凸結合のソースを表示

{{Unreferenced|date=November 2014}}

[[Image:Convex combination illustration.svg|right|thumb|図に示される平面に三点 <math>x_1, x_2, x_3</math> が与えられたとき、点 <math>P</math> はそれら三点の凸結合であるが、点 <math>Q</math> は異なる（しかし <math>Q</math> は、それら三点の[[アフィン包]]が全空間であるために、それらのアフィン結合である）。]]

[[数学]]の{{仮リンク|凸幾何学|en|convex geometry}}の分野において、'''凸結合'''（とつけつごう、{{Lang-en-short|convex combination}}）とは、和が 1 となるような非負[[係数]]を持つ[[点 (数学)|点]]（[[空間ベクトル|ベクトル]]や[[スカラー]]、あるいはより一般に[[アフィン空間]]の点）の[[線型結合]]である。

より正式に、[[ベクトル空間|実ベクトル空間]]に有限個の点 <math>x_1, x_2, \dots, x_n\,</math> が与えられたとき、それらの凸結合は次の式で表される点である。

:<math>\alpha_1x_1+\alpha_2x_2+\cdots+\alpha_nx_n</math>

ただし実数 <math>\alpha_i\,</math> は <math>\alpha_i\ge 0 </math> および <math>\alpha_1+\alpha_2+\cdots+\alpha_n=1</math> を満たすものである。

特別な一例として、二点の間のすべての凸結合は、それらを結ぶ[[線分]]の上に存在する。

すべての凸結合は、与えられた点の[[凸包]]の中に含まれる。

線型結合の下で閉じていないが、凸結合の下で閉じているベクトル空間の部分集合が存在する。例えば、区間 <math>[0,1]</math> は凸であるが、線型結合の下では実数直線全体を生成する。また別の例として、線型結合が非負性、アフィン性（積分の総和が 1）のいずれも保存しない[[確率分布]]の凸集合が挙げられる。

== 他の概念 ==
* 同様に、[[確率分布]] <math>Y_i</math> の凸結合 <math>X</math> は、その成分確率分布の加重和（<math>\alpha_i</math> には上述と同様の制限が課される）であり、次の[[確率密度函数]]を備える。

:<math>f_{X}(x) = \sum_{i=1}^{n} \alpha_i f_{Y_i}(x)</math>

== 関連する構成 ==
{{Details|en:Linear combination#Affine, conical, and convex combinations}}
* [[錐結合]]は、非負係数による線型結合である。
* [[加重平均]]は機能的には凸結合と同じであるが、記法としては異なる。加重平均の係数（重み）和は 1 である必要はないが、その代わりにその（係数）和で線型結合を明示的に割っている。
* [[アフィン結合]]は凸結合と似ているが、その係数は非負である必要はない。したがってアフィン結合は、任意の[[可換体|体]]上のベクトル空間において定義される。

== 関連項目 ==
* [[アフィン包]]
* [[カラテオドリの定理 (凸包)]]
* [[凸包]]
* [[単体 (数学)]]
* {{仮リンク|重心座標系|en|Barycentric coordinate system}}

{{DEFAULTSORT:とつけつこう}}
[[Category:凸包]]
[[Category:凸幾何学]]
[[Category:解析学]]
[[Category:数学に関する記事]]