分岐 (数学)のソースを表示

<!--{{Otheruses4|mathematics|ramifications in plants|ramification (botany)|the ramification problem in AI and philosophy|Ramification problem|[[Bertrand Russell]]'s Ramified Theory of Types|Type Theory}}-->
{{要改訳}}
[[画像:Schematic depiction of ramification.svg|right|thumb|320px|系統的に分岐を図示：Y 上のほとんど全ての点のファイバーは、3個の点から構成される。しかし例外は、Y のドットでマークした 2か所の点では、ファイバーがそれぞれ 1つと 2つの点からなる。写像 f は Y のこれらの点で分岐するといわれる。]]
数学における'''分岐''' (ramification) とは、例えば[[多価関数]]としての[[平方根]]が零点から符号の異なる二つの枝に分かれているような意味で、「枝分かれ」することをいう。またその逆に、例えばある点で[[退化 (数学)|退化]]しているような[[被覆空間|被覆写像]]により複数のファイバーが合流するような場合も（逆の視点から見れば枝分かれしているので）分岐という。

==複素解析==
[[複素解析]]では、基本モデルとして、z = 0 の回りの複素平面を写像する z <math>\to</math> z<sup>n</sup> を取ることができる。これは指数 n の分岐の[[リーマン面]]上の標準的な局所描像である。例えば、[[種数]]についての写像の有効性についての[[リーマン・フルヴィッツの公式]]で、このようなことが起きる。[[分岐点 (数学)]]も参照。

==代数トポロジー==

被覆写像で、[[オイラー標数|オイラー・ポアンカレ標数]]は、シートの枚数をかけねばならなく、従って、分岐はかけることにより、落ちてしまうものを見つけねばならない。z <math>\to</math> z<sup>''n''</sup> 写像は、局所パターンとしてこれを示している。0 を除外し、言わば 0 < |z| < 1 で見てみると、（[[ホモトピー]]の観点より、）n-乗写像はオイラー標数が 0 の[[円 (数学)|円]]を円自身へ写すし、オイラー標数 1 の[[円板]]も写すが、z = 0 で互いに合流する n 毎のシートとして n – 1 個の点は失われてしまう。

幾何学的な項では、分岐は'''余次元 2'''（[[結び目理論]]のように）や[[モノドロミー]]を起こす。'''実'''余次元 2 は'''複素'''余次元 1 であるので、局所的な複素的な例は、高次元の[[複素多様体]]のパターンを作り出す。複素解析では、シートを直線（一変数）に沿って、あるいは、一般的には余次元 1 の部分空間に沿って折り曲げて単純化することができない。分岐集合（上のベース上の分岐軌跡、二重点）は、取り囲んでいる[[多様体]]というよりも実次元が 2 次元低くなる。従って、'''2つの側'''へは分離しなく、局所的には、例の中にあるように分岐軌跡を追跡する系となる。任意の[[可換体|体]]上の[[代数幾何学]]では、この類似により、代数的な余次元 1 となる。

==代数的整数論==
=== Q の代数拡大 ===
{{see also|ガロア拡大での素イデアルの分解}}

[[代数的整数論]]での分岐は、ある素イデアルへの素数の繰り返しの分解を意味する。R を[[代数体]] K の[[整数環]]とし、P を R の[[素イデアル]]とする。各々の K の体の拡大 L に対し、L の中の T の[[整閉包]] S と S のイデアル PS とを考えることができる。PS は素であるかどうか分からないが、[L:K] を有限とすると、素イデアルの積
:P<sub>1</sub><sup>e(1)</sup> ⋯ P<sub>k</sub><sup>e(k)</sup> 
となる。ここに P<sub>i</sub> はそれぞれ S の異なる素イデアルである。すると P が L で'''分岐'''しているとは、ある i に対して e(i) > 1 であるときとを言う。言い換えると、P が L で分岐するとは、'''分岐指数''' e(i) が 1 より大きな P<sub>i</sub> が存在することを言う。全ての i に対して、e(i) = 1 の場合を'''{{visible anchor|不分岐}}'''と言う。同値な条件としては、S/PS が零でない[[冪零元]]を持つことである。べき零元は[[有限体]]の積ではない。リーマン面との類似は、19世紀に既に[[リヒャルト・デーデキント]] (Richard Dedekind) と{{仮リンク|ハインリッヒ・ウェーバー|en|Heinrich M. Weber}} (Heinrich M. Weber) が指摘していた。

分岐は、{{仮リンク|相対判別式|en|relative discriminant}}(relative discriminant)により K にエンコードされ、{{仮リンク|差イデアル|label=相対差イデアル|en|relative different}}(relative different)により L にエンコードされる。相対判別式は K の整数環のイデアルであり、P で割りきれることと、P を割る S のイデアル P<sub>i</sub> が存在し分岐することをは同値である。相対差イデアルは L の整数環のイデアルであり、P<sub>i</sub> が分岐するとき、S の素イデアル P<sub>i</sub> で割り切れる。

分岐指数 e(i) が全て P の標数 p と互いに素であるときを、分岐が'''順''' (tame) と言い、そうでない場合を'''激''' (wild) と言う。この条件は[[ガロア加群]]の理論に重要である。[[デデキント整域]]の有限生成なエタール拡大 B/A が順であることと、トレース Tr: B &rarr; A が全射であることとは同値である。

===局所体===
{{main|{{仮リンク|局所体の分岐|en|Ramification of local fields}}}}

数体での分岐のさらに詳しい分析は、局所的な問題であるので、[[p-進数]]の拡大を使い進めることができる。局所的な場合には、基本的にはどのくらい[[ガロア群]]が計量から動くかを問うことで、分岐を測る量が[[ガロア拡大]]に対して定義される。[[分岐群 (数学)]]の列が定義され、とりわけ、'''暴''' (wild) 分岐が具体化される。つまり、幾何学的な類似を超えた意味を持っている。

==代数学==
{{main|{{仮リンク|付値の分岐理論|en|Ramification theory of valuations}}}}
[[付値|付値論]]では、{{仮リンク|付値の分岐理論|en|Ramification theory of valuations}}で、[[可換体|体]] K の[[体の拡大|拡大体]]への付値の{{仮リンク|付値の拡大|label=拡大|en|extension of a valuation}}の集合を研究する。このことが代数的数論、局所体、デデキント整域での概念へ一般化される。

==代数幾何学==
代数幾何学では以下に定義する'''不分岐射'''(unramified morphism)の考え方があり、[[エタール射]]を定義するために役立つ。<ref>事実、有限型スキーム X, Y の射 f: X → Y が (i) エタール射であることと、(ii) f が平坦でかつ相対微分 <math>\Omega_{X/Y}=0</math> であること、(iii) f が平坦かつ不分岐であることの 3つは同値である。スキームの射が、滑らかでかつ相対次元が 0 であることをエタールと言うのであるが、この同値性により不分岐を定義として使用することができる。</ref>

:スキーム <math> Y </math> の中の点 <math> y </math> に対し、対応する局所環の射
::<math>f^\# \colon \mathcal{O}_{X, f(y)} \to \mathcal{O}_{Y, y}</math>
:を考える。<math> \mathfrak{m} </math> を <math> \mathcal{O}_{X,f(y)} </math> の極大イデアルとし、
:: <math>\mathfrak{n} = f^\#(\mathfrak{m}) \mathcal{O}_{Y,y}</math>
:を <math>\mathcal{O}_{Y,y} </math> の中の <math> \mathfrak{m} </math> の像により生成されたイデアルとする。射 <math> f </math> が'''不分岐'''とは、局所的に有限型で、かつ、<math> Y </math> のすべての <math> y </math> に対し、<math> \mathfrak{n} </math> が <math> \mathcal{O}_{Y,y} </math> の極大イデアルであり、誘導された写像
::<math>\mathcal{O}_{X,f(y)}/\mathfrak{m} \to \mathcal{O}_{Y,y}/\mathfrak{n} </math>
:が[[体の拡大#定義|有限次拡大]]で[[ガロア拡大#ガロア拡大の特徴づけ|分離拡大]]である場合を言う。この考え方は、[[代数的整数論]]での[[#不分岐|不分岐拡大]]の幾何学バージョン（一般化）である。

<math>f: X \to Y</math> をスキームの射とする。準連接層 <math>\Omega_{X/Y}</math> の台（サポート）を <math>f</math> の'''分岐軌跡'''(ramification locus)と呼び、分岐軌跡の像 <math>f\left( \mathrm{Supp} \Omega_{X/Y} \right)</math> を <math>f</math> の'''ブランチ軌跡'''(branch locus)と呼ぶ。<math>\Omega_{X/Y}=0</math> であれば、<math>f</math> は'''形式的に不分岐'''(formally unramified)と言い、<math>f</math> も局所有限表現であれば、<math>f</math> は'''不分岐'''であるという[ヴァキル (Vakil) のノートを参照]。

== 脚注 ==
{{脚注ヘルプ}}
{{Reflist}}

== 関連項目 ==
* [[アイゼンシュタインの既約判定法|アイゼンシュタイン多項式]]
* {{仮リンク|ニュートン多面体|en|Newton polygon}}
* {{仮リンク|ピュイズー展開|en|Puiseux expansion}}
* [[分岐被覆]]

==参考文献==
* {{Neukirch ANT}}
* Vakil, Ravi, "Foundations of Algebraic Geometry", Lecture Notes, http://math.stanford.edu/~vakil/216blog/

== 外部リンク ==
* {{planetmath_reference|id=2868|title=Ramification in number fields}}

{{デフォルトソート:ふんき (すうかく)}}
[[Category:代数的整数論]]
[[Category:代数的位相幾何学]]
[[Category:複素解析]]
[[Category:数学に関する記事]]