凹関数のソースを表示

[[数学]]における{{読み仮名_ruby不使用|'''凹関数'''|おうかんすう|{{lang-en-short|concave function}}}}とは、その[[加法逆元|符号反転]]が[[凸関数]]となるようなものを言う。凹関数の同義語として、函数が'''下に凹'''<ref>{{lang-en-short|concave downwards}}</ref>、下方凹<ref>{{lang-en-short|concave down}}</ref>または'''上に凸'''<ref>{{lang-en-short|convex upwards}}</ref>、上方凸<ref>{{lang-en-short|convex cap, upper convex}}</ref>などがある。

== 定義 ==
[[Image:ConcaveDef.png|thumb|right|300px|凹関数のグラフ]]
[[区間 (数学)|区間]]（あるいはより一般に、[[ベクトル空間]]内の[[凸集合]]）で定義された[[実数値関数]] {{mvar|f}} が'''凹である'''とは、{{mvar|f}} が区間内の任意の {{mvar|x}}, {{mvar|y}}, および区間 {{math|[0, 1]}} 内の任意の実数 {{mvar|α}} について[[不等式]]
: <math>f((1-\alpha )x+\alpha y)\geq (1-\alpha ) f(x)+\alpha f(y)</math>
を満たしていることをいう<ref>LENHART, S.; WORKMAN, J. T, Optimal Control Applied to biological models, {{仮リンク|チャップマン・アンド・ホール|en|Chapman & Hall}}/ [[CRCプレス|CRC]]、Mathematical and Computational Biology Series, 2007.</ref>。また'''狭義凹'''であるとは、不等式
: <math>f((1-\alpha )x + \alpha y) > (1-\alpha) f(x) + \alpha f(y)</math>
を満たすことをいう。ただし {{math|''α'' &isin; (0, 1)}} は任意、{{math|''x'' ≠ ''y''}} とする。実関数 {{math|''f'': '''R''' → '''R'''}} に対してはこの定義は単純に、{{mvar|x}} と {{mvar|y}} の間の任意の {{mvar|z}} に対する {{mvar|f}} の[[グラフ (関数)|グラフ]]上の点 {{math|(''z'', ''f''(''z''))}} が {{math|(''x'', ''f''(''x''))}} と {{math|(''y'', ''f''(''y''))}} を結ぶ直線よりも上の位置にきていることを言っているのに過ぎない。関数 {{mvar|f}} の{{仮リンク|上方位集合|en|upper contour set}} <math>S(a)=\{x: f(x)\geq a\}</math> が凸集合であるとき、その関数は{{仮リンク|準凸関数|en|quasiconvex function|label=準凹関数}}と呼ばれる<ref name=Varian>{{Cite Varian Microeconomic Analysis 3}}</ref>{{rp|496}}。

== 性質 ==
* 与えられた関数 {{mvar|f}} が適当な凸集合内で凹であるための[[必要十分条件]]は、同じ集合内で関数 {{math|−''f''}} が凸関数となることである。
* [[微分可能関数]] {{mvar|f}} が与えられた区間において凹となるための必定十分条件は、その[[導関数]] {{math|''f''&prime;}} がその区間において[[単調函数|単調非増大]]となること、すなわち {{math|''f&Prime;'' < 0}} を満たすことである。凹函数はその[[傾き (数学)|傾き]]が常に減少する。
* 凸性が（凸と凹の間で）入れ替わる[[点 (数学)|点]]は[[変曲点]]と呼ばれる。
* 二つの凹関数の（点ごとの）和はそれ自身ひとつの凹函数となる。また二つの凹関数の[[点ごと]]に大きくないほうの値をとって得られる函数もやはり凹函数である。すなわち、与えられた[[定義域|領域]]上定義された凹函数全体の成す集合は{{仮リンク|半体|en|semifield}}を成す。
* 任意の関数は、その定義域の[[内部 (位相空間論)|内部]]にある[[極値|極大値点]]の近くにおいて、凹でなければならない。このことの部分的な[[逆]]として、狭義凹函数の導函数が適当な点において {{math|0}} となるならば、その点は極大値点である。
* 函数 {{mvar|f}} が二回微分可能であるとき、{{mvar|f}} が凹であることの必要十分条件は {{mvar|f&Prime;}} が非正（[[加速度]]が非正）となることである。より強く、二階導関数が負となるならば狭義凹になるが、[[逆]]は正しくない（反例として {{math|1=''f''(''x'') = &minus;''x''<sup>4</sup>}} を考えよ）。
* 凹関数の任意の極大値は[[最大値]]でもある。狭義凹関数は高々ひとつの最大値を持つ。
* {{mvar|f}} が凹関数かつ微分可能であるとき、{{mvar|f}} は、{{mvar|f}} の1次の[[テイラー展開|テイラー近似]]で上から抑えられる<ref name=Varian/>{{rp|489}}：
*:<math>f(y) \leq f(x) + f'(x)[y-x].</math>
* ガウス平面 {{math|'''C'''}} 上の[[連続関数]]が凹であるための必要十分条件は {{math|'''C'''}} の任意の元 {{mvar|x}}, {{mvar|y}} について以下の不等式が成り立つことである。
*:<math>f\!\left( \frac{x+y}2 \right) \ge \frac{f(x) + f(y)}2.</math>
*  関数 {{mvar|f}} が凹であり、{{math|''f''(0) ≥ 0}} であるとき、{{mvar|f}} は[[劣加法性]]を持つ。証明は以下の通り。
*: {{mvar|f}} が凹であるから、{{math|1=''y'' = 0}} とおくと、{{math|1=''f''(''tx'') = ''f''(''tx'' + (1 &minus; ''t'') &sdot; 0) &ge; ''tf''(''x'') + (1 &minus; ''t'')''f''(0) &ge; ''tf''(''x'')}} となる。したがって
*:: <math>f(a) + f(b) = f \left((a+b) \frac{a}{a+b} \right) + f \left((a+b) \frac{b}{a+b} \right)
\ge \frac{a}{a+b} f(a+b) + \frac{b}{a+b} f(a+b) = f(a+b).</math>

== 例 ==
* 関数 <math>f(x)=-x^2</math> および <math>g(x)=\sqrt{x}</math> はそれぞれの定義域において凹である。実際これらの[[二階導関数]] <math>f''(x) = -2</math> および <math>g''(x) = -\frac{1}{4 x^{1.5}}</math> は常に負である。
* [[対数]]関数 <math>f(x) = \log{x}</math> は定義域 <math>(0,\infty)</math> 上で凹である。実際、 {{math|''f''(''x'')}} の導関数 {{math|1/''x''}} はその区間上狭義単調減少である。
* 任意の[[一次函数]] {{math|''f''(''x'') {{=}} ''ax'' + ''b''}} は凹かつ凸だが、狭義凹でも狭義凸でもない。
* [[三角関数|正弦関数]]は区間 {{math|[0, &pi;]}} で凹関数である。
* 関数 <math>f(B) = \log |B|</math> は凹関数である。ただし {{math|{{mabs|''B''}}}} は[[行列の定値性|非負定値]]行列 {{mvar|B}} の[[行列式]]である<ref name="Cover 1988">{{cite journal|author=[[Thomas M. Cover]] and J. A. Thomas|  title=Determinant inequalities via information theory| journal=[[SIAM Journal on Matrix Analysis and Applications]]| year=1988| volume=9|number=3| pages=384&ndash;392| doi=10.1137/0609033}}</ref>。
* [[光線]]の[[屈折]]の{{仮リンク|大気中での電波の減衰計算|en|computation of radiowave attenuation in the atmosphere|label=計算}}に、関数の凹性が用いられている。

== 関連項目 ==
* [[凸関数]]
* [[イェンゼンの不等式]]

== 脚注 ==
{{脚注ヘルプ}}
{{Reflist}}

== 参考文献 ==
*{{cite book|last=Crouzeix|first=J.-P.|chapter=Quasi-concavity|title=The New&nbsp;Palgrave Dictionary of Economics|editor-first=Steven&nbsp;N.|editor-last=Durlauf|editor2-first=Lawrence&nbsp;E<!-- . -->|editor2-last=Blume|publisher={{仮リンク|パルグレーブ・マクミラン|en|Palgrave Macmillan}}|year=2008|edition=2nd|pages=|url=http://www.dictionaryofeconomics.com/article?id=pde2008_Q000008|doi=10.1057/9780230226203.1375|ref=harv}}
*{{cite book |title=Engineering Optimization: Theory and Practice|first=Singiresu S.|last=Rao|
publisher=[[ジョン・ワイリー・アンド・サンズ]]|year=2009|isbn=0-470-18352-7|page=779}}

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