函数の平均のソースを表示

[[微分積分学]]および、特に[[多変数微分積分学]]における[[函数]]の'''平均'''（へいきん、{{lang-en-short|''mean, average value''}}）は、略式的に言えば函数の[[定義域]]に亙って取った値の[[平均]]として定義される。

一変数の場合、区間 {{closed-closed|''a'', ''b''}} 上の函数 {{math|''f''(''x'')}} の平均は <math display="block">\bar{f}=\frac{1}{b-a}\int_a^bf(x)\mathit{dx}</math> で定義される。これは[[算術平均]]を一般化するものである。

[[幾何平均]]を一般化することも可能であり、より一般に[[測度論]]および[[確率論]]においていずれかの種類の平均が重要な役割を持つ。この文脈では、[[イェンゼンの不等式]]が函数の算術平均と幾何平均の間の関係を厳に評価するものである。

同様に、函数の[[調和平均]]や自乗平均（あるいは自乗平均平方根）なども定義できる。

== 動機付け ==
{{seealso|算術平均}}
有限個の値 {{math|''y''{{sub|1}}, ''y''{{sub|2}}, …, ''y{{sub|n}}''}} の（算術）平均 {{mvar|{{overline|y}}}} の定義性質は <math display="inline">n\bar{y} = y_1 + y_2 + \dotsb + y_n</math> であったことを思い出そう。すなわち「その値を {{mvar|n}} 個{{underline|加えた}}ものが、与えられた {{mvar|n}} 項 {{mvar|y{{sub|i}}}} の和に等しいこと」として定義される'''定数'''がそれら {{mvar|n}} 項の平均値である。

その類似対応物として、区間 {{closed-closed|''a'', ''b''}} 上で定義された函数 {{mvar|f}} の（算術）平均 {{mvar|{{overline|f}}}} の定義性質として <math display="block">\int_a^b\bar{f}\,\mathit{dx} = \int_a^bf(x)\,\mathit{dx}</math> を考えるのは自然である。すなわち、{{mvar|{{overline|f}}}} を区間 {{closed-closed|''a'', ''b''}} 上で{{underline|積分した}}ものが {{closed-closed|''a'', ''b''}} 上での {{mvar|f}} の積分値に等しいような'''定数''' {{mvar|{{overline|f}}}} を平均値とする。しかしこのとき、[[微分積分学の基本定理|微分積分学の第二基本定理]]によれば、定数 {{mvar|{{overline|f}}}} の積分は <math display="block">\int_a^b\bar{f}\,\mathit{dx} = \bar{f}x\bigr|_a^b = \bar{f}b - \bar{f}a = (b - a)\bar{f}</math> と求められ、また[[平均値の定理|積分の第一平均値定理]]によれば、{{mvar|f}} が開区間 {{closed-closed|''a'', ''b''}} で連続ならば、{{math|''c'' ∈ {{open-open|''a'', ''b''}}}} が存在して <math display="block">\int_a^bf(x)\,\mathit{dx} = f(c)(b - a)</math> となることが保証され、この値 {{math|''f''(''c'')}} は函数 {{math|''f''(''x'')}} の {{closed-closed|''a'', ''b''}} における平均値と呼ばれる。そこで {{math|''{{overline|f}}'' {{coloneqq}} ''f''(''c'')}} と書いて整理すれば、冒頭の定義に至る。

== 定義 ==
多変数の場合、[[ユークリッド空間]]の[[相対コンパクト]][[近傍 (位相空間論)|近傍]] {{mvar|U}} 上での函数 {{mvar|f}} の（算術）平均は <math display="block">\bar{f}=\frac{1}{\operatorname{Vol}(U)}\int_U f</math> で定義される。

また、{{mvar|f}} の幾何平均は <math display="block">\exp\left(\frac{1}{\operatorname{Vol}(U)}\int_U \log f\right)</math> と定めればよい。

== 注 ==
=== 注釈 ===
{{notelist}}
=== 出典 ===
{{reflist}}
== 参考文献 ==

== 外部リンク ==
* {{MathWorld|urlname=AverageFunction|title=Average Function}}
* {{PlanetMath|urlname=AverageValueOfFunction|title=average value of function}}
* {{ProofWiki|urlname=Definition:Average_Value_of_Function|title=Definition:Average Value of Function}}

{{DEFAULTSORT:かんすうのへいきん}}
[[Category:平均]]
[[Category:微分積分学]]
[[Category:数学に関する記事]]