分率座標のソースを表示

[[ファイル:UnitCell.png|thumb|300px|長さ''a'', ''b'', ''c''および角度 ''α'', ''β'', ''γ''<ref>[http://www.ccdc.cam.ac.uk/support/documentation/mercury_csd/portable/mercury_portable-4-70.html Unit cell definition using parallelepiped with lengths ''a'', ''b'', ''c'' and angles between the edges given by α,β,γ]</ref>を持つ平行六面体を用いた単位格子の定義]]
[[結晶学]]において、'''分率座標系'''（ぶんりつざひょうけい、{{lang-en-short|fractional coordinate system}}）は、[[座標系]]の一つであり、[[単位格子]]のへりが原子核の位置を記述するための基底[[ベクトル]]として用いられる。'''部分座標'''、'''規格化座標'''、'''原子座標'''とも呼ばれる。単位格子はそのへり''a''、''b''、''c''とそれらの間の角度''α''、''β''、''γ''によって定義される[[平行六面体]]である。

==デカルト座標への変換==
分率座標からオングストローム (Å) 単位の[[直交座標]]へ戻すには、以下に示す[[演算行列]]を分率座標に掛ける<ref>{{cite journal|doi=10.1107/S0567739477001958|author=Sussman, J.; Holbrook, S.; Church, G.; Kim, S. |title=A Structure-Factor Least-Squares Refinement Procedure For Macromolecular Structures Using Constrained And Restrained Parameters|journal=Acta Crystallogr A|year=1977|volume=33|pages=800-804}}</ref><ref>{{cite journal|doi=10.1107/S0365110X62000067|author= Rossmann, M.; Blow, D. |title=The Detection Of Sub-Units Within The Crystallographic Asymmetric Unit|journal=Acta Crystallogr|year= 1962|volume=15|pages= 24-31}}</ref>。

:<math>
\begin{bmatrix} x \\ y \\ z \\ \end{bmatrix} =
\begin{bmatrix}
 a     & b \cos \gamma & c \cos(\beta) \\
 0     & b \sin \gamma & c (\cos \alpha -\cos \beta \cos \gamma) / \sin \gamma \\
 0 & 0 & c v /\sin \gamma \\
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix} x_\text{frac} \\ y_\text{frac} \\ z_\text{frac} \\ \end{bmatrix}
</math>

ここで、''a'', ''b'', ''c'', ''α'', ''β'', ''γ'' は単位格子パラメータである。また vは以下のように定義される単位平行六面体の体積である。
:<math>
v =\sqrt{1 - \cos^2 \alpha - \cos^2 \beta - \cos^2 \gamma + 2 \cos \alpha \cos \beta \cos \gamma}
</math>

''α''=''γ''=90°、''β''>90°である[[単斜晶|単斜格子]]の特別な場合では、
:<math>\begin{align}
x &= ax_\text{frac} + cz_\text{frac} \cos \beta \\
y &= by_\text{frac} \\
z &= cvz_\text{frac} = c z_\text{frac} \sin \beta
\end{align}
</math>
となる。

==デカルト座標からの変換==
デカルト座標から分率座標へは以下のように変換できる<ref>http://www.ruppweb.org/Xray/tutorial/Coordinate%20system%20transformation.htm (note that the ''V'' defined there differs from the ''v'' used here by a factor ''abc'')</ref>。

:<math>\begin{bmatrix} x_\text{frac} \\ y_\text{frac} \\ z_\text{frac} \\ \end{bmatrix} =
\begin{bmatrix}
 1/a & -\cos \gamma / a \sin \gamma & (\cos \alpha \cos \gamma - \cos \beta) / av \sin \gamma \\
 0 & 1 / b\sin \gamma & (\cos \beta \cos \gamma - \cos \alpha) / bv \sin \gamma \\
 0 & 0 & \sin \gamma / cv \\
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix} x \\ y \\ z \\ \end{bmatrix}
</math>

==サポートするファイル形式==
*[[カー・パリネロ法|CPMD]] input
*[[Crystallographic Information File|CIF]]

==脚注==
{{reflist}}

==外部リンク==
*[http://www.ruppweb.org/Xray/tutorial/Coordinate%20system%20transformation.htm Coordinate system transformation]

{{DEFAULTSORT:ふんりつさひよう}}
[[Category:分子モデリング]]
[[Category:計算化学]]
[[Category:結晶学]]