冪零イデアルのソースを表示

[[数学]]の[[環論]]において、[[環 (数学)|環]] <math>R</math> の[[イデアル]] <math>I</math> が'''冪零イデアル''' (べきれいイデアル、英：nilpotent ideal) であるとは、ある自然数 <math>k</math> が存在して <math>I^k=0</math> が成り立つことである {{sfn|Isaacs|year=1993|loc=p. 194}}。ただし <math>I^k</math> は <math>I</math> の <math>k</math> 個の元の積のすべてからなる集合で生成される加法群としての <math>R</math> の部分群であり {{sfn|Isaacs|year=1993|loc=p. 194}} 、<math>0</math> は零環を意味する。ゆえに、イデアル <math>I</math> が冪零であることと、ある自然数 <math>k</math> が存在して <math>I</math> の任意の <math>k</math> 個の元の積が <math>0</math> であることは同値である。

環の多くのクラスの中で冪零イデアルの概念は{{仮リンク|冪零元イデアル|en|nil ideal}}の概念よりもはるかに強いが、{{仮リンク|レヴィツキの定理|en|Levitzky's theorem}}により2つの概念が一致する例も存在する<ref>Isaacs, Theorem 14.38, p. 210</ref>{{sfn|Herstein|year=1968|loc=Theorem 1.4.5, p. 37}}。

冪零イデアルの概念は[[可換環]]の場合でも有用だが、特に[[非可換環]]の場合で有用である。

== 例 ==
* 剰余環 <math>\mathbb{Z}/p^n\mathbb{Z}</math> のイデアル <math>p^i\mathbb{Z}/p^n\mathbb{Z}</math> (<math>i>0</math>) はすべて冪零である。
* 2次の[[全行列環]] <math>M_2(R)</math> のイデアル <math>N=\begin{bmatrix}0 & R\\ 0 & 0\end{bmatrix}</math> は冪零である。

== 冪零元イデアルとの関係 ==
冪零元イデアルの概念は冪零イデアルの概念と深いつながりをもち、環のあるクラスにおいて、2つの概念は一致する。イデアルが冪零であれば、もちろん冪零元イデアルであるが、冪零元イデアルは2つ以上の理由で冪零とは限らない。1つには、冪零元イデアルのいろいろな元を零化するのに要求される指数の大域的な上界が存在する必要はないことであり、2つには、各元が冪零であることは相異なる元の積が消えることを強制しない{{sfn|Isaacs|year=1993|loc=p. 194}}。

右[[アルティン環]]において、任意の冪零元イデアルは冪零である<ref>Isaacs, Corollary 14.3, p. 195</ref>。これは次のことを観察することによって証明される。任意の冪零元イデアルは環の[[ジャコブソン根基]]に含まれ、（アルティン性の仮定より）ジャコブソン根基は冪零イデアルであるから、結果が従う。実は、これは右[[ネーター環]]に一般化することができる。この結果は{{仮リンク|レヴィツキの定理|en|Levitzky's theorem}}として知られている{{sfn|Herstein|year=1968|loc=Theorem 1.4.5, p. 37}}。

== 関連項目 ==
* [[ケーテ予想]]
* [[冪零元]]
* {{仮リンク|冪零元イデアル|en|Nil ideal}}
* [[環の冪零根基|冪零根基]]
* [[ジャコブソン根基]]

== 脚注 ==
{{reflist|2}}

== 参考文献 ==
* {{cite book
 | author = I.N. Herstein
 | year = 1968
 | title = Noncommutative rings
 | edition =1st edition
 | publisher = The Mathematical Association of America
 | isbn = 0-88385-015-X
}}
* {{cite book
 | author = [[Martin Isaacs|I. Martin Isaacs]]
 | year = 1993
 | title = Algebra, a graduate course
 | edition = 1st edition
 | publisher = Brooks/Cole Publishing Company
 | isbn = 0-534-19002-2
}}

{{DEFAULTSORT:へきれいいてある}}
[[Category:イデアル]]
[[Category:数学に関する記事]]