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{{出典の明記|date=2022年3月}}
'''冪零行列'''（べきれいぎょうれつ、べきぜろぎょうれつ、nilpotent matrix）とは、[[冪乗]]して零（[[零行列]]）となる[[正方行列]]のこと。すなわち、ある[[自然数]] ''m'' に対して、
: ''M''<sup> ''m''</sup> = ''O''
が成り立つ行列 ''M'' をいう。冪零行列は[[基底 (線型代数学)|基底]]の与えられた[[ベクトル空間]]に対して'''冪零変換'''を定める。
== 例 ==
* 零行列は冪零行列である。
* <math>A =
\begin{bmatrix}
-1 & 1 \\
-1 & 1
\end{bmatrix}, B = \begin{bmatrix}
0 &  1 & 1 \\
0 &  0 & 1 \\
0 & 0 & 0
\end{bmatrix}
</math> はそれぞれ ''A''<sup>2</sup> = ''O'', ''B''<sup>3</sup> = ''O'' となる冪零行列である。
* より一般に実数 ''u'', ''t'' に対して <math>A =
u \begin{bmatrix}
-\sin t & 1 + \cos t \\
-1 + \cos t & \sin t
\end{bmatrix}</math> は ''A''<sup>2</sup> = ''O'' を満たす冪零行列である。
* 実数 ''a'', ''b'', ''c'' に対して、
:<math>\begin{bmatrix}
0 & a & b \\
0 & 0 & c \\
0 & 0 & 0
\end{bmatrix}</math>
の形をした行列は冪零行列である。このような冪零行列全体の集合は、交換子積 <math>X Y-Y X</math> により[[リー代数]]（[[ハイゼンベルク群]]のリー代数）になる。

== 性質 ==
* 冪零行列の[[固有値]]は 0 のみである。逆に、固有値が全て 0 である行列は冪零行列である。
* 任意の冪零行列は[[正則行列]]でない。
* ''N'' が冪零行列なら、[[単位行列]] ''I'' に対し (''I''-''N'') は正則行列である。一般に、任意の[[スカラー (数学)|スカラー]] ''t'' に対して
:<math>I - (tN)^n = (I - tN) (I + tN + \cdots + (tN)^{n-1})</math>
が成り立つので、''N''<sup>''n''</sup> = ''O'' であれば ''I'' - ''tN'' は正則行列である。

== 標準化 ==
<math>E_n</math> を <math>n</math> 次の単位行列として、
:<math>N_1 = \begin{bmatrix}
0
\end{bmatrix} , N_2 = \begin{bmatrix}
0 & 1 \\
0 & 0
\end{bmatrix} , N_3 = \begin{bmatrix}
0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 1 \\
0 & 0 & 0
\end{bmatrix} , \cdots , N_n =
\begin{bmatrix}
0 & E_{n-1} \\
0 &    0
\end{bmatrix}
</math>
と置いたとき、上の行列の幾つかの[[線型空間の直和|直和]]（行列をブロックとして対角線上に並べた[[区分行列]]のこと）
:<math>
\begin{bmatrix}
N_{n_1} & \cdots &    0    \\ \vdots & \ddots & \vdots \\
   0    & \cdots & N_{n_k}
\end{bmatrix}
</math>
を冪零行列の標準形という。ここで ''n''<sub>1</sub>, ... , ''n''<sub>''k''</sub> は与えられた自然数 ''s'' に対して ''n''<sub>1</sub> + ... + ''n''<sub>''k''</sub> = s を満たす自然数である。

標準化の対象になる ''s'' 次行列を ''M'' としたとき、&rho;<sub> ''r''</sub> = rank ''M''<sup> ''r''-1</sup> - rank ''M''<sup> ''r''</sup> と置けば、''n''<sub>''i''</sub> = ''p'' なる ''i'' の個数は全部で &rho;<sub>''p''</sub> - &rho;<sub>''p''+1</sub> 個ある。この &rho;<sub>''i''</sub> の値によって作られる冪零行列の標準形は、''n''<sub>''i''</sub> の順番を除いて一意的である。以下、&rho;<sub>''i''</sub>の値に基づく（''s''次の）標準形を ''N''[&rho;<sub>1</sub>, &hellip;, &rho;<sub>''s''</sub>] と書く。また、''M'' の次数を ''s'' とすれば、&rho;<sub>''i''</sub> の定義から直接に &sum;&rho;<sub>''i''</sub> = ''s'' となるから、次数 ''s'' における相異なる標準形の個数は、整数 ''s'' を[[整数分割|分割]]する方法の個数である。例えば、次数 4 における標準形は、
:<math>
\begin{bmatrix}
N_4
\end{bmatrix} ,
\begin{bmatrix}
N_3 &  0  \\
 0  & N_1
\end{bmatrix} ,
\begin{bmatrix}
N_2 &  0  \\
 0  & N_2
\end{bmatrix} ,
\begin{bmatrix}
N_2 &  0  &  0  \\
 0  & N_1 &  0  \\
 0  &  0  & N_1 \\
\end{bmatrix} ,
\begin{bmatrix}
N_1 &  0  &  0  &  0  \\
 0  & N_1 &  0  &  0  \\
 0  &  0  & N_1 &  0  \\
 0  &  0  &  0  & N_1
\end{bmatrix}
</math>
の 5 つである。この標準形は、それぞれ ''N''[1,1,1,1], ''N''[2,1,1,0], ''N''[2,2,0,0], ''N''[3,1,0,0], ''N''[4,0,0,0] である。一般に ''N''[1, ..., 1] = (N<sub>''s''</sub>), ''N''[''s'', 0, ..., 0] = ''O'' が成立する。

''N''<sub>''n''</sub> は、冪乗に関して次のような性質を持つ。
:<math>N_n^2 =
\begin{bmatrix}
0 & N_{n-1} \\
0 &    0
\end{bmatrix}
</math>

== 参考文献 ==
* 佐武一郎『線型代数学』[[裳華房]]、1974年 ISBN 978-4785313012、pp. 148 - 150、冪零行列の標準形について

== 外部リンク ==
* {{MathWorld|urlname=NilpotentMatrix|title=Nilpotent Matrix}}

{{Linear algebra}}

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[[Category:数学に関する記事]]