分裂補題のソースを表示

[[数学]]、より具体的には[[ホモロジー代数学]]において、'''分裂補題'''（ぶんれつほだい、splitting lemma）は次のようなものである。任意の[[アーベル圏]]において、短[[完全列]]に対する以下のステートメントは[[同値]]である。

写像が ''q'' と ''r'' の短完全列
:<math>0 \rightarrow A \overset{q}{\longrightarrow} B \overset{r}{\longrightarrow} C \rightarrow 0</math>
が与えられたとし、追加の矢印 ''t'' と ''u'' を存在しないかもしれない写像に対して書く。
:<math>0 \rightarrow A {{q \atop \longrightarrow} \atop {\longleftarrow \atop t}} B {{r \atop \longrightarrow} \atop {\longleftarrow \atop u}} C \rightarrow 0.</math>

このとき以下のステートメントは同値である。
;1. 左分裂 (left split): [[射 (圏論)|写像]] ''t'': ''B'' → ''A'' が存在して ''tq'' は ''A'' 上[[恒等写像]]である。
;2. 右分裂 (right split): 写像 ''u'': ''C'' → ''B'' が存在して ''ru'' は ''C'' 上恒等写像である。
;3. 直和 (direct sum): ''B'' は ''A'' と ''C'' の{{仮リンク|二項の積|label=直和|en|biproduct}}に同型で、''q'' は ''A'' の自然な入射に一致し、''r'' は ''C'' への自然な射影に一致する。

短完全列は上のステートメントのどれかが成り立てば''分裂する'' (split) という。

（「写像」という言葉は考えているアーベル圏の射を意味し、集合の間の写像ではない。）

'''注意'''： 完全列 <math>0 \rightarrow A \longrightarrow A \oplus C \longrightarrow C \rightarrow 0</math> は分裂するとは限らない。

この補題によって[[第一同型定理]]を精密化することができる。
* 第一同型定理は上記の短完全列において <math>C \cong B/q(A)</math> （すなわち "C" は "r" の[[余像]]あるいは "q" の[[余核]]に同型である）ということを述べている。
* 列が分裂すれば、<math>B = q(A) \oplus u(C) \cong A \oplus C</math> であり、第一同型定理は単に ''C'' の上への射影である。

それは[[線型代数学]]の（<math>V \cong \ker T \oplus \operatorname{im}\,T</math> の形での）[[階数・退化次数の定理]]の圏論的一般化である。

: ''See also [[:en:Splitting_lemma_(functions)|splitting lemma]] in  [[:en:singularity theory|singularity theory]].''

== 証明 ==
まず、(3) から (1) と (2) が従うことを示すためには、(3) を仮定し ''t'' として直和から ''A'' への自然な射影をとり、''u'' として ''C'' から直和への自然な入射をとる。

(1) ならば (3) を示すために、''B'' の任意の元は集合 ([[核 (代数学)|ker]] ''t'' + [[像 (数学)|im]] ''q'') に入っていることに注意する。これは ''B'' のすべての ''b'' に対して ''b'' = (''b'' - ''qt''(''b'')) + ''qt''(''b'') であることから従う。''qt''(''b'') は明らかに im ''q'' の元であり (''b'' - ''qt''(''b'')) は 
:''t''(''b'' - ''qt''(''b'')) = ''t''(''b'') - ''tqt''(''b'') = ''t''(''b'') - (''tq'')''t''(''b'') = ''t''(''b'') - ''t''(''b'') = 0
だから ker ''t'' に入っている。

次に、im ''q'' と ker ''t'' の共通部分は 0 である、なぜならば ''q''(''a'') = ''b'' なる ''A'' の元 ''a'' が存在して ''t''(''b'') = 0 であれば、0 = ''tq''(''a'') = ''a'' であるから ''b'' = 0 である。

このことより ''B'' は im ''q'' と ker ''t'' の直和である。したがってすべての ''B'' の元 ''b'' に対して ''b'' は一意的に ''A'' の元 ''a'' と ker ''t'' の元 ''k'' であって ''b'' = ''q''(''a'') + ''k'' なるもので識別できる。

完全性から ker ''r'' = im ''q'' である。部分列 ''B'' → ''C'' → 0 から ''r'' は上への写像である。それゆえ任意の ''C'' の元 ''c'' に対して ''b'' = ''q''(''a'') + ''k'' が存在して ''c'' = ''r''(''b'') = ''r''(''q''(''a'') + ''k'') = ''r''(''k'')。したがって任意の ''C'' の元 ''c'' に対して ker ''t'' の元 ''k'' が存在して ''c'' = ''r''(''k''), and ''r''(ker ''t'') = ''C''。

''r''(''k'') = 0 であれば ''k'' は im ''q'' に入る。im ''q'' と ker ''t'' の共通部分は 0 であるから、''k'' = 0 である。したがって射の制限 ''r'' : ker ''t'' → ''C'' は同型射であり ker ''t'' は ''C'' に同型である。

最後に、im ''q'' は 0 → ''A'' → ''B'' の完全性により ''A'' と同型である。なので ''B'' は ''A'' と ''C'' の直和に同型であり (3) が証明される。

(2) ならば (3) を示すために、同様の議論をする。''B'' の任意の元は集合 ker ''r'' + im ''u'' に入る。すべての ''B'' の元 ''b'' に対し ''b'' = (''b'' - ''ur''(''b'')) + ''ur''(''b'') であってこれは ker ''r'' + im ''u'' に入っている。ker ''r'' と im ''u'' の共通部分は 0 である、なぜならば ''r''(''b'') = 0 かつ ''u''(''c'') = ''b'' であれば 0 = ''ru''(''c'') = ''c''。

完全性から im ''q'' = ker ''r'' で、''q'' は単射だから、im ''q'' は ''A'' と同型で、''A'' は ker ''r'' と同型である。''ru'' は全単射だから、''u'' は単射でありしたがって im ''u'' は ''C'' と同型である。なので ''B'' は再び ''A'' と ''C'' の直和である。

=== 他の証明 ===
http://math.stackexchange.com/questions/748699/abstract-nonsense-proof-of-the-splitting-lemma/753182#753182

== 非可換群 ==
ここに述べられた形では、分裂補題はアーベル圏でない[[群の圏]]全体においては成り立たない。

=== 部分的には正しい ===
それは部分的には正しい。群の短完全列が左分裂あるいは直和であれば（条件1または3）、条件のすべてが成り立つ。直和に対してはこれは明らかである。直和成分から入射あるいはそれへ射影できるからだ。左分裂列に対しては、写像 <math>t \times r\colon B \to A \times C</math> が同型を与えるので、''B'' は直和（条件3）であり、したがって同型を逆にして自然な入射 <math>C \to A \times C</math> と合成すれば ''r'' を分裂させる入射 <math>C \to B</math> を得る（条件2）。

しかしながら、群の短完全列が右分裂であっても（条件2）、左分裂あるいは直和である必要はない（条件1も3も従わない）。問題は右分裂の像が正規である必要はないことだ。この場合に正しいのは、''B'' は、一般には直積ではないが、[[半直積]]ではあるということである。

=== 反例 ===
反例を構成するために、最小の非アーベル群である3文字の対称群 <math>B\cong S_3</math> をとる。''A'' で交代部分群を表し、<math>C=B/A\cong\{\pm 1\}</math> とする。''q'' と ''r'' をそれぞれ包含写像と[[置換のパリティ|符号]]写像とすると、
:<math>0 \rightarrow A \stackrel{q}{\longrightarrow} B \stackrel{r}{\longrightarrow} C \rightarrow 0 \,</math>
は短完全列である。<math>S_3</math> はアーベルでないので、条件 (3) は成り立たない。しかし条件 (2) は成り立つ。''u'': ''C'' → ''B'' を生成元を任意の2次の巡回置換に写すことで定義できる。完全にするために条件 (1) が成り立たないことに言及しよう。任意の写像 ''t'': ''B'' → ''A'' はすべての2-サイクルを単位元に写さなければならない、なぜならば写像は[[群準同型]]でなければならないが、2-サイクルの位数は2であり ''A'' の元の位数は単位元を除いて ''A'' は <math>S_3</math> の交代部分群すなわち位数3の巡回群なので3であるがそれで割り切れない。なので ''t'' は自明な写像で、それゆえ ''tq'': ''A'' → ''A'' も自明であり、恒等写像ではない。

== 参考文献 ==
{{参照方法|date=2023年9月}}
* [[Saunders Mac Lane]]: ''Homology''. Reprint of the 1975 edition, Springer Classics in Mathematics, ISBN 3-540-58662-8, p.16
* [[Allen Hatcher]]: ''Algebraic Topology''. 2002, Cambridge University Press, ISBN 0-521-79540-0, p.147

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