分数次フーリエ変換のソースを表示

{{翻訳直後|[[:en:Special:Permalink/728805159|en:Fractional Fourier transform]]|date=2016年7月}}

[[数学]]の[[調和解析]]の分野において、'''分数次フーリエ変換'''（分数階フーリエ変換とも、{{Lang-en-short|'''fractional Fourier transform'''}}, '''FRFT'''）とは、[[フーリエ変換]]を一般化した一群の[[線型写像|線形変換]]をいい、フーリエ変換の次数が[[整数]]でなくなったものと考えることができる。従って、関数を[[時間]]領域と[[周波数]]領域の「中間」領域に変換することができる。FRFTは、{{仮リンク|フィルター設計|en|Filter design}}や[[信号処理|信号解析]]、{{仮リンク|位相回復|en|Phase retrieval}}や[[パターン認識]]などに応用される。

FRFTは、分数次の[[畳み込み]]、[[相関関数]]、その他の操作の定義に使うことができ、さらに{{仮リンク|線形正準変換|en|Linear canonical transformation}}へと一般化できる。 FRFTの初期の定義は{{仮リンク|エドワード・コンドン|en|Edward Condon}}により導入された<ref>{{cite journal | journal = Proc Natl Acad Sci U S A | issn = 0027-8424 | volume = 23 | issue = 3 | title = Immersion of the Fourier Transform in a Continuous Group of Functional Transformations | first1 = E. U. | last1 = Condon | pmc=1076889 | date = Mar 1937 | pages = 158–164 | ref = harv}}</ref>。この定義は位相空間における回転のグリーン関数を解くことによるものだった。また、[[ノーバート・ウィーナー|ウィーナー]]の[[エルミート多項式]]についての仕事<ref>{{cite journal | journal = Journal of Mathematics and Physics | issn = 1467-9590 | volume = 8 | issue = 1-4 | title = Hermitian Polynomials and Fourier Analysis | first1 = Norbert | last1 = Wiener | url = https://doi.org/10.1002/sapm19298170 | year = 1929 | pages = 70–73 | doi = 10.1002/sapm19298170 | ref = harv}}</ref>を一般化することによる、ナミアスにより導入された定義も存在する<ref>{{cite journal|year=1980|title=The Fractional Order Fourier Transform and its Application to Quantum Mechanics|url=http://imamat.oxfordjournals.org/content/25/3/241.abstract|journal=IMA Journal of Applied Mathematics|volume=25|issue=3|pages=241–265|ref=harv|first1=VICTOR|last1=Namias|doi=10.1093/imamat/25.3.241}}</ref>。

しかし、[[信号処理]]の分野において広く認知されるようになったのは、[[1993年]]前後にいくつかのグループにより独立に再導入されてからであった<ref>{{cite journal | journal = IEEE Transactions on Signal Processing | issn = 1053-587X | volume = 42 | issue = 11 | title = The fractional Fourier transform and time-frequency representations | first1 = L. B. | last1 = Almeida | date = Nov 1994 | pages = 3084–3091 | doi = 10.1109/78.330368 | ref = harv}}</ref>。その時から、分数次フーリエ領域に帯域制限された信号に[[クロード・シャノン|シャノン]]の[[標本化定理]]を拡張するという興味が巻き起こった<ref>{{cite journal | journal = IEEE Transactions on Signal Processing | issn = 1053-587X | volume = 56 | issue = 1 | title = Sampling and Sampling Rate Conversion of Band Limited Signals in the Fractional Fourier Transform Domain | first1 = R. | last1 = Tao | first2 = B. | last2 = Deng | first3 = W. Q. | last3 = Zhang | first4 = Y. | last4 = Wang | date = Jan 2008 | pages = 158–171 | doi = 10.1109/TSP.2007.901666 | ref = harv}}</ref><ref>{{cite journal | journal = IEEE Signal Processing Letters | issn = 1070-9908 | volume = 17 | issue = 3 | title = Sampling and Reconstruction of Sparse Signals in Fractional Fourier Domain | first1 = A. | last1 = Bhandari | first2 = P. | last2 = Marziliano | date = Mar 2010 | pages = 221–224 | doi = 10.1109/LSP.2009.2035242 | ref = harv}}</ref>。

全く異なる「分数次フーリエ変換」の意味がベイリーとシュヴァルツトラウバーにより<ref>{{cite journal|year=1991|title=The Fractional Fourier Transform and Applications|url=https://doi.org/10.1137/1033097|journal=SIAM Review|volume=33|issue=3|pages=389–404|ref=harv|first1=David H.|last1=Bailey|first2=Paul N.|last2=Swarztrauber|doi=10.1137/1033097}}  </ref>、本質的には[[z変換]]の別名として、特に[[離散フーリエ変換]]を周波数空間で分数量だけシフトして（入力に線形[[チャープ信号|チャープ]]を乗じて）一部の周波数点（スペクトルの一部分だけ）において評価したものに相当する変換を指す用語として導入された（このような変換は{{仮リンク|ブルーシュタインのFFTアルゴリズム|en|Bluestein's FFT algorithm}}により効率的に評価することができる）。しかし、この用語はほとんどの技術的文献では使われなくなり、FRFTに取ってかわられた。以降ではFRFTについて説明する。

== 導入 ==
関数 {{Math|ƒ: '''R''' → '''C'''}} に対する連続[[フーリエ変換]] <math>\mathcal{F}</math> は {{Math|[[自乗可積分函数|''L''<sup>2</sup>]]}} 上の[[ユニタリ作用素]]であり、関数 {{mvar|ƒ}} をその周波数版 {{Math|{{hat|''ƒ̂''}}}} に変換する。
: <math>\hat{f}(\xi) = \int_{-\infty}^{\infty} f(x)\ e^{- 2\pi i x \xi}\,\mathrm{d}x</math>&nbsp; ここで {{Mvar|ξ}} は全ての[[実数]]とする。
逆に、{{mvar|ƒ}} は {{Math|{{hat|''ƒ̂''}}}} から逆変換 <math>\mathcal{F}^{-1}</math> により得られる。
: <math>f(x) = \int_{-\infty}^{\infty} \hat{f}(\xi)\ e^{2 \pi i \xi x}\,\mathrm{d}\xi, </math> &nbsp; ここで {{Mvar|x}} は全ての実数とする。<br>
ここで、{{Mvar|n}} 回[[反復合成写像|反復]]された <math>\mathcal{F}^{n}</math> を <math>\mathcal{F}^{n}[f] = \mathcal{F}[\mathcal{F}^{n-1}[f]]</math>、{{Mvar|n}} が非負整数のとき <math>\mathcal{F}^{-n} = (\mathcal{F}^{-1})^n</math>、および <math>\mathcal{F}^{0}[f] = f</math> により定義し、考察することとする。<math>\mathcal{F}</math> は周期4の[[自己同型]]、つまり全ての関数 {{mvar|ƒ}} について <math>\mathcal{F}^4 [f] = f</math> であるから、この列は有限である。

より正確には、時間を反転させる'''パリティ作用素''' <math>\mathcal{P}[f]\colon t \mapsto f(-t)</math> を導入すると、次の性質が成り立つ。
:<math>\mathcal{F}^0 = \mathrm{Id}, \qquad \mathcal{F}^1 = \mathcal{F}, \qquad \mathcal{F}^2 = \mathcal{P}, \qquad \mathcal{F}^4 = \mathrm{Id}</math>
:<math>\mathcal{F}^3 = \mathcal{F}^{-1} = \mathcal{P} \circ \mathcal{F} = \mathcal{F} \circ \mathcal{P}</math>

FrFTは、ここに定義される一連の線形変換をさらに拡張し、フーリエ変換の非整数次 {{Math|''n''  {{=}} 2''α''/''π''}} 次の羃を扱えるようにするものである。

== 定義 ==
任意の[[実数]] {{mvar|α}} に対して、関数 {{mvar|ƒ}} の {{mvar|α}}-角分数次フーリエ変換を <math>\mathcal{F}_\alpha (u)</math> と表記することにし、次のように定義する。
{{Equation box 1
|indent =::
|equation =  
<math>\mathcal{F}_\alpha[f](u) = 
\sqrt{1-i\cot(\alpha)} e^{i \pi \cot(\alpha) u^2} 
\int_{-\infty}^\infty 
e^{-i2\pi \left(\csc(\alpha) u x - \frac{\cot(\alpha)}{2} x^2\right)}
f(x)\, \mathrm{d}x
</math>
|cellpadding= 6
|border
|border colour = #0073CF
|bgcolor=#F9FFF7}}
（平方根は結果の引数が区間 <math>[-\pi/2, \pi/2]</math> となるように定義する。）

{{mvar|α}} が {{mvar|π}} の整数倍のとき、上式の[[三角関数|余接関数]]と[[三角関数|余割関数]]は発散するが、極限を取ることによりこれを扱うことができ、結果として非積分関数に[[ディラックのデルタ関数]]が表われる。より直接的には、 <math>\mathcal{F}^2(f)=f(-t)</math> であるから、 <math>\mathcal{F}_\alpha(f)</math> は {{mvar|α}} が {{Mvar|π}} の偶数倍または奇数倍のとき、それぞれ {{Math|''f''(''t'')}} または {{Math|''f''(−''t'')}} を与える。

{{Math|''α'' {{=}} ''π''/2}} のとき、これは連続フーリエ変換の定義と一致し、{{Math|''α'' {{=}} −''π''/2}} の場合は連続フーリエ逆変換の定義と一致する。

FRFT後の関数の引数 {{mvar|u}} は空間的な引数 {{mvar|x}} でも周波数的な引数 {{Mvar|ξ}} でもない。これをこれら二つの座標 {{Math|(''x'',''ξ'')}} の線形結合と考えることができる理由を見ていこう。{{mvar|α}}-角分数領域を区別するために、{{math|''x''<sub>a</sub>}} を <math>\mathcal{F}_\alpha</math> の引数とすることにする。

'''備考:''' 周波数ではなく角周波数 {{Mvar|ω}} を使うコンベンションでは、FrFT 公式は{{仮リンク|メーラー核|en|Mehler kernel}}となる。
: <math>\mathcal{F}_\alpha(f)(\omega) = 
\sqrt{\frac{1-i\cot(\alpha)}{2\pi}} 
e^{i \cot(\alpha) \omega^2/2} 
\int_{-\infty}^\infty 
e^{-i\csc(\alpha) \omega t + i \cot(\alpha) t^2/2}
f(t)\, dt~. 
</math>

=== 性質 ===
{{Math|''α''}}-次の分数次フーリエ変換演算子 <math>\mathcal{F}_\alpha</math> は次のような性質を持つ。
* '''加法性''': 任意の実数角 {{Math|''α, β''}} について、
:: <math>\mathcal{F}_{\alpha+\beta} = \mathcal{F}_\alpha \circ \mathcal{F}_\beta = \mathcal{F}_\beta \circ \mathcal{F}_\alpha</math>
* '''線形性''':
:: <math>\mathcal{F}_\alpha \left [\sum\nolimits_k b_kf_k(u)  \right ]=\sum\nolimits_k b_k\mathcal{F}_\alpha \left [f_k(u) \right ]</math>
* '''整数次''': {{Math|''α''}} が <math>\pi / 2</math> の整数倍のとき、
:: <math>\mathcal{F}_\alpha = \mathcal{F}_{\frac{k\pi}{2}} = \mathcal{F}^k = (\mathcal{F})^k</math>
: さらに言えば、次のような関係もある。
:: <math>\begin{align}
\mathcal{F}^2 &= \mathcal{P} && \mathcal{P}[f(u)]=f(-u)\\
\mathcal{F}^3 &= \mathcal{F}^{-1} = (\mathcal{F})^{-1} \\ 
\mathcal{F}^4 &= \mathcal{F}^0 = \mathcal{I} \\
\mathcal{F}^i &= \mathcal{F}^j && i \equiv j \mod 4
\end{align}</math>
* '''逆変換''':
:: <math>(\mathcal{F}_\alpha)^{-1}=\mathcal{F}_{-\alpha}</math>
* '''[[交換法則|可換性]]''':
:: <math>\mathcal{F}_{\alpha_1}\mathcal{F}_{\alpha_2}=\mathcal{F}_{\alpha_2}\mathcal{F}_{\alpha_1}</math>
* ''' [[結合法則]]'''
:: <math> \left (\mathcal{F}_{\alpha_1}\mathcal{F}_{\alpha_2} \right )\mathcal{F}_{\alpha_3} = \mathcal{F}_{\alpha_1} \left (\mathcal{F}_{\alpha_2}\mathcal{F}_{\alpha_3} \right )</math>
* '''[[パーセバルの定理]]''':
:: <math>\int f^*(u)g(u)du=\int f_\alpha^*(u)g_\alpha(u)du</math>
: この性質はユニタリ性と類似している。エネルギーもしくはノルム保存が特殊例である。
* '''時間反転''':
:: <math>\mathcal{F}_\alpha\mathcal{P}=\mathcal{P}\mathcal{F}_\alpha</math>
:: <math>\mathcal{F}_\alpha[f(-u)]=f_\alpha(-u)</math>
* '''シフトされた関数の変換''':
: シフト演算子と位相シフト演算子をそれぞれ以下のように定義する。
:: <math>\mathcal{SH}(u_0)[f(u)]=f(u+u_0)</math>
:: <math>\mathcal{PH}(v_0)[f(u)]=e^{j2\pi v_0u}f(u)</math>
: すると、
:: <math>\begin{align}
\mathcal{F}_\alpha \mathcal{SH}(u_0) &= e^{j\pi u_0^2 \sin\alpha \cos\alpha} \mathcal{PH}(u_0\sin\alpha) \mathcal{SH}(u_0\cos\alpha) F_\alpha \\
\mathcal{F}_\alpha [f(u+u_0)] &=e^{j\pi u_0^2 \sin\alpha \cos\alpha}  e^{j2\pi uu_0 \sin\alpha} f_\alpha (u+u_0 \cos\alpha)
\end{align}</math>
* '''スケールされた関数の変換'''
: スケーリング演算子およびチャープ乗算演算子以下のように定義する。
:: <math>M(M)[f(u)]=|M|^{-\frac{1}{2}} f \left (\tfrac{u}{M} \right) </math>
:: <math>Q(q)[f(u)]=e^{-j\pi qu^2 } f(u)</math>
: すると、以下が成り立つ。 
:: <math>\begin{align}
\mathcal{F}_\alpha  M(M) &= Q \left (-\cot \left (\frac{1-\cos^2 \alpha'}{\cos^2 \alpha}\alpha \right ) \right)\times M \left (\frac{\sin \alpha}{M\sin \alpha'} \right )\mathcal{F}_{\alpha'} \\ [6pt]
\mathcal{F}_\alpha \left [|M|^{-\frac{1}{2}} f \left (\tfrac{u}{M} \right)  \right ] &= \sqrt{\frac{1-j \cot\alpha}{1-jM^2  \cot\alpha}} e^{j\pi u^2\cot \left (\frac{1-\cos^2 \alpha'}{\cos^2 \alpha}\alpha \right )} \times f_a \left (\frac{Mu \sin\alpha'}{\sin\alpha} \right )
\end{align}</math>
: <math>f(u/M)</math> の分数次フーリエ変換は <math>f_\alpha (u)</math> をスケールしたものにはならないということに注意が必要である。むしろ、 {{Math|''α'' &ne; ''α''&prime;}} のときは <math>f(u/M)</math> の分数次フーリエ変換は <math>f_\alpha'(u)</math> をスケールおよびチャープ変調したものになる。

=== 分数次核関数 ===
FrFTは次のように[[積分変換]]として表わせる。
: <math>\mathcal{F}_\alpha f (u) = \int K_\alpha (u, x) f(x)\, \mathrm{d}x</math>
ここで、{{Mvar|α}}-角核関数はつぎのようになる。
: <math>K_\alpha (u, x) = \begin{cases}\sqrt{1-i\cot(\alpha)} \exp \left(i \pi (\cot(\alpha)(x^2+ u^2) -2 \csc(\alpha) u x) \right) & \mbox{if } \alpha \mbox{ is not a multiple of }\pi, \\
\delta (u - x) & \mbox{if } \alpha \mbox{ is a multiple of } 2\pi, \\
\delta (u + x) & \mbox{if } \alpha+\pi \mbox{ is a multiple of } 2\pi, \\
\end{cases}</math>
（二乗根は偏角が区間 <math>[-\pi/2, \pi/2]</math> に収まるように定義するものとする）

ここでも、特殊な場合は  α が π の整数倍に近付いたときの挙動と矛盾なく定義されている。

FrFTは、核関数と同じ次のような性質を持つ。
* 対称性: <math>K_\alpha (u, u') = K_\alpha (u', u)</math>
* 逆関数: <math>K_\alpha^{-1} (u, u') = K_\alpha^* (u, u') = K_{-\alpha} (u', u) </math>
* 加法性: <math>K_{\alpha+\beta} (u,u') = \int K_\alpha (u, u'') K_\beta (u'', u')\,\mathrm{d}u''.</math>

=== 関連する変換 ===
[[離散フーリエ変換]]のような類似の変換にも、分数次フーリエ変換と関連する分数次への一般化が存在する。'''離散分数次フーリエ変換'''は、{{仮リンク|Zeev Zalevsky|en|Zeev zalevsky}} による定義が、{{Harv|Candan|Kutay|Ozaktas|2000}} および {{Harv|Ozaktas|Zalevsky|Kutay|2001|loc=Chapter 6}} に見える。

分数次ウェーブレット変換 (FRWT):<ref>{{cite journal|year=2012|title=A novel fractional wavelet transform and its applications|url=https://doi.org/10.1007/s11432-011-4320-x|journal=Science China Information Sciences|volume=55|issue=6|pages=1270–1279|ref=harv|issn=1869-1919|first1=Jun|last1=Shi|first2=NaiTong|last2=Zhang|first3=XiaoPing|last3=Liu|doi=10.1007/s11432-011-4320-x}} </ref> 古典的ウェーブレット変換 (WT) の分数次フーリエ変換 (FRFT) 領域への一般化。FRWT は WT および FRFT の制限を改善するために提案された。この変換は WT からマルチ解像度解析の利点を受け継ぐだけでなく、FRFT と類似の分数次領域での信号の表現力をあわせもつ。既存の FRWT に比べて、Shi, Zhang, Liu により2012年に定義された FRWT は時間・周波数混合平面における信号表現力がある。

関連する[[フーリエ変換]]の一般化について、{{仮リンク|チャープレット変換|en|Chirplet transform}}も参照されたい。

=== 一般化 ===
フーリエ変換は本質的に[[ボース粒子|ボソン]]的である。これがうまくいくのは重ね合わせの原理との整合性のためであり、干渉パターンと関連がある。対して、[[フェルミ粒子|フェルミオン]]的フーリエ変換も存在する<ref name="xyz">{{cite journal|year=2008|title=Fourier transform and related integral transforms in superspace|url=http://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0022247X08003132|journal=Journal of Mathematical Analysis and Applications|volume=345|issue=1|pages=147–164|ref=harv|arxiv=0805.1918|issn=0022-247X|first1=H. De|last1=Bie|doi=10.1016/j.jmaa.2008.03.047}}</ref>。これらは[[超対称性|超対称]] FRFT および超対称{{仮リンク|ラドン変換|en|Radon transform|preserve=1}}に一般化できる<ref name="xyz"/>。分数次ラドン変換、{{仮リンク|シンプレクティック|en|Time-frequency analysis}} FRFT、シンプレクティック[[ウェーブレット変換]]も存在する<ref>{{cite journal|year=2009|title=Optical transformation from chirplet to fractional Fourier transformation kernel|url=https://doi.org/10.1080/09500340903033690|journal=Journal of Modern Optics|volume=56|issue=11|pages=1227–1229|ref=harv|arxiv=0902.1800|first1=Hong-yi|last1=Fan|first2=Li-yun|last2=Hu|doi=10.1080/09500340903033690}} 
</ref>。[[量子回路]]はユニタリ操作に基いているため、後者が[[関数空間]]上のユニタリ作用素である[[積分変換]]の計算に有用である。FRFTを実装する量子回路も設計されている<ref>{{cite journal|date=Jan 2003|title=Engineering functional quantum algorithms|url=http://link.aps.org/doi/10.1103/PhysRevA.67.010302|journal=Phys. Rev. A|volume=67|issue=1|pages=010302–010302|ref=harv|arxiv=quant-ph/0208130|first1=Andreas|last1=Klappenecker|first2=Martin|last2=Rötteler|doi=10.1103/PhysRevA.67.010302}}</ref>。

== 分数次フーリエ変換の解釈 ==
[[ファイル:Rect_turning_into_a_sinc.webm|サムネイル|分数次フーリエ変換の次数が 1 のとき、[[矩形関数]]は[[sinc関数]]となる。]]
フーリエ変換の通常の解釈は、時間領域信号を周波数領域信号へと変換するものである。これに対して、逆フーリエ変換の解釈は周波数領域信号を時間領域信号に変換するものである。見て分かるように、分数次フーリエ変換は（時間領域でも周波数領域でもどちらでもよい）信号を時間と周波数の間の領域の信号へと変換するもの、つまり{{仮リンク|時間・周波数領域|en|Time-frequency domain}}での回転と解釈できる。この見方は{{仮リンク|線形正準変換|en|Linear canonical transformation}}により一般化される。この変換は、分数次フーリエ変換を一般化し、時間・周波数領域における回転以外の線形変換を可能とする。

下の図を例にとろう。時間領域信号が（下のとおり）矩形の場合、周波数領域では[[sinc関数]]となる。しかし、分数次フーリエ変換を作用させた場合、矩形信号は時間と周波数の間の領域の信号が得られる。

[[Image:FracFT Rec by stevencys.jpg|thumb|center|600px]]

実際、分数次フーリエ変換は時間周波数分布上の回転操作である。上述の定義から、{{Math|1=''α'' = 0}} の場合の分数次フーリエ変換では何も変化せず、{{Math|1=α = π/2}} の場合はフーリエ変換となり、時間周波数分布を {{Math|π/2}} だけ回転させる。{{Mvar|α}} がその他の値の場合、分数次フーリエ変換は時間周波数分布を {{Mvar|α}} だけ回転させる。次の図はさまざまな&#x20;{{Mvar|α}} の値における分数次フーリエ変換の結果である。

[[Image:FracFT Rotate by stevencys.jpg|thumb|center|600px|分数次フーリエの時間・周波数分布]]

== 応用 ==
分数次フーリエ変換は時間周波数解析や [[デジタル信号処理|DSP]] に用いられることがある<ref>{{cite journal|year=2011|title=Fractional Fourier transform as a signal processing tool: An overview of recent developments|url=http://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0165168410003956|journal=Signal Processing|volume=91|issue=6|pages=1351–1369|ref=harv|issn=0165-1684|first1=Ervin|last1=Sejdić|first2=Igor|last2=Djurović|first3=LJubiša|last3=Stanković|doi=10.1016/j.sigpro.2010.10.008}} </ref>。ノイズのフィルタリングにも有用だが、ノイズと信号が時間・周波数領域において重ならないことが条件となる。次の例を考えよう。ノイズを除去したいが直接フィルタを適用することができない場合、まず分数次フーリエ変換により（ノイズを含む）信号を回転させる。すると、適切なフィルタを適用することにより欲しい信号のみを通すことができる。したがってノイズは完全に除去される。その後さらに分数次フーリエ変換を適用することにより信号を元にもどせば欲しかった信号が得られる。

分数次フーリエ変換は光学系の設計やホログラフィックストレージの効率最適化に用いられることもある<ref>{{cite journal|date=Jul 2011|title=Optimizing holographic data storage using a fractional Fourier transform|url=http://ol.osa.org/abstract.cfm?URI=ol-36-13-2551|journal=Opt. Lett.|volume=36|issue=13|page=|pages=2551–2553|ref=harv|first1=Nicolas C.|last1=Pégard|first2=Jason W.|last2=Fleischer|doi=10.1364/OL.36.002551}} </ref>。

したがって、時間領域における打ち切り、もしくは同じことだが周波数領域における[[ローパスフィルタ|ローパスフィルター]]の適用により、時間・周波数領域の任意の[[凸集合|凸包]]を切り取ることができる。対して、分数次フーリエ変換を使わず時間領域的手法や周波数領域的手法のみを用いる場合、それらの軸に平衡な矩形を切り取ることしかできない。

== 関連項目 ==
* [[分数階微積分学]]
* {{仮リンク|メーラー核|en|Mehler kernel}}
その他の時間・周波数変換:
* {{仮リンク|線形正準変換|en|Linear canonical transformation}}
* [[短時間フーリエ変換]]
* [[ウェーブレット変換]]
* {{仮リンク|チャープレット変換|en|Chirplet transform}}
* {{仮リンク|錐型分布関数|en|Cone-shape distribution function}}

== 出典 ==
{{Reflist}}

== 外部リンク ==
* [https://tfd.sourceforge.net/ DiscreteTFDs -- software for computing the fractional Fourier transform and time-frequency distributions]
* "[http://demonstrations.wolfram.com/FractionalFourierTransform/ Fractional Fourier Transform]" by Enrique Zeleny, [[Wolframデモンストレーションプロジェクト|The Wolfram Demonstrations Project]].
* [http://mechatronics.ece.usu.edu/foc/FRFT/ Dr YangQuan Chen's FRFT (Fractional Fourier Transform) Webpages]
* [http://ltfat.sourceforge.net/ LTFAT - A free (GPL) Matlab / Octave toolbox] Contains several version of the [http://ltfat.sourceforge.net/doc/fourier/ffracft.php fractional Fourier transform].

== 参考文献 ==
* {{Citation|title=The Fractional Fourier Transform with Applications in Optics and Signal Processing|year=2001|last1=Ozaktas|last2=Zalevsky|last3=Kutay|first1=Haldun M.|first2=Zeev|first3=M. Alper|url=http://www.ee.bilkent.edu.tr/~haldun/wileybook.html <!-- support page-->|series=Series in Pure and Applied Optics|publisher=John Wiley & Sons|isbn=0-471-96346-1}}
* {{Citation|title=The discrete fractional Fourier transform|last1=Candan|last2=Kutay|last3=Ozaktas|first1=C.|first2=M.A.|first3=H.M.|date=May 2000|journal=IEEE Transactions on Signal Processing|volume=48|issue=5|pages=1329–1337|doi=10.1109/78.839980}}
* {{cite journal|date=Oct 1993|title=Image rotation, Wigner rotation, and the fractional Fourier transform|url=http://josaa.osa.org/abstract.cfm?URI = josaa-10-10-2181|journal=J. Opt. Soc. Am. A|volume=10|issue=10|pages=2181–2186|ref=harv|first1=Adolf W.|last1=Lohmann|doi=10.1364/JOSAA.10.002181}}
* {{cite journal|date=Aug 2001|title=Relations between fractional operations and time-frequency distributions, and their applications|journal=IEEE Transactions on Signal Processing|volume=49|issue=8|pages=1638–1655|ref=harv|issn=1053-587X|first1=Soo-Chang|last1=Pei|first2=Jian-Jiun|last2=Ding|doi=10.1109/78.934134}}
* Jian-Jiun Ding, Time frequency analysis and wavelet transform class notes, the Department of Electrical Engineering, National Taiwan University (NTU), Taipei, Taiwan, 2007.
* {{cite journal|last1=Saxena|first=Rajiv|last2=Singh|first2=Kulbir|title=Fractional Fourier transform: A novel tool for signal processing|journal=J. Indian Inst. Sci.|date= Jan.–Feb. 2005|volume=85|issue=1|pages=11–26|url=http://journal.library.iisc.ernet.in/index.php/iisc/article/view/2395}}

{{デフォルトソート:ふんすうしふうりえへんかん}}
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