分位数のソースを表示

'''分位数'''（ぶんいすう）、'''分位点'''（ぶんいてん）、'''分位値'''（ぶんいち）、'''クォンタイル''' ({{lang-en-short|quantile}}) は、統計の代表値の1種である。

[[実数]] <math>q \in [0, 1]</math> に対し、'''''q'' 分位数''' ({{en|''q''-quantile}}) は、分布を <math>q : 1 - q</math> に分割する値である。

ある種の正の[[整数]] <math>m</math> に対し、分布を <math>m</math> 等分する <math>m - 1</math> 個の値、つまり、<math>i = 1, \dotsc, m - 1</math> に対する <math>i / m</math> 分位数を、'''''m'' 分位数'''（ただし <math>m</math> は[[漢数字]]）という。<math>i = 1, \dotsc, m - 1</math> 番目の ''m'' 分位数を'''第 ''i'' ''m'' 分位数'''といい、また、<math>m</math> 等分された分布の <math>k = 1, \dotsc, m</math> 番目の部分を、'''第 ''k'' ''m'' 分位'''、または単に'''第 ''k'' 分位'''という。

ただし、英語の{{en|quantile}}には、等分割する値（{{en|value}}）の意味と、そのようにして分割された群（{{en|group}}）の二つの意味がある<ref>{{citation
|title=[[オックスフォード英英辞典|Oxford Dictionary of English]]
|editor=Angus Stevenson
|edition=Third
|year=2010
|publisher=[[Oxford University Press]]
|page={{google books quote|id=anecAQAAQBAJ|page=1451|1451}}
|isbn=978-0-19-957112-3
}}</ref>。

==定義==
===変量統計における分位数===
<math>n</math> 個のデータ <math>x</math> に対する ''q'' 分位数 <math>Q_q</math> は、昇順に[[ソート]]したデータを <math>x_{1} \leq x_{2} \leq \dotsb \leq x_{n}</math> とすると、
:<math>\begin{align}
  Q_q &= x(1 - q + q n) \\
  x(t) &= \begin{cases} 
    x_t,  & \text{if } t \in \mathbb{N} \\
    (\lceil t \rceil - t) x_{\lfloor t \rfloor} + (t - \lfloor t \rfloor) x_{\lceil t \rceil}, & \text{if } t \notin \mathbb{N}
  \end{cases}
\end{align}</math>
と定義される。ここで、<math>\lfloor \cdot \rfloor</math> は床関数、<math>\lceil \cdot \rceil</math> は天井関数、<math>\mathbb{N}</math> は[[自然数]]の集合である。

[[関数 (数学)|関数]] <math>x(t),\ 1 \le t \le n</math> は、[[数列]] <math>x_{1, \dotsc, n}</math> の線形内挿数関数への拡張である。関数 <math>x(\cdot)</math> の引数 <math>1 - q + q n</math> は、範囲 <math>[1, n]</math> を <math>q : 1 - q</math> に[[内分]]している。

===確率分布の分位数===
1次元[[確率分布]] <math>f(x)</math> に対する ''q'' 分位数 <math>Q_{q}</math> は
:<math>\int_{-\infty}^{Q_q} f(x) dx \ge q,\ \int_{Q_q}^\infty f(x) dx \ge 1 - q</math>
を満たす値として定義される。この式は、累積分布関数 <math>F(x)</math> または確率 <math>P(X)</math> を使って、
:<math>\int_{-\infty}^{Q_q} dF(x)\ \ge q,\ \int_{Q_q}^\infty dF(x)\ \ge 1 - q</math>

または

:<math>P(X \le Q_q) \ge q,\ P(X \ge Q_q) \ge 1 - q</math>
とも表せる<ref>累積分布関数が（狭義）[[単調増加]]でなければ、この条件を満たす <math>Q_q</math> は一意に定まるとは限らない。<!-- infとsupの平均として一意になるように定義した方がよい？ --></ref>。


==特別な分位数==
いくつかの ''q'' に対する ''q'' 分位数には、特別な名称がある。

===中央値===
{{main|中央値}}

1 / 2 分位数を、中央値、メディアン ({{en|median}})という。中央値は、平均値に代わり、分布を代表する値として使われる。

===四分位数===
<math>q / 4</math> 分位数を、第 ''q'' 四分位数、第 ''q'' 四分位点、第 ''q'' 四分位値、第 ''q'' ヒンジ ({{en|quartile, hinge}}) という。1 / 4 分位数（第1四分位数）を下側四分位数、3 / 4 分位数（第3四分位数）を上側四分位数ともいう{{sfn|西岡|2013|loc=1.5 分位数|page={{google books quote|id=AUY2AgAAQBAJ|page=12|12}}}}。

単に四分位数といったばあい、第1・第3四分位数を表す。第2四分位数は中央値である。これらは、分布の[[統計的ばらつき]]を表すのに使う。

第1・第3四分位数の差 <math>Q_{3 / 4} - Q_{1 / 4}</math> は、'''四分位範囲'''（{{lang-en-short|interquartile range, '''IQR'''}}）といい、分布のばらつきの代表値である。分布の代表値として平均値の代わりに中央値を使うときは、IQRを[[標準偏差]]や[[分散 (確率論)|分散]]の代わりに使う。中央値同様、頑強で、[[外れ値]]や極端に広い裾野の影響を受けにくい。

<math>\text{IQR} / 2</math> を'''四分位偏差'''、<math>\text{IQR} / \text{IQR}_{N(0, 1)} \approx 0.7413 ~ \text{IQR}</math> を'''正規四分位範囲'''（{{lang-en-short|normalized interquartile range, '''NIQR'''}}）といい、IQRの代わりに使うことがある。ここで、<math>\text{IQR}_{N(0, 1)} \approx 1.3490</math> は、標準正規分布のIQRである。[[正規分布]]の正規四分位範囲は、[[標準偏差]]に等しい。なお係数0.7413を[[近似値]]として使うことがある。

四分位数の簡易な求め方として、中央値より上の値の中央値と、中央値より下の値の中央値を使う場合がある。この値を特にヒンジ (hinge) と呼び、それぞれ上側ヒンジ・下側ヒンジ、または、第1・第3ヒンジ（第2ヒンジは中央値）と呼ぶ。ヒンジは、（厳密に計算した）四分位数とは、中央値から離れる方向に少しだけずれる。データ数が多ければずれは小さくなる {{要出典|date=2016年4月}}。

===三分位数・五分位数・十分位数===
<math>q / 3</math> 分位数を、第 ''q'' 三分位数、第 ''q'' 三分位点、第 ''q'' 三分位値 ({{en|tertile}}) という。

<math>q / 5</math> 分位数を、第 ''q'' 五分位数、第 ''q'' 五分位点、第 ''q'' 五分位値 ({{en|quintile}}) という。

<math>q / 10</math> 分位数を、第 ''q'' 十分位数、第 ''q'' 十分位点、第 ''q'' 十分位値 ({{en|decile}}) という。

===パーセンタイル===
<math>q / 100</math> 分位数を、''q'' パーセンタイル、（第）''q'' 百分位数、（第）''q'' 百分位点、（第）''q'' 百分位値、''q'' パーセント点、''q'' %点 ({{en|percentile}}) という。

<math>1 - q / 100</math> 分位数を上側 ''q'' パーセント点という。これと対比するときには、<math>q / 100</math> 分位数は下側 ''q'' パーセント点という。また、平均が0の対称分布に対し、<math>1 / 2 + q / 200</math> 分位数を両側 ''q'' パーセント点という。このとき、絶対値が両側 ''q'' パーセント点以内に、分布の ''q'' %が含まれている。

===最大値・最小値===
0分位数は最小値、1分位数は最大値である{{sfn|西岡|2013|loc=1.4 度数分布|p={{google books quote|id=AUY2AgAAQBAJ|page=8|8}}}}。最大値と最小値の差は'''範囲'''あるいは'''レンジ'''（{{lang-en-short|range}}）と呼ばれ、分布のばらつきを表す代表値の一種である。

==五数要約==
{{main|箱ひげ図}}
分布の特徴を最大値、最小値、中央値、上側・下側ヒンジの5つの値、つまり、0, 0.25, 0.5, 0.75, 1分位数で要約することを、五数要約という。五数要約は、しばしば箱ひげ図で図示される。

== 日本産業規格 ==
[[日本産業規格]]では、分位点を、「<math>p</math>分位点とは，分布関数が <math>p</math> に一致するか，又は<math>p</math>より小さな値から <math>p</math> より大きな値に飛ぶときの確率変数の値。確率<math>p</math> を <math>100p</math>% で表すときは <math>100p</math> パーセント点 ({{en|100''p'' percentile}}) という。備考1. 確率変数のある区間内で分布関数が一定値<math>p</math>となる場合は，その区間内の任意の値が<math>p</math>分位点とされる。ただし，<math>0\leqq p\leqq 1</math>である。
2.  <math>p=1/2</math>に対応する確率変数の値をメディアン中央値 ({{en|median}}) という。3. <math>p=1/4</math>および<math>p=3/4</math>に対応する確率変数の値を四分位点 ({{en|quartile}}) という。」と定義している<ref>[[JIS Z 8101]]-1 : 1999 [[統計]] − 用語と記号 − 第1部:[[確率]]及び一般統計用語 1.10 分位点、[[日本規格協会]]、http://kikakurui.com/z8/Z8101-1-1999-01.html</ref>。

== 脚注 ==
{{脚注ヘルプ}}
{{Reflist}}

==参考文献==
* {{Cite book|和書|author=西岡康夫|year=2013|series=数学チュートリアル|title=やさしく語る 確率統計|url={{google books|AUY2AgAAQBAJ|plainurl=yes}}|publisher=[[オーム社]]|isbn=978-4-274-21407-3|ref={{sfnref|西岡|2013}}}}

== 外部リンク ==
* [http://jse.amstat.org/v14n3/langford.html Quartiles in Elementary Statistics] 15種類の定義がされている

{{統計学}}
[[Category:統計量|ふんいすう]]
[[Category:数学に関する記事|ふんいすう]]