分割数のソースを表示

{{翻訳中途|date=2011-08|1=[[:en:Partition (number theory)]] 14:16, 19 August 2011}}
<!--{{expert-subject|mathematics|date=February 2011}}-->
[[数論]]における'''分割数'''（ぶんかつすう、{{lang-en-short|''partition function''}}）{{math|''p''(''n'')}} は[[自然数の分割|自然数 {{mvar|n}} の分割]]（{{mvar|n}} をその順番の[[違いを除いて]]自然数の和として表す方法）の総数を表す数論的函数である。ただし、規約として {{math2|1=''p''(0) = 1}} および負の整数 {{math2|''n'' < 0}} に対して {{math2|1=''p''(''n'') = 0}} と定める。

== 分割数のリスト ==
分割数の列について、50番目までの値は {{OEIS|id=A000041}} を参照。
{|class="wikitable" style="text-align:right;width:400px"
!''n''!!0!!1!!2!!3!!4!!5!!6!!7!!8!!9!!10
|-
!''p''(''n'')
|1||1||2||3||5||7||11||15||22||30||42
|}
* ''p''(100) = 190,569,292
* ''p''(200) = 3,972,999,029,388
* ''p''(1000) = 24,061,467,864,032,622,473,692,149,727,991 ≈ 2.4{{e|31}}.
{{As of|2020|Feb}}、知られている中でこの形で得られる最大の[[素数]]は、<ref>http://primes.utm.edu/top20/page.php?id=54</ref>''p''(1289844341) で、これは十進法で 40000桁の数値である。

== 補助函数 ==
分割函数の値を帰納的に求める方法の一つとして、{{mvar|n}} を {{mvar|k}} 以上の自然数で分割する場合の数 {{math|''p''(''k'', ''n'')}} を補助的な函数として考えるのがある。{{mvar|k}} を固定したとき、{{math|''p''(''k'', ''n'')}} を次の2つで場合分けする。
# 最小の成分が {{mvar|k}} である。
# 最小の成分が {{mvar|k}} より大きい。
1. の場合の数は {{math2|''p''(''k'', ''n'' &minus; ''k'')}} である。何故なら、整数 {{math2|''n'' &minus; ''k''}} を {{mvar|k}} 以上の整数で分割した場合全体は、それぞれの場合に "{{math2|+''k''}}" とすると、{{mvar|n}} の、最小の成分が {{mvar|k}} の分割と[[全単射|1対1に対応]]するからである。

この補助函数により、分割数の列の一般項を立式できる：
:<math>1+\textstyle\sum\limits_{k=1}^{\lfloor \frac{1}{2}n \rfloor} p(k,n-k) = p(n),</math>
ここで <math>\lfloor n\rfloor</math> は[[床関数と天井関数|床函数]]である。

2. の場合の数は {{math2|''p''(''k'' + 1, ''n'')}} である。これは、最小の成分が {{math2|''k'' + 1}} 以上であることから明らかである。

上記の 2つの場合は[[排反]]であるから、{{mvar|n}} の分割の総数は
:{{math2|1=''p''(''n'') = ''p''(''k'' + 1, ''n'') + ''p''(''k'', ''n'' &minus; ''k'')}}
となる。したがって、補助函数 {{math2|''p''(''k'', ''n'')}} を[[再帰的]]に次の式で定義する：
:<math>p(k,n):= \left\{ \begin{array}{ll}
0 &(k>n) \\
1 &(k=n) \\
p(k+1,n)+p(k,n-k) &(k<n)
\end{array}\right.</math>
この函数は少し複雑な挙動を見せる傾向にある。
:''p''(1, 4) = 5
:''p''(2, 8) = 7
:''p''(3, 12) = 9
:''p''(4, 16) = 11
:''p''(5, 20) = 13
:''p''(6, 24) = '''16'''
もともとの分割数 ''p''(''n'') はちょうど ''p''(1, ''n'') に当たる。

{{math2|''p''(''k'', ''n'')}} の一覧表は以下の通り。
{|class="wikitable" style="text-align:right;margin:1ex auto 1ex auto;width:400px" align="center"
!colspan="2" rowspan="2"|''p''(''k'', ''n'')||colspan="10"|''k''
|-
!1!!2!!3!!4!!5!!6!!7!!8!!9!!10
|-
!rowspan="10"|''n''
!1
|1||0||0||0||0||0||0||0||0||0
|-
!2
|2||1||0||0||0||0||0||0||0||0
|-
!3
|3||1||1||0||0||0||0||0||0||0
|-
!4
|5||2||1||1||0||0||0||0||0||0
|-
!5
|7||2||1||1||1||0||0||0||0||0
|-
!6
|11||4||2||1||1||1||0||0||0||0
|-
!7
|15||4||2||1||1||1||1||0||0||0
|-
!8
|22||7||3||2||1||1||1||1||0||0
|-
!9
|30||8||4||2||1||1||1||1||1||0
|-
!10
|42||12||5||3||2||1||1||1||1||1
|}

== 分割数の母函数 ==
分割数 ''p''(''n'') の[[母関数]]は、次の式で与えられる。
:<math>\textstyle\sum\limits_{n=0}^\infty p(n)x^n = \prod\limits_{k=1}^\infty \dfrac{1}{1-x^k}.</math>
右辺の各項を[[幾何級数]]として展開すれば、これは
:(1 + ''x'' + ''x''{{sup|2}} + ''x''{{sup|3}} + …)(1 + ''x''{{sup|2}} + ''x''{{sup|4}} + ''x''{{sup|6}} + …)(1 + ''x''{{sup|3}} + ''x''{{sup|6}} + ''x''{{sup|9}} + …) …,
と書くことができるが、ここから積をとって {{mvar|x{{sup|n}}}} の項となるものを拾い出せば
:''n'' = ''a''{{sub|1}} + 2''a''{{sub|2}} + 3''a''{{sub|3}} + … = (1 + 1 + … + 1) + (2 + 2 + … + 2) + (3 + 3 + … + 3) + …,
を得る。ここで各数 ''i'' は ''a{{sub|i}}'' 個ずつ現れる。これはまさに ''n'' の分割の定義そのものであるから、この無限積が求める母函数を与えることが確認できる。もっと一般に、整数 ''n'' の適当な集合 ''A'' に属する整数への分割数の母函数も、上記の式の項の ''k'' を ''A'' の元となっているものにとることで得られる。この結果は[[レオンハルト・オイラー|オイラー]]による。

オイラーによるこのような分割数の母函数の定式化は[[qポッホハマー記号| ''q''-ポッホハマー記号]]の特別な場合であり、また多くの[[モジュラー形式]]の積の定式化（特に[[デテキント・イータ函数]]の）と近い関係にある。また、この母函数表示を[[オイラーの五角数定理]]と合わせれば、次のような漸化式
:''p''(''k'') = ''p''(''k'' &minus; 1) + ''p''(''k'' &minus; 2) &minus; ''p''(''k'' &minus; 5) &minus; ''p''(''k'' &minus; 7) + ''p''(''k'' &minus; 12) + ''p''(''k'' &minus; 15) &minus; ''p''(''k'' &minus; 22) &minus; …
を得る。ここで ''p''(0) = 1 および負の整数 ''k'' に対して ''p''(''k'') = 0 とし、和は ½''n''(3''n'' &minus; 1) の形（ただし ''n'' は正または負の整数全体を走る）の[[五角数|一般五角数]]全体にわたってとるものとする（順に ''n'' = 1, &minus;1, 2, &minus;2, 3, &minus;3, 4, &minus;4 ..., とすると、値として 1, 2, 5, 7, 12, 15, 22, 26, 35, 40, 51, ... が得られる）。和における符号は交互に +, +, &minus;, &minus; +, +, … と続く。

== 分割数の合同算術 ==
{{main|ラマヌジャンの合同式}}
[[シュリニヴァーサ・ラマヌジャン|ラマヌジャン]]は 4 または 9 で終わる整数に対する分割数に関して合同式
:<math>p(5k+4)\equiv 0 \pmod 5</math>
が成立することを発見した<ref>{{Citation |first1= S. |last1=Ramanujan |title=Some properties of p(n), the number of partitions of n |journal=Proc. Cambridge Philos. Soc. |volume=19 |year=1919 |pages=207-210 |ref=Ramanujan1919}}</ref>。例えば、整数 4 の分割数は 5 であり、整数 9 の分割数は 30、整数 14 の分割数は 135 といった具合である。ラマヌジャンはまた 7 および 11 に関する合同式
:<math>\begin{align}
p(7k + 5) &\equiv 0 \pmod 7 \\
p(11k+ 6) &\equiv 0 \pmod{11}
\end{align}</math>
も発見している。さて、5, 7, 11 は連続する[[素数]]になっているので、次の素数 13 に対する同様の合同式 ''p''(13''k'' + ''a'') &equiv; 0 (mod 13) が適当な ''a'' の下成立しそうなものだが、実際にはそうはなっていない。さらにいえば、''p''(''bk'' + ''a'') &equiv; 0 (mod ''b'') の形の合同式は 5, 7, 11 以外のどの素数 ''b'' に対しても成立しないことが示せる<ref>{{Citation |first1= S. |last1=Ahlgren|first2= M. |last2=Boylan |title=Asymptotic Formulaæ in Combinatory Analysis |journal=Invent. Math. |volume=153 |year=2003|pages=487-502 |doi=10.1007/s00222-003-0295-6}}</ref>。

1960年代に[[イリノイ大学シカゴ校]]の[[アーサー・オリバー・ロンスデール・アトキン|アトキン]]は、同様のいくつかの小さな素数を法とする合同式を発見している。例えば
:<math>p(11^3 \cdot 13 \cdot k + 237)\equiv 0 \pmod {13}</math>

のようなものが含まれる。2000年には、[[ウィスコンシン大学マディソン校]]の[[ケン・オノ|小野]]([[:en:Ken Ono|Ken Ono]])は任意の素数を法とする同様の合同式の存在を示した。さらに数年後、小野はイリノイ大学の[[スコット・アールグレン]]とともに、6 と互いに素なすべての整数を法とする分割数の合同式が存在することを証明している<ref>{{Cite journal |doi=10.1073/pnas.191488598 |last1=Ono |first1=Ken |authorlink=Ken Ono |last2=Ahlgren |first2=Scott |year=2001 |title=Congruence properties for the partition function |journal=[[Proceedings of the National Academy of Sciences]] |volume=98 |issue=23 |pages=12,882-12,884 |url=http://www.math.wisc.edu/~ono/reprints/061.pdf |archiveurl=https://web.archive.org/web/20110607123453/http://www.math.wisc.edu/~ono/reprints/061.pdf |archivedate=2011-06-07 |deadlinkdate=2017-09}}</ref>。
* A.ブライチャー：「ラマヌジャンの予言」、日経サイエンス、2014年9月号、頁67-72．
* Amanda Folsom, Zachary A. Kent and Ken Ono:"l-Adic Properties of the Partition Function", Advances in Mathematics, v.229, No.3, pp.1586-1609 (Feb. 15, 2012).
* Ken Ono and Larry Rolen:"Ramanujan's Mock Theta Functions", Proc. National Academy of Sci. USA, v.110, No.15, pp.5765-5768(Apr. 9, 2013). url="www.ncbi.nlm.nih.gov/pmc/articles/PMC3625272".

== 分割数の公式 ==
分割数 ''p''(''n'') の[[漸近解析|漸近表示]]は、
:<math>p(n) \sim \frac{1}{4n\sqrt{3}} e^{\pi \sqrt{\frac{2n}{3}}} \mbox { as } n\to \infty.</math>
で与えられる。この[[漸近公式]]は、[[ゴッドフレイ・ハロルド・ハーディ|ハーディ]]と[[シュリニヴァーサ・ラマヌジャン|ラマヌジャン]]によって1918年に初めて見出され、また、それとは独立に[[ジェームズ・ヴィクター・ウスペンスキー|ウスペンスキー]]が1920年に発見している。例えば ''p''(1000) を考えると、漸近公式からだいたい 2.4402 × 10{{sup|31}} となることが分かるが、これは真の値とくらべても十分近い値である（真の値よりは 1.415% ほど大きい）。

1937年に[[ハンス・ラーデマッハー|ラーデマッハー]]はハーディとラマヌジャンの結果に基づいて次の[[収束級数]]表示：
:<math>p(n)=\frac{1}{\pi \sqrt{2}} \sum_{k=1}^\infty \sqrt{k}\, A_k(n)\, \frac{d}{dn} \left( \frac {1} {\sqrt{n-\frac{1}{24}}} \sinh \left[ \frac{\pi}{k} \sqrt{\frac{2}{3}\left(n-\frac{1}{24}\right)}\right]
\right)</math>
を得ている。ただし
:<math>A_k(n) = \sum_{0\leq m< k\atop (m,k)=1}e^{\pi i\left(s(m,k)-\frac{1}{k} 2nm \right)}</math>
とおいた（ただし <math>s(m,k)</math> は [[:en:Dedekind sum|デデキント和]]）。このような和は[[:en:Kloosterman sum|クルースターマン和]]と呼ばれる。この式の微分の箇所は本質的に第一種変形[[ベッセル関数]]<math>I_{3/2}\left(\frac{\pi}{k} \sqrt{\frac{2}{3}\left(n-\frac{1}{24}\right)}\right)</math>に等しく、もう少し簡単な形に直せる<ref>{{Cite web |title=WolframAlpha |url=http://www.wolframalpha.com/input/?i=d%2Fdn+%28%281%2F%28sqrt%28n-%281%2F24%29%29%29*sinh%28pi%2Fk*sqrt%28%282%2F3%29*%28n-%281%2F24%29%29%29%29%29 |accessdate=2011-08-21}}</ref>。ここで、記号 (''m'', ''n'') = 1 は ''m'' の値として ''n'' と[[互いに素 (整数論)|互いに素]]であるものだけを考えることを意味する。ラーデマッハーの公式の証明は[[フォード円]]、[[ファレイ数列]]、[[モジュラー群|モジュラー対称性]]および[[デデキントのイータ関数]]などを主に使ってなされる。

2011年1月、小野と[[ダルムシュタット工科大学]]のジャン・ヘンドリック・ブルーニエは、任意の自然数 ''n'' に対する ''p''(''n'') を決定する有限で代数的な公式を得たと発表した<ref>http://www.aimath.org/news/partition/</ref><ref>Bruinier and Ono, [http://arxiv.org/abs/1104.1182v1/ "Algebraic formulas for the coefficients of half-integral weight harmonic weak Maass forms"]</ref>。

分割数は ''n'' の「五角数分割」上の和として表すことができる。
:<math>n = k_1 + 2k_2 + 5k_5 + \cdots = \sum_m q_m k_{q_m}</math>
を ''n'' の五角数分割とする。ここに各 ''q{{sub|m}}'' = ''m''(3''m'' &minus; 1)/2 は一般五角数（GPN, 数列 {{OEIS2C|A001318}}）で ''q{{sub|M}}'' は ''n'' を超えない最大の GPN である。故に<ref>J. Malenfant, [http://arxiv.org/abs/1103.1585/ "Finite, Closed-form Expressions for the Partition Function and for Euler, Bernoulli, and Stirling Numbers"].</ref>
:<math>p(n) = \sum_{k_1 =0}^n \sum_{k_2 =0}^{\lfloor n/2 \rfloor} \sum_{k_5 =0}^{\lfloor n/5 \rfloor} \cdots \sum_{k_{q_M} =0}^{\lfloor n/q_M \rfloor} (-1)^A \left( \begin{array}{c}
K \\
k_1, k_2, k_5, \ldots ,k_{q_M}
\end{array} \right) \delta_{n, \sum q_m k_{q_m}},</math>
を得る。ここで
:<math>\begin{align}
K & = k_1 + k_2 + k_5 + k_7 + \cdots, \\
A & = k_5 + k_7 + k_{22} + k_{26} + \cdots = \sum_{m= \pm 2, \pm 4, \ldots} k_{q_m},
\end{align}</math>
および
:<math>\left( \begin{array}{c}
K \\
k_1, \ldots , k_n
\end{array} \right) \equiv \frac{K!}{k_1! \cdots k_n!} ~ \delta_{K,k_1+ \cdots + k_n}</math>
は[[多項係数]]である。''p''(''n'') に対する和の項の数は数列 {{OEIS2C|A095699}} で与えられる。例えば 8 = 7+1 = 5+2+1 = 5+1+1+1 = 2+2+2+2 = … だから
:<math>\begin{align}
p(8) &= - \left( \begin{array}{c}
2 \\
1,0,0,1
\end{array} \right) - \left( \begin{array}{c}
3 \\
1,1,1,0
\end{array} \right) - \left( \begin{array}{c}
4 \\
3,0,1,0
\end{array} \right) + \left( \begin{array}{c}
4 \\
0,4,0,0
\end{array} \right) \\
  & ~~~ + \left( \begin{array}{c}
5 \\
2,3,0,0
\end{array} \right) + \left( \begin{array}{c}
6 \\
4,2,0,0
\end{array} \right) + \left( \begin{array}{c}
7 \\
6,1,0,0
\end{array} \right) + \left( \begin{array}{c}
8 \\
8,0,0,0
\end{array} \right) \\
  &= -2 - 6 - 4 + 1 + 10 + 15 + 7 + 1 = 22
\end{align}</math>
となる。

=== 行列式公式 ===
各自然数 ''n'' に対して ''p''(''n'') は次の式で求められる。
:<math>\begin{matrix}
{\rm GPN's} \\
0\\
1\\
2\\
~\\
~\\
5\\
~\\
7\\
~\\
~\\
\vdots\\
~\\
~
\end{matrix} ~~~
p(n) = \begin{vmatrix}
~~1 &-1~ &~ &~ &~ &~ &~ &~ \\
~~1 &~1 &-1~ &~ \\
~~0 &~1 &~1 &-1~ &~ \\
~~0 &~0 &~1 &~1 &-1~ &~ \\
-1 &~0 &~0 &~1 &~1 &-1~ &~ \\
~~0 &-1~ &~0 &~0 &~1 &~1 &-1~&~ \\
-1 &~0 &-1~ &~0 &~0 &~1 &~1 &-1~&~ \\
~~0 &-1~ &~0 &-1~ &~0 &~0 &~1 &~1 &-1~&~ \\
~~0 &~0 &-1~ &~0 &-1~ &~0 & ~0 &~1 &~1 &~ \\
~~\vdots &~ &~ &~ &~ &~ &~ &~ &~ &\ddots \\
\end{vmatrix}_{ n \times n} .</math>
つまり、''p''(''n'') は上記無限次元[[テープリッツ行列]]を ''n'' × ''n'' で止めた正方行列の[[行列式]]である。この行列の零でない成分は、一般五角数 ''q{{sub|m}}'' 番目の行の先頭から斜め (diagonal) に配置され（主対角線の1つ上側の成分 (superdiagonel) は仮想的に 0 番目の行からと考える）、その値が (&minus;1){{sup|''m''+1}} となっている。この行列式公式は、次の行列の間の関係式

:<math>\begin{pmatrix}
~p(0) &~ \\
~p(1) &p(0) &~ \\
~p(2) &p(1) &p(0) &~ \\
~p(3) &p(2) &p(1) &p(0) &~ \\
~p(4) &p(3) &p(2) &p(1) &p(0) &~ \\
~p(5) &p(4) &p(3) &p(2) &p(1) &p(0) &~ \\
~ \vdots &~ &~ &~ &~ &~ &\ddots
\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
~1 &~ \\
-1 &~1 &~ \\
-1 &-1 &~1 &~ \\
~0 &-1 &-1 &~1 &~ \\
~0 &~0 &-1 &-1 &~1 &~ \\
~1 &~0 & ~0 &-1 &-1 &~1 &~ \\
~\vdots &~ &~ &~ &~ &~ &\ddots
\end{pmatrix}^{-1}</math>
に同値なのだが、この関係式自体は単に上述の母函数の間の関係式（と五角数定理）を行列の形にまとめたものである。

ラマヌジャンの公式<ref>Berndt and Ono, "Ramanujan's Unpublished Manuscript on the Partition and Tau Functions with Proofs and Commentary" {{Cite web|和書|url=http://www.math.wisc.edu/~ono/reprints/044.pdf |title=アーカイブされたコピー |accessdate=2011-03-20 |archiveurl=https://web.archive.org/web/20110927023150/http://www.math.wisc.edu/~ono/reprints/044.pdf |archivedate=2011-09-27 |url-status=dead|url-status-date=2017-09 }}</ref>
:<math>\sum_{k=0}^{\infty} p(5k+4)x^k = 5\,\frac{(x^5)^5_{\infty}}{(x)^6_{\infty}} ,\quad (x)_{\infty} \equiv \prod_{m=1}^{\infty}(1-x^m)</math>
を使えば、分割数 ''p''(5''k'' &minus; 1) はより小さな ''k''次行列の行列式
:<math>p(5k-1) = 5 \cdot\begin{vmatrix}
~1 &~ &~ &~ &~ &~ &~ &~1~ \\
-6 &~1 &~ &~ &~ &~ &~ &~0~ \\
~9 &-6 &~1 &~ &~ &~ &~ &~0~ \\
~10 &~9 &-6 &~1 &~ &~ &~ &~ 0~ \\
-30 &~10 &~9 &-6 &~1 &~ &~ &~ 0~ \\
~0 &-30 &~10 &~9 &-6 &~1 &~ &- 5~ \\
~11 &~0 &-30 &~10 &~9 &-6 &~ &~ 0~\\
~ \vdots &~ &~ &~ &~ &~ &~\ddots &~\vdots~
\end{vmatrix}_{k \times k}</math>
として表すことができる。第一列の成分のなす数列は {{OEIS2C|A000729}} であり、最終列の（最初の 1 から）五つ毎に現れる非零成分のなす数列 (1, &minus;5, 5, 10, &minus;15, &minus;6, …) は、数列 {{OEIS2C|A000728}} になっている（最終列はそれ以外の成分は全て零である）。例えば
:<math>p(29) = 5 \cdot\begin{vmatrix}
~1 &~ &~ &~ &~ &~1~ \\
-6 &~1 &~ &~ &~ &~0~ \\
~9 &-6 &~1 &~ &~ &~0~ \\
~10 & ~9 &-6 &~1 &~ &~0~ \\
-30 &~10 &~9 &-6 &~1 &~0~ \\
0 &-30 &~10 &~9 &-6 &-5~
\end{vmatrix}= 4565.</math>
同様のやり方で、残り二つのラマヌジャンの公式を使えば、分割数 ''p''(7''k'' &minus; 2) および ''p''(25''k'' &minus; 1) も ''k''-次の行列式
:<math>\begin{align}
p(7k-2) &= 7 \cdot\begin{vmatrix}
~1 &~ &~ &~ &1~ \\
-8 &~1 &~ &~ &3~ \\
~20 &-8 &~1 &~ &2~ \\
~0 &~20 &-8 &~ &8~ \\
~\vdots &~ &~ &\ddots &\vdots~
\end{vmatrix}_{k\times k},\\
p(25k-1) &= 25 \cdot\begin{vmatrix}
~1 &~ &~ &~ &63~ \\
-31 &~1 &~ &~ &4988~ \\
~434 &-31 &~1 &~ &95751~ \\
-3565 &~434 &-31 &~ &766014~ \\
~ \vdots &~ &~ &\ddots &\vdots~
\end{vmatrix}_{k\times k}
\end{align}</math>

と表すことができる。これらの行列の最初の列はそれぞれ {{OEIS2C|A000731}} および {{OEIS2C|A010836}} であり、最終列は次の展開
:<math>\begin{align}
(x)^4_{\infty} (x^7)^3_{\infty} +7x(x^7)^7_{\infty} &= 1 +3x+2x^2+8x^3 + \cdots ;\\& \\
63(x)^{24}_{\infty}(x^5)^6_{\infty} + 5^3 \cdot 52x(x)^{18}_{\infty}(x^5)^{12}_{\infty}
  &+ 5^5 \cdot 63x^2(x)^{12}_{\infty}(x^5)^{18}_{\infty} \\
+~ 5^8 \cdot 6x^3(x)^6_{\infty}(x^5)^{24}_{\infty} &+ 5^{10} \cdot x^4 (x^5)^{30}_{\infty} \\
  &= 63+4988x +95751x^2 +766014x^3 + \cdots
\end{align}</math>

から得られる。例えば ''p''(149) は
:<math>p(149) = 25 \cdot \begin{vmatrix}
~1 &~ &~ &~ &~ &~63~ \\
-31 &~1 &~ &~ &~ &~4988~ \\
~434 &-31 &~1 &~ &~ &~95751~ \\
-3565 &~434 &-31 &~1 &~ & ~766014~ \\
~18445 &-3565 &~434 &-31 &~1 &~3323665~ \\
-57505 &~18445 &-3565 &~434 &-31 &~8359848~ \\
\end{vmatrix} = 37027355200</math>

で計算できる。また、分割数の第 ''n''-部分和は行列式
:<math>\sum_{k=0}^n p(k) = \begin{vmatrix}
~2 &-1 &~ \\
~0 &~2 &-1 &~ \\
-1 &~0 &~2 &-1 &~ \\
~0 &-1 &~0 &~2 &-1 &~ \\
-1 &~0 &-1 &~0 &~2 &-1 &~ \\
~1 &-1 &~0 &-1 &~0 &~2 &-1 &~ \\
~\vdots &~ &~ &~ &~ &~ & \ddots &\ddots &~ \\
c_{n-1} &c_{n-2} &~ & \cdots &~ &~ &~ &~2 &-1 &~ \\
c_n & c_{n-1} &~ &\cdots &~ &~ &~ &~0 &~2 &~
\end{vmatrix}_{n \times n}</math>

で与えられる。ただし、''c''{{sub|0}} = &minus;1, ''c''{{sub|1}} = 2, ''c''{{sub|2}} = 0 かつ ''k'' > 2 に対しては
:<math>c_k = \begin{cases}
(-1)^{m+1} &\text{if } k = q_m ,\\
(-1)^m &\text{if } k=q_m+1, \\
0 &\text{otherwise.}
\end{cases}</math>
とする。相異なる整数成分への分割の分割数を ''q''(''n'') と書けば（これは[[自然数の分割|分割]]の項に述べるように奇数成分への分割の分割数とも等しく）、
: <math>q(n) = \begin{vmatrix}
~1 &~ &~ &~ &~ &~ &~ &~ &~1~ \\
-1 &~1 &~ &~ &~ &~ &~ &~ &~0~ \\
-1 &-1 &~1&~ &~ &~ &~ &~&-1~ \\
~0 &-1 &-1 &~1 &~ &~ &~ &~ &~0~ \\
~0 &~0 &-1 &-1 &~1 &~ &~ &~ &-1~ \\
~1 &~0 &~0 &-1 &-1 &~1 &~ &~ &~0~ \\
~0 &~1 &~0 &~0 &-1 &-1 &~1 &~ &~0~ \\
~1 &~0 &~1 &~0 &~0 &-1 &-1 &~ &~0~ \\
~ \vdots &~ &~ &~ &~ &~ &~ &\ddots &~\vdots~
\end{vmatrix}_{(n+1) \times (n+1)}</math>
が成り立つ。第一列は数列 {{OEIS2C|A010815}} で、最終列は 2''q{{sub|m}}'' + 1 行目の成分が (&minus;1){{sup|''m''}} でそれ以外の成分は零である。

== 関連項目 ==
* [[自然数の分割]]
* {{仮リンク|エバンスのサンプリング公式|en|Ewens's sampling formula}} (Ewens's sampling formula)
* {{仮リンク|ファア・ディ・ブルーノの公式|en|Faà di Bruno's formula}} (Faà di Bruno's formula)
* {{仮リンク|spt函数|en|Spt function}} (Smallest-parts function)

== 脚注 ==
{{Reflist}}

== 参考文献 ==
* [[George E. Andrews]], ''The Theory of Partitions'' (1976), Cambridge University Press. '' ISBN 0-521-63766-X ''.
* [[Tom M. Apostol]], ''Modular functions and Dirichlet Series in Number Theory'' (1990), Springer-Verlag, New York. ISBN 0-387-97127-0 ''(See chapter 5 for a modern pedagogical intro to Rademacher's formula)''.
* [[Marcus du Sautoy|Sautoy, Marcus Du.]] The Music of the Primes. New York: Perennial-HarperCollins, 2003.
* [[D. H. Lehmer]], ''On the remainder and convergence of the series for the partition function'' Trans. Amer. Math. Soc. '''46'''(1939) pp 362–373. ''(Provides the main formula (no derivatives), remainder, and older form for A{{sub|k}}(n).)''
* Gupta, Gwyther, Miller, ''Roy. Soc. Math. Tables, vol 4, Tables of partitions'', (1962) ''(Has text, nearly complete bibliography, but they (and Abramowitz) missed the Selberg formula for A{{sub|k}}(n), which is in Whiteman.)''
* [[Ian G. Macdonald]], ''Symmetric functions and Hall polynomials'', [[オックスフォード大学出版局|Oxford University Press]], 1979, ISBN 0-19-853530-9 (See section I.1)
* [[Ken Ono]], ''Distribution of the partition function modulo m'', Annals of Mathematics '''151''' (2000) pp.293–307.'' (This paper proves congruences modulo every prime greater than 3)''
* [[Richard P. Stanley]], [http://www-math.mit.edu/~rstan/ec/ ''Enumerative Combinatorics'', Volumes 1 and 2]. Cambridge University Press, 1999 ISBN 0-521-56069-1
* A. L. Whiteman, [http://projecteuclid.org/Dienst/UI/1.0/Summarize/euclid.pjm/1103044252 ''A sum connected with the series for the partition function''], Pacific Journal of Math. '''6''':1 (1956) 159–176. ''(Provides the Selberg formula. The older form is the finite Fourier expansion of Selberg.)''
* [[Hans Rademacher]], ''Collected Papers of Hans Rademacher'', (1974) MIT Press; v II, p 100–107, 108–122, 460–475.
* {{Cite book |author=Mikl&oacute;s B&oacute;na |title=A Walk Through Combinatorics: An Introduction to Enumeration and Graph Theory |publisher=World Scientific Publishing |year=2002 |isbn=981-02-4900-4}} (qn elementary introduction to the topic of integer partition, including a discussion of Ferrers graphs)
* {{Cite book |author=George E. Andrews, Kimmo Eriksson |title=Integer Partitions |publisher=Cambridge University Press |year=2004 |isbn=0-521-60090-1}}
* 'A Disappearing Number', devised piece by [[Complicite]], mention Ramanujan's work on the Partition Function, 2007

== 外部リンク ==
* {{高校数学の美しい物語|888|分割数の意味と性質・ヤング図形の活躍}}
* [https://web.archive.org/web/20061110032720/http://www.btinternet.com/~se16/js/partitions.htm Partition and composition calculator]
* [http://www.numericana.com/data/partition.htm First 4096 values of the partition function]
* [http://www.numericana.com/answer/numbers.htm#partitions An algorithm to compute the partition function]
* {{MathWorld |urlname=PartitionFunctionP |title=Partition Function P}}
* [http://www.luschny.de/math/seq/CountingWithPartitions.html Counting with partitions] with reference tables to the On-Line Encyclopedia of Integer Sequences
* [http://search.cpan.org/perldoc?Integer::Partition Integer::Partition Perl module] from [[CPAN]]
* Amanda Folsom, Zachary A. Kent, and Ken Ono, [http://www.aimath.org/news/partition/folsom-kent-ono.pdf ''l''-adic properties of the partition function]. In press.
* Jan Hendrik Bruinier and Ken Ono, [http://www.aimath.org/news/partition/brunier-ono.pdf An algebraic formula for the partition function]. In press.
* {{Archive.today|url=http://homepage2.nifty.com/hiranouchi/seminar/040430.pdf |title=保型形式の2進的性質について|date=20110101000000}} 田口雄一郎(九大数理) 整数論セミナー

{{DEFAULTSORT:ふんかつすう}}
[[Category:数論]]
[[Category:組合せ論]]
[[Category:整数論的関数]]
[[Category:整数の類]]
[[Category:数学に関する記事]]