冪乗剰余記号のソースを表示

[[代数的整数論|代数的整数論で]]は、 '''''n''乗剰余記号'''（整数''n'' > 2の場合）は、（2次の場合の）[[ルジャンドル記号]]を''n''乗に一般化したものである。これらの記号は、 [[三次剰余の相互法則|3次]]、 [[四次剰余の相互法則|4次]]、および関連するより高い次数での<ref>[[Quadratic reciprocity]] deals with squares; higher refers to cubes, fourth, and higher powers.</ref>[[相互法則]]の文脈と証明で使用される。 <ref>All the facts in this article are in Lemmermeyer Ch. 4.1 and Ireland & Rosen Ch. 14.2</ref>

== 背景と表記 ==
''k''を[[整数環]]を持つ[[代数体]]とし、<math>\mathcal{O}_k</math>をその整数環とする。<math>\mathcal{O}_k</math>には[[1の冪根|1の原始n乗根<math>\zeta_n</math>]]が含まれているとする。

<math>\mathfrak{p}</math>を<math>\mathfrak{p} \subset \mathcal{O}_k </math>である[[素イデアル]]であるとし、 ''n''と<math>\mathfrak{p}</math>は[[互いに素]]（すなわち<math>n \not \in \mathfrak{p}</math> ）。

<math>\mathfrak{p}</math>のノルムは、剰余環の位数として定義される（ <math>\mathfrak{p}</math>は素イデアルであるため、剰余環は[[有限体]]）。：

: <math>\mathrm{N} \mathfrak{p} := |\mathcal{O}_k / \mathfrak{p}|.</math>

<math>\mathcal{O}_k</math>での[[フェルマーの小定理]]の類似物は<math>\alpha \in \mathcal{O}_k - \mathfrak{p}</math>ならば

: <math>\alpha^{\mathrm{N} \mathfrak{p} -1}\equiv 1 \bmod{\mathfrak{p}} </math>

が成り立つという主張であり、そのまま成立する。

そして、 <math>\mathrm{N} \mathfrak{p} \equiv 1 \bmod{n}</math>のとき、上記を利用した

: <math>\alpha^{\frac{\mathrm{N} \mathfrak{p} -1}{n}}\equiv \zeta_n^s\bmod{\mathfrak{p} }</math>

は[[well-defined]]であり、<math>\alpha^{\frac{\mathrm{N} \mathfrak{p} -1}{n}}</math>が<math>\bmod{\mathfrak{p} }</math>で[[1の冪根]]<math>\zeta_n^s</math>と合同であることを意味する。

== 定義 ==
上の右辺に出現した[[1の冪根]]は、<math>\mathcal{O}_k</math>'''''における<math>\mathit{n}</math>''乗剰余記号'''と呼ばれ、以下の記号で示される。

: <math>\left(\frac{\alpha}{\mathfrak{p} }\right)_n= \zeta_n^s \equiv \alpha^{\frac{\mathrm{N} \mathfrak{p} -1}{n}}\bmod{\mathfrak{p}}.</math>

== 性質 ==
''<math>\mathit{n}</math>''乗剰余記号は、古典的な（2次の）[[ルジャンドル記号]]と非常に類似した特性を持っている。（以下、 <math>\zeta</math>を[[1の冪根|1の原始''n''乗根]]として固定する）：

: <math>\left(\frac{\alpha}{\mathfrak{p} }\right)_n = \begin{cases}
0 & \alpha\in\mathfrak{p}\\
1 & \alpha\not\in\mathfrak{p}\text{ and } \exists \eta \in\mathcal{O}_k : \alpha \equiv \eta^n \bmod{\mathfrak{p}}\\
\zeta & \alpha\not\in\mathfrak{p}\text{ and there is no such }\eta
\end{cases}</math>

すべての場合（記号の値がゼロおよび非ゼロのいずれの場合でも）において

: <math>\left(\frac{\alpha}{\mathfrak{p}}\right)_n \equiv \alpha^{\frac{\mathrm{N} \mathfrak{p} -1}{n}}\bmod{\mathfrak{p}}. </math>
: <math> \left(\frac{\alpha}{\mathfrak{p}}\right)_n \left(\frac{\beta}{\mathfrak{p}}\right)_n = \left(\frac{\alpha\beta}{\mathfrak{p} }\right)_n </math>
: <math>\alpha \equiv\beta\bmod{\mathfrak{p}} \quad \Rightarrow \quad \left(\frac{\alpha}{\mathfrak{p} }\right)_n = \left(\frac{\beta}{\mathfrak{p} }\right)_n </math>

== ヒルベルト記号との関係 ==
<math>\mathit{n}</math>次の冪乗剰余記号は、[[ヒルベルト記号]]とも関連している。 <math>(\cdot,\cdot)_{\mathfrak{p}}</math>を素イデアル<math>\mathfrak{p}</math>に対して

: <math>\left(\frac{\alpha}{\mathfrak{p} }\right)_n = (\pi, \alpha)_{\mathfrak{p}} </math>

<math>\mathfrak{p}</math> は<math>\mathit{n}</math>と互いに素、ここで<math>\pi</math>は[[局所体]][[局所体|<math>K_{\mathfrak{p}}</math>]]の素元とする。 <ref name="Neu336">Neukirch (1999) p. 336</ref>

== 一般化 ==
<math>n</math> 次のヤコビ記号は[[ヤコビ記号]]が[[ルジャンドル記号]]を拡張するのと同じ方法で、素イデアルまたはゼロ以外の元を「分母」として使用するように、冪乗剰余記号を拡張できる。

任意の[[イデアル]]<math>\mathfrak{a}\subset\mathcal{O}_k</math>は[[素イデアル]]の積に表され、その方法は一意的である。

: <math>\mathfrak{a} = \mathfrak{p}_1 \cdots\mathfrak{p}_g.</math>

<math>n</math> 次のヤコビ記号はこれを利用して乗法的に定義される：

: <math> \left(\frac{\alpha}{\mathfrak{a} }\right)_n = \left(\frac{\alpha}{\mathfrak{p}_1 }\right)_n \cdots \left(\frac{\alpha}{\mathfrak{p}_g }\right)_n. </math>

<math>0 \neq \beta\in\mathcal{O}_k</math>に対しては、

: <math>\left(\frac{\alpha}{\beta}\right)_n := \left(\frac{\alpha}{(\beta) }\right)_n,</math>

ここで、<math>(\beta)</math>は<math>\beta</math>によって生成された[[主イデアル]]である。

2次の[[ヤコビ記号]]と同様に、この記号は上部と下部それぞれのパラメーターについて乗法的である。

* <math>\alpha\equiv\beta\bmod{\mathfrak{a}}\Rightarrow\left(\tfrac{\alpha}{\mathfrak{a} }\right)_n = \left(\tfrac{\beta}{\mathfrak{a} }\right)_n</math>
* <math> \left(\tfrac{\alpha}{\mathfrak{a} }\right)_n \left(\tfrac{\beta}{\mathfrak{a} }\right)_n = \left(\tfrac{\alpha\beta}{\mathfrak{a} }\right)_n </math>
* <math> \left(\tfrac{\alpha}{\mathfrak{a} }\right)_n \left(\tfrac{\alpha}{\mathfrak{b} }\right)_n = \left(\tfrac{\alpha}{\mathfrak{ab} }\right)_n </math>

記号の値は常に[[1の冪根|1の原始''n''乗根]]。その乗法性のため、一方のパラメーターが<math>\mathit{n}</math>乗剰余である場合は常に1に等しくなる。 逆は真ではない。

* <math>\alpha\equiv\eta^n\bmod{\mathfrak{a}}\Rightarrow\left(\tfrac{\alpha}{\mathfrak{a} }\right)_n =1</math>
* <math> \left(\tfrac{\alpha}{\mathfrak{a} }\right)_n \neq 1\Rightarrow</math><math>\alpha</math>は<math>\mathfrak{a}</math>を法とした<math>n</math>乗剰余ではない。
* 場合<math> \left(\tfrac{\alpha}{\mathfrak{a} }\right)_n =1\Rightarrow</math><math>\alpha</math>は<math>\mathfrak{a}</math>を法として<math>n</math>乗剰余かもしれないし、そうでないかもしれない。

== n乗剰余の相互法則 ==
[[平方剰余の相互法則|平方剰余]]の[[平方剰余の相互法則|法則の]]類似物である<math>\mathit{n}</math>''乗剰余の相互法則''は、[[ヒルベルト記号]]を利用して以下として定式化できる<ref name="Neu415">Neukirch (1999) p. 415</ref>。

: <math>\left({\frac{\alpha}{\beta}}\right)_n \left({\frac{\beta}{\alpha}}\right)_n^{-1} = \prod_{\mathfrak{p} | n\infty} (\alpha,\beta)_{\mathfrak{p}},</math>

ただし、<math>\alpha</math>と<math>\beta</math>は互いに素である。

== 関連項目 ==

* [[アルティン相互法則|アルティン記号]]
* [[ガウスの補題 (数論)|ガウスの補題]]

== 注釈 ==
{{Reflist}}

== 参考文献 ==

* {{Citation|last=Gras|first1=Georges|title=Class field theory. From theory to practice|series=Springer Monographs in Mathematics|place=Berlin|publisher=[[Springer-Verlag]]|year=2003|isbn=3-540-44133-6|zbl=1019.11032|pages=204–207}}
* {{Citation|last=Ireland|first1=Kenneth|last2=Rosen|first2=Michael|title=A Classical Introduction to Modern Number Theory (Second edition)|publisher=[[Springer Science+Business Media]]|place=New York|year=1990|isbn=0-387-97329-X}}
* {{Citation|last=Lemmermeyer|first1=Franz|title=Reciprocity Laws: from Euler to Eisenstein|publisher=[[Springer Science+Business Media]]|place=Berlin|year=2000|isbn=3-540-66957-4|doi=10.1007/978-3-662-12893-0|zbl=0949.11002|mr=1761696}}
* {{Citation|last=Neukirch|first1=Jürgen|author-link=Jürgen Neukirch|title=Algebraic number theory|others=Translated from the German by Norbert Schappacher|series=Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften|volume=322|place=Berlin|publisher=[[Springer-Verlag]]|year=1999|isbn=3-540-65399-6|zbl=0956.11021}}
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