される演算や追加の[[数学的構造|構造]]を持つ集合に対しても定義することができる。例えば、[[線型代数学]]において勝手な添字集合上での[[ベクトル空間]]の[[加群の直和|直和]]を考えることができる。つまり {{mvar|V{{ind|i}}}} をベクトル空間として
: <math>\bigoplus_{i \in \mathbb{N}} V_{i}</math>
を考えるとき、任意の {{mvar|i}} について {{math|1=''V''<sub>''i''</sub> = ''V''}} とすれば得られる直和を冪記法を用いて {{math|''V''{{exp|⊕'''N'''}}}} あるいは直和の意味であることが明らかならば単に {{math|''V''{{exp|'''N'''}}}} のように書くことができる。ここで再び集合 {{math|'''N'''}} を基数 {{mvar|n}} で取り替えれば {{mvar|V{{exp|n}}}} を得る（濃度 {{mvar|n}} を持つ特定の標準的な集合を選ぶことなしに、これは[[同型を除いて]]のみ定義される）。{{mvar|V}} として実数体 {{math|'''R'''}} を（それ自身の上のベクトル空間と見て）とれば、{{mvar|n}} を適当な自然数として線型代数学でもっともよく調べられる実ベクトル空間 {{math|'''R'''{{exp|''n''}}}} を得る。

==== 配置集合 ====
冪演算の底を集合とするとき、何も断りがなければ冪演算は[[デカルト積]]である。複数の集合のデカルト積は {{mvar|n}}-組を与え、{{mvar|n}}-組は適当な濃度を持つ集合上で定義された写像として表すことができるのだから、この場合冪 {{mvar|S{{exp|N}}}} は単に {{mvar|N}} から {{mvar|S}} への[[配置集合|写像全体の成す集合]]
: <math>S^N \equiv \{ f\colon N \to S \}</math>
である。この定義は {{math|1={{abs|''S''<sup>''N''</sup>}} = {{abs|''S''}}<sup>{{abs|''N''}}</sup>}} が満たされるという意味で基数の冪と整合する。ただし {{mvar|{{abs|X}}}} は {{mvar|X}} の濃度を表す。"{{math|2}}" を集合 {{math|{{mset|0, 1}}}} として定義すれば {{math|1={{abs|2<sup>''X''</sup>}} = 2<sup>{{abs|''X''}}</sup>}} が得られる。ここに {{math|2{{exp|''X''}}}} は {{mvar|X}} の[[冪集合]]であり、普通は {{math|𝒫(''X'')}} などで表される。

=== 圏論における冪対象 ===
{{Main|デカルト閉圏}}
[[デカルト閉圏]]において、任意の対象に対して別の任意の対象を冪指数とする冪演算を[[冪対象]]によって与えることができる。[[集合の圏]]における冪対象は配置集合であるから、これはその一般化になっている。考えている圏に[[始対象]] {{math|0}} が存在するならば、冪対象 {{math|0{{exp|0}}}} は任意の[[終対象]] {{math|1}} に同型である。

=== 順序数・基数の冪 ===
{{Main|基数#冪|l1=基数の冪|順序数#冪|l2=順序数の冪}}

[[集合論]]では[[基数]]や[[順序数]]の冪演算も定義される。

基数 {{mvar|κ, λ}} に対して冪 {{mvar|κ{{exp|λ}}}} は基数 {{mvar|λ}} の任意の集合から基数 {{mvar|κ}} の任意の集合への写像全体の成す集合の基数を表す<ref name="Bourbaki">N. Bourbaki, Elements of Mathematics, Theory of Sets, Springer-Verlag, 2004, III.§3.5.</ref>。{{mvar|κ, λ}} がともに有限ならばこれは通常の算術的な（つまり自然数の）冪演算と一致する（たとえば、二元集合から元を取って得られる三つ組全体の成す集合の基数は {{math|1=8 = 2{{exp|3}}}} で与えられる）。基数の算術において {{math|κ{{exp|0}}}} は常に（特に {{mvar|κ}} が無限基数や {{math|0}} であるときでさえ）{{math|1}} である。

基数の冪は順序数の冪とは異なる。後者は[[超限帰納法]]を含む過程の極限として定義される。

=== 反復冪 ===
{{main|テトレーション}}
自然数冪が乗法の反復として考えられたことと同様に、冪演算を繰り返す演算というものを定義することもできる。それをまた反復すれば別の演算が定義され、同様に繰り返して[[ハイパー演算]]の概念を得る。このようにして得られるハイパー演算の列において、次の演算は前の演算に対して急速に増大する。
{{seealso|アッカーマン函数|クヌースの矢印記法|巨大数}}

== 写像の冪の記法に関する注意 ==
=== 合成冪 ===
{{seealso|反復合成写像}}
写像の冪乗となるべきものとして、写像を表す符牒の直後に整数の上付き添字を添えたとき、それは（反復乗法ではなくて）[[反復合成写像|反復合成冪]]の意味で用いることがよく行われる。つまり例えば {{math|''f''{{exp|3}}(''x'')}} は {{math|''f''(''f''(''f''(''x'')))}} の意味であり、また特に {{math|''f''{{exp|−1}}(''x'')}} は {{mvar|f}} の[[逆写像]]を意味するのが普通である。反復合成写像は[[フラクタル]]や[[力学系]]の研究において興味を持たれる。[[チャールズ・バベッジ]]は[[写像の平方根]] {{math|''f''<sup>&nbsp;1/2</sup>(''x'')}} を求める問題を研究した最初の人であった。

=== 値ごとの冪 ===
{{seealso|[[点ごとの積]]}}
しかし歴史的経緯により、[[三角函数]]の場合には、函数の略号に正の冪指数を添えたときは函数の値に対して冪を取ることを意味する一方で、{{math|&minus;1}} を冪指数としたときは逆函数を意味するという特別な文法が適用される。つまり、 {{math|sin{{exp|2}}&thinsp;''x''}} は {{math|(sin&thinsp;''x''){{exp|2}}}} を括弧を用いずに略記する方法に過ぎない一方、{{math|sin{{exp|−1}}&thinsp;''x''}} は[[逆正弦函数]] {{math|arcsin&thinsp;''x''}} を意味するのである。三角函数の逆数函数は（例えば {{math|1=1/(sin&thinsp;''x'') = (sin&thinsp;''x'')<sup>−1</sup> = csc&thinsp;''x''}} のように）それぞれ固有の名前と略号が与えられているから、三角函数の逆数の略記法は無用である。同様の規約は対数函数にも適用され、{{math|log{{exp|2}}&thinsp;''x''}} はふつう {{math|(log&thinsp;''x''){{exp|2}}}} の意味であって {{math|log&thinsp;log&thinsp;''x''}} の意味でない。

=== 上付き添字 ===
{{seealso|添字表記法}}
添字付けられた変数を考えるとき、その変数の添字を[[上付き文字|上付き]]にする場合があり、それはあたかも冪であるかのような印象を受けるかもしれないが混同するべきではない。これは特に[[テンソル解析]]において[[ベクトル場]]の座標表示などで現れる。あるいはまた[[数列]]の[[列 (数学)|列]]のような、既にそれ自身添字付けられているような量に対してさらに添字付けを行う場合にもしばしば用いられる。

=== 高階導函数 ===
函数 {{mvar|f}} の {{mvar|n}}-階[[導函数]]はふつう {{math|''f''{{exp|(''n'')}}}} と書かれるように、冪記法は冪指数を[[パーレン|括弧]]で囲んで書くこともある。

== 効率的な演算法 ==
コンピュータ上で指数を自然数とする冪乗（累乗）を効率よく行う演算方法として'''バイナリ法'''（[[二進法|二進数]]法; [[:en:exponentiation by squaring]]) とも呼ばれる演算方法を示す。

[[RSA暗号]]や[[素数判定#確率的素数判定法|確率的素数判定法]]である[[フェルマーの小定理#フェルマーテスト|フェルマーテスト]]などでは、巨大な自然数を指数とする累乗を行う。この方法を使うと、指数がいかに巨大であっても高々その[[ビット]]数の2倍の回数の[[乗算]]で算出することが可能になり、繰り返し掛けるよりも大幅に効率がよくなる。特にRSA暗号やフェルマーテストなどにおいて各演算後に必要となる[[剰余]]演算（一般に最も計算時間がかかる）の回数を減らす効果がある。

一般に、コンピュータにとって標準的な（[[32ビット]]コンピュータならば約4億までの）自然数や浮動小数点数を底とする場合は下位桁から計算する方式を、前述のような巨大な自然数を底とする場合には上位桁から計算する方式を用いると効率が良い。

=== 下位桁から計算する方式 ===
バイナリ法では、次の性質を利用する。
: <math>(a^x)^2 = a^{2x}</math>
例えば {{math|1=(''a''<sup>8</sup>)<sup>2</sup> {{=}} ''a''<sup>16</sup>}} である。したがって、{{mvar|a}}（すなわち {{math|''a''<sup>1</sup>}}）から始めて2乗を繰り返すと次行のとおりになる。
: <math>a^1 \to a^2 \to a^4 \to a^8 \to a^{16} \to a^{32} \to \cdots</math>
これらの数のうち、適切なものを選んで掛け合わせれば、任意の累乗を速く（すなわち少ない乗算回数で）計算することができる<ref name="algo">{{cite book | 1=和書 | title=C言語による最新アルゴリズム事典 | publisher=[[技術評論社]] | author=奥村晴彦 | authorlink=奥村晴彦 | year=1991 | page=304 | isbn=4-87408-414-1}}</ref>。例えば {{math|''a''<sup>43</sup>}} は、指数法則によって、
: <math>a^{43} = a^{32+8+2+1} = a^{32} \times a^8 \times a^2 \times a^1</math>
として計算することができる。乗算回数は 8 回{{efn|乗算回数は、<math>a^{32}=</math> <math>((((a^2)^2)^2)^2)^2</math> を計算するのに 5 回、<math>a^1 \times a^2 \times a^8 \times a^{32}</math> に 3 回の、合計 8 回かかる。}}で済むので、{{mvar|a}} を 42 回繰り返し掛け合わせるのに比べて効率が良い。（下図で「→」は乗算を表し、「⇒」は2乗を表す。）

<!-- 保守性のために、LaTeX の {matrix} を使わず、表にした -->
{| border="0" cellspacing="0" cellpadding="1" style="border: solid thin #CCCCFF; padding: 0.5ex 1ex; margin-left: 1.2em;"
<!-- |+ バイナリ法による高速な累乗 -->
|-
| align="right" style="width:13em;" | （十進表記）：
| &nbsp;
| {{mvar|a}}<sup>1</sup>
|
| {{mvar|a}}<sup>2</sup>
|
| {{mvar|a}}<sup>4</sup>
|
| {{mvar|a}}<sup>8</sup>
|
| {{mvar|a}}<sup>16</sup>
|
| {{mvar|a}}<sup>32</sup>
|-
| align="right" | 2乗の繰返し（[[二進法|二進表記]]）：
| &nbsp;
| {{mvar|a}}<sup>1</sup>
|⇒
| {{mvar|a}}<sup>10</sup>
|⇒
| {{mvar|a}}<sup>100</sup>
|⇒
| {{mvar|a}}<sup>1000</sup>
|⇒
| {{mvar|a}}<sup>10000</sup>
|⇒
| {{mvar|a}}<sup>100000</sup>
|-
| &nbsp;
| &nbsp;
| style="color: #9999FF" | ↓
|
| ↓
|
| &nbsp; 
|
| ↓
|
| &nbsp; 
|
| ↓
|-
| align="right" | 累乗の計算（二進表記）：
| &nbsp;
| {{mvar|a}}<sup>1</sup>
|→
| {{mvar|a}}<sup>11</sup>
| style="color: #6666DD" |─
| style="color: #6666DD" | ──
|→
| {{mvar|a}}<sup>1011</sup>
| style="color: #6666DD" |─
| style="color: #6666DD" | ───
|→
| {{mvar|a}}<sup>101011</sup>
|-
| align="right" |（十進表記）：
| 
| {{mvar|a}}<sup>1</sup>
|
| {{mvar|a}}<sup>3</sup>
|
|
|
| {{mvar|a}}<sup>11</sup>
|
|
|
| {{mvar|a}}<sup>43</sup>
|}

[[コンピュータ]]の[[アルゴリズム]]として書くとこうなる。
# 指数を n とし、2乗していく値 p := {{mvar|a}}、結果値 v := 1 とする。
# n が 0 なら、v を出力して終了する。
# n の最下位桁が 1 なら、v := v * p とする。
# n := [n/2] とし（端数切捨て）、 p := p * p として、2. に戻る。
整数の内部表現が二進法であるコンピュータなら、4. では除算の代わりに[[ビット演算#シフト|シフト演算]]を用いることができる。

この方式は {{mvar|a}} が浮動小数点数である場合や、最終結果がレジスタに収まることがわかっている場合に効率が良い。また乗算に[[モンゴメリ乗算]]などを用いて[[冪剰余]]を計算する場合も、この方式で充分な効率が得られる。

=== 上位桁から計算する方式 ===
上の方式と同様に、次の性質を使う。
: <math>a^{2x} = (a^x)^2</math><!-- ←上にある式と同一 -->
これに性質 <math>a^{x+1} = a^x \cdot a</math> を組み合わせると、次の関係が成り立つ。
: <math>a^{2x+1} = ( a^x )^2 \cdot a</math>
指数が偶数か奇数かによってこれら二つの式を使い分け、指数を順次約1/2にしていくことができる。例えば <math>a^{43}</math> は、
: <math>a^{43} = a^{21 \cdot 2 +1} = (a^{21})^2 \cdot a</math>
である。そして <math>a^{21}</math> も同様に、
: <math>a^{21} = a^{10 \cdot 2 +1} = (a^{10})^2 \cdot a</math>
である。<math>a^{10}</math> はこうなる。
: <math>a^{10} = a^{5 \cdot 2} = (a^{5})^2</math>
以下同様に、こうなる。
: <math>a^{5} = a^{2 \cdot 2 +1} = (a^{2})^2 \cdot a</math>
: <math>a^{2} = a^{1 \cdot 2 } = (a^{1}) ^2</math>
: <math>a^{1} = a</math>
これを逆順にたどり、
: <math>a^{43} = ( ( ( ( ( a )^2 )^2 \cdot a )^2 )^2 \cdot a )^2 \cdot a </math>
として算出できる{{efn|この場合の乗算回数も、下位桁から計算するのと同じく合計 8 回かかる。}}。（下図で「→」は乗算を表し、「⇒」は2乗を表す。）

{| border="0" cellspacing="0" cellpadding="1" style="border: solid thin #CCCCFF; padding: 0.5ex 1ex; margin-left: 1.2em;"
<!-- |+ バイナリ法による高速な累乗 -->
|-
|
|
|
|
|
|
|
|
| {{mvar|a}}
|
|
|
|
|
| {{mvar|a}}
|
|
|
| {{mvar|a}}
|-
|
|
|
|
|
|
|
|
| ↓
|
|
|
|
|
| ↓
|
|
|
| ↓
|-
| align="right" style="width:5.5em;" | 二進表記：
| &nbsp;
| {{mvar|a}}<sup>1</sup>
|⇒
| {{mvar|a}}<sup>10</sup>
|⇒
| {{mvar|a}}<sup>100</sup>
|→
| {{mvar|a}}<sup>101</sup>
|⇒
| {{mvar|a}}<sup>1010</sup>
|⇒
| {{mvar|a}}<sup>10100</sup>
|→
| {{mvar|a}}<sup>10101</sup>
|⇒
| {{mvar|a}}<sup>101010</sup>
|→
| {{mvar|a}}<sup>101011</sup>
|-
| align="right" | 十進表記：
| &nbsp;
| {{mvar|a}}<sup>1</sup>
|
| {{mvar|a}}<sup>2</sup>
|
| {{mvar|a}}<sup>4</sup>
|
| {{mvar|a}}<sup>5</sup>
|
| {{mvar|a}}<sup>10</sup>
|
| {{mvar|a}}<sup>20</sup>
|
| {{mvar|a}}<sup>21</sup>
|
| {{mvar|a}}<sup>42</sup>
|
| {{mvar|a}}<sup>43</sup>
|}

2乗した後に {{mvar|a}} を乗算するか否かは、指数 {{mvar|n}} を二進表記したときの各ビットが1であるか否かと一致する。

コンピュータのアルゴリズムとして書くとこうなる。
: 指数 {{mvar|n}} の二進表記を n とし、n の最下位桁を n[0]、最上位桁を n[m]、最下位から数えて k 桁目を n[k] と表記する。
# 結果値 v := 1 とし、
# k := m とする（最上位）。
# v := v * v
# n[k] が 1 ならば v := v * {{mvar|a}} とする。
# k := k &minus; 1
# k ≧ 0 なら 3. に戻る。

この方式では、4. における乗数が常に {{mvar|a}} なので、下位桁から計算する方式に比べて乗数の桁数が小さくなり、計算時間がかからない。これは特に、レジスタに入りきらないような巨大な自然数を扱う場合に顕著となる。ただし（RSA暗号のように）冪乗の剰余を計算する場合であって法の大きさが {{mvar|a}} と同程度ならば、この効果はない。

また 4. における乗数が常に {{mvar|a}} なので、あらかじめ {{mvar|a}} が定数（2 や 10 など、または[[ディフィー・ヘルマン鍵共有]]の生成元 {{mvar|g}} など）であることがわかっている場合には、4. の乗算を最適化をすることができる。

巨大な自然数の汎用的な冪算ルーチン（{{mvar|a}} が小さい可能性が高い）や、{{mvar|a}} が小さかったり定数であることがわかっている場合、冪乗の剰余を計算する場合であってモンゴメリー演算を用いず別途剰余を計算する場合、数を保持するコストが高い場合など、指数を二進表記するコスト以上の効率が得られる場合に選択される。

== 脚注 ==
{{脚注ヘルプ}}
=== 注釈 ===
{{notelist|2}}
=== 出典 ===
{{reflist|3}}

== 参考文献 ==
* {{citation |和書|last= 鈴木 | first= 真治 |title= 「指数」はなぜ指数と云うのか? : その概念と用語の歴史的変遷を巡って | series= 第24回数学史シンポジウム(2013) | journal= 津田塾大学数学・計算機科学研究所報 |volume= 35 |pages= 315-397 |publisher= 津田塾大学数学・計算機科学研究所 |year=2013 | url= https://cir.nii.ac.jp/crid/1520853834822496384|ref=harv}}{{PDFlink|[http://www2.tsuda.ac.jp/suukeiken/math/suugakushi/sympo24/24_16suzukishinji.pdf PDFファイル]}}

== 関連文献 ==
*高木貞治、1904、「第十一章　冪及對數」、『新式算術講義』

== 関連項目 ==
{{Div col}}
* [[冪函数]]
* [[指数関数]]
* [[対数関数]]
* [[平方数]]
* [[立方数]]
* [[2の冪]]
* [[冪剰余]]
* [[ゼロ除算]]
* [[0の0乗]]
* [[冪乗則]]
{{Div col end}}

== 外部リンク ==
{{Commonscat|Exponentiation}}
* {{Wikisource-inline|新式算術講義/第十一章}}
* {{MathWorld|urlname=Exponentiation|title=Exponentiation}}
* {{nlab|urlname=exponentiation|title=exponentiation}}
* {{PlanetMath|urlname=Exponentiation|title=exponentiation}}

{{二項演算}}

{{Normdaten}}
{{DEFAULTSORT:へきしよう}}
[[Category:算術]]
[[Category:指数関数]]
[[Category:数学に関する記事]]