冪等行列のソースを表示

[[線型代数学]]において、'''冪等行列'''（べきとうぎょうれつ、{{Lang-en-short|idempotent matrix}}）とは、自分自身との積が自分自身に一致する[[行列]]のことである<ref>{{cite book |last=Chiang |first=Alpha C. |title=Fundamental Methods of Mathematical Economics |publisher=McGraw–Hill |edition=3rd |year=1984 |page=80 |location=New York |isbn=0070108137 }}</ref><ref name=Greene>{{cite book |last=Greene |first=William H. |title=Econometric Analysis |publisher=Prentice–Hall |location=Upper Saddle River, NJ |edition=5th |year=2003 |pages=808–809 |isbn=0130661899 }}</ref>。つまり、行列 <math>A</math> が冪等行列であるとは <math>A^2 = A</math> が成り立つことである。積 <math>A^2</math> が意味を持つために、<math>A</math> は[[正方行列]]でなければならない。このように冪等行列とは[[行列環]]の[[冪等元]]のことである。

==例==
<math>2 \times 2</math> 冪等行列の例：
<math display="block">
\begin{bmatrix}
1 & 0 \\
0 & 1
\end{bmatrix}
\qquad
\begin{bmatrix}
3 & -6 \\
1 & -2
\end{bmatrix}
</math>

<math>3 \times 3</math> 冪等行列の例：
<math display="block">
\begin{bmatrix}
 1 & 0 & 0 \\
 0 & 0 & 0 \\
 0 & 0 & 1
\end{bmatrix}
\qquad
\begin{bmatrix}
 2 & -2 & -4 \\
-1 &  3 &  4 \\
 1 & -2 & -3
\end{bmatrix}
</math>

== 実2次正方行列の場合 ==
行列 <math>\begin{pmatrix}
a &b \\
c &d
\end{pmatrix}</math> が冪等であるならば、
* <math>a = a^2 + bc</math>
* <math>b = ab + bd</math> より <math>b(1 - a - d) = 0</math>, よって <math>b = 0</math> または <math>d = 1 - a</math>
* <math>c = ca + cd</math> より <math>c(1 - a - d) = 0</math>, よって <math>c = 0</math> または <math>d = 1 - a</math>
* <math>d = bc + d^2</math>
よって、実2次正方行列が冪等であるならば、行列が[[対角行列]]であるか、または行列の[[跡 (線型代数学)|跡]]が 1 に等しい。対角行列であるとき、{{mvar|a}} および {{mvar|d}} はそれぞれ {{math|1}} または {{math|0}} のいずれかでなければならないことに注意する。

<math>b=c</math> のとき、行列 <math>\begin{pmatrix}
a &b \\
b &1-a
\end{pmatrix}</math> は <math>a^2 + b^2 = a</math>、よって {{mvar|a}} が[[二次方程式]]
:<math>a^2 - a + b^2 = 0 ,\quad \left(a - \frac{1}{2} \right)^2 + b^2 = \frac{1}{4}</math>

を満たすならば冪等である。この方程式は中心 {{math|({{sfrac|1|2}}, 0)}}、半径 {{math|{{sfrac|1|2}}}} の[[円 (数学)|円]]を表す。角度 {{mvar|θ}} を用いて書けば、行列
:<math>A = \frac{1}{2} \begin{pmatrix}
1 - \cos\theta &\sin\theta \\
\sin\theta     &1 + \cos\theta
\end{pmatrix}</math>
は冪等である。

<math>b=c</math> は必要条件ではなく、<math>a^2 + bc = a</math> である任意の行列
:<math>\begin{pmatrix}
a &b \\
c &1-a
\end{pmatrix}</math>
は冪等である。

==性質==
=== 正則性 ===
唯一の[[正則行列|正則]]な冪等行列は[[単位行列]]である。つまり、単位行列でない正方行列が冪等であるならば、その列ベクトル（または行ベクトル）のうち線型独立であるものの本数は行列の列数よりも小さい。

これは次のようにして分かる。<math>A^2 = A</math> であり、{{mvar|A}} が正則ならば、<math>A^{-1}</math> の左からの積を考えて <math>A = IA = A^{-1}A^2 = A^{-1}A = I</math>。

単位行列から冪等行列を引いた行列もやはり冪等である。なぜなら：
:<math>(I-A)(I-A) = I-A-A+A^2 = I-A-A+A = I-A</math>

行列 {{mvar|A}} が冪等であるための必要十分条件は、任意の正整数 {{mvar|n}} に対して <math>A^n = A</math> が成り立つことである。

（証明）十分性は、<math>n=2</math> ととれば良いので明らかである。必要性は[[数学的帰納法]]によって示せる。<math>A^1 = A</math> は明らかだから <math>n = 1</math> のときはよい。<math>A^{k-1} = A</math> と仮定する。このとき <math>A^k = A^{k-1}A = AA = A</math> となり、<math>n=k</math> のときも正しいことが分かった。

===固有値===
冪等行列は常に[[対角化]]可能で、その[[固有値]]は 0 または 1 である<ref>{{cite book |first=Roger A. |last=Horn |first2=Charles R. |last2=Johnson |title=Matrix analysis |publisher=Cambridge University Press |year=1990 |page=[{{Google books|plainurl=y|id=PlYQN0ypTwEC|page=148|text=every idempotent matrix is diagonalizable}} p. 148] |isbn=0521386322 }}</ref>。

===跡===
冪等行列の跡（対角成分の和）は[[行列の階数]]に等しい。これより、成分の分かっている冪等行列の階数は容易に計算できるし、また逆に、成分が明示的でないような冪等行列の跡が容易に計算できる場合がある（このことは特に[[統計学]]で有用であり、例えば[[分散 (確率論)|標本分散]]から[[分散 (確率論)|母分散]]（誤差分散）を（線形）推定するときの計算に現れる）。

==応用==
冪等行列は[[回帰分析]]や[[計量経済学]]でしばしば現れる。例えば[[最小二乗法]]では、残差 ''e''<sub>''i''</sub> の平方和を最小にするように係数ベクトル {{mvar|&beta;}} を求めることが問題となる。これを行列で書けば：
: Minimize <math>(y - X\beta)^\textsf{T}(y - X\beta) </math>
となる。

ここで <math>y</math> は[[回帰分析|従属変数]]の観測値を並べたベクトル、<math>X</math> は各列がそれぞれの[[回帰分析|独立変数]]の観測値を並べたものとなっている行列である。このとき係数ベクトルの推定量は

:<math>\hat\beta = \left(X^\textsf{T}X\right)^{-1}X^\textsf{T}y </math>

となる。ここで上付きの ''T'' は[[転置行列|行列の転置]]を表し、残差ベクトルは

:<math>
  \hat{e} = y - X \hat\beta
          = y - X\left(X^\textsf{T}X\right)^{-1}X^\textsf{T}y
          = \left[I - X\left(X^\textsf{T}X\right)^{-1}X^\textsf{T}\right]y
          = My
</math>

となる<ref name=Greene/>。<math>M</math> と <math>X\left(X^\textsf{T}X\right)^{-1}X^\textsf{T}</math>（後者は[[射影作用素|射影行列]]として知られている）は冪等かつ対称な行列であり、このことを用いると残差平方和の計算が

:<math>\hat{e}^\textsf{T}\hat{e} = (My)^\textsf{T}(My) = y^\textsf{T}M^\textsf{T}My = y^\textsf{T}MMy = y^\textsf{T}My</math>

のように簡単になる。<math>M</math> の冪等性はこの他に、<math>\beta</math> の分散の推定量を計算するときにも用いられる。

冪等行列 <math>P</math> の像空間を {{math|R(P)}}、[[零空間]]を {{math|N(P)}} とすれば、<math>P</math> は {{math|R(P)}} への射影作用素であり、さらに直交射影でもあるための必要十分条件は対称行列であることである。

==関連項目==
* [[冪等]]

==脚注==
{{reflist}}

{{DEFAULTSORT:へきとうきようれつ}}
[[Category:線型代数学]]
[[Category:行列]]
[[Category:数学に関する記事]]