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{{要改訳}}
数学、特に[[ホモトピー論]]では、位相群 ''G'' の'''分類空間'''(classifying space) BG は、G の{{仮リンク|自由作用|en|free action}}により{{仮リンク|弱可縮|en|weakly contractible}}空間 ''EG'' の商空間である（つまり、すべての[[ホモトピー群]]が自明となるような位相空間）。分類空間は、[[パラコンパクト]]な多様体上の任意の G [[主バンドル]]が、主バンドル EG → BG の{{仮リンク|引き戻しバンドル|en|pullback bundle}}(pullback bundle)と同型となる性質を持つ<ref>{{Citation | last1=Stasheff | first1=James D.|authorlink=Jim Stasheff | title=Algebraic topology (Proc. Sympos. Pure Math., Vol. XXII, Univ. Wisconsin, Madison, Wis., 1970) | publisher=[[American Mathematical Society]] | location=Providence, R.I. | year=1971 | chapter=''H''-spaces and classifying spaces: foundations and recent developments | pages=247–272}}, Theorem 2</ref>。

[[離散群]](discrete group) G に対し、BG は、大まかには、[[連結空間|弧状連結]]な[[位相空間]] X であり、X の[[基本群]]が G と同型となり、X の高次[[ホモトピー群]]が自明となる、つまり、BG は{{仮リンク|アイレンベルグ・マックレーン空間|en|Eilenberg-Maclane space}}(Eilenberg-Maclane space)、または '''K(G,1)''' となる。
<!--In [[mathematics]], specifically in [[homotopy theory]], a '''classifying space''' ''BG'' of a [[topological group]] ''G'' is the quotient of a [[weakly contractible]] space ''EG'' (i.e. a topological space for which all its [[homotopy group]]s are trivial) by a [[free action]] of ''G''. It has the property that any ''G'' [[principal bundle]] over a [[paracompact]] manifold is isomorphic to a [[pullback bundle|pullback]] of the principal bundle ''EG'' → ''BG''.<ref>{{Citation | last1=Stasheff | first1=James D.|authorlink=Jim Stasheff | title=Algebraic topology (Proc. Sympos. Pure Math., Vol. XXII, Univ. Wisconsin, Madison, Wis., 1970) | publisher=[[American Mathematical Society]] | location=Providence, R.I. | year=1971 | chapter=''H''-spaces and classifying spaces: foundations and recent developments | pages=247–272}}, Theorem 2</ref>

For a [[discrete group]] ''G'', ''BG'' is, roughly speaking, a [[connected space|path-connected]] [[topological space]] ''X'' such that the [[fundamental group]] of ''X'' is isomorphic to ''G'' and the higher [[homotopy groups]] of ''X'' are [[trivial group|trivial]], that is, ''BG'' is an [[Eilenberg-Maclane space]], or a ''K(G,1)''.-->

==動機==
[[無限巡回群|無限巡回]]である G の例は、X として[[円 (数学)|円]]の例がある。G が[[離散群]](discrete group)のとき、X に付く条件を特定する方法は、X の[[普遍被覆]] Y が[[可縮]]であることである。この場合、射影写像

:<math>\pi: Y\longrightarrow X\ </math>

は、構造群 G を持つ[[ファイバーバンドル]]となり、実際、G の[[主バンドル]]である。実際、{{仮リンク|ホモトピー圏|en|homotopy category}}(homotopy category)では分類空間の概念への興味は、ファイバーバンドルの場合には、Y が主 G-バンドルに関して[[普遍的性質]]を持つという事実から発生した。このことは、高次のホモトピー群が 0 となること以上に基本的なことである。基本的考え方は、G が与えられると、G がその上に'''[[群の作用|自由に作用]]'''するような可縮な空間 Y を探すことである。（ホモトピー論の{{仮リンク|弱同値|en|weak equivalence (homotopy theory)}}(weak equivalence)の概念は、2つのバージョンを関連付ける。）円の例の場合、無限巡回群 C が[[実直線]]に自由に作用するという事実に注意する必要があり、これは可縮である。X を[[商空間 (位相空間論)|商空間]]として、3次元から平面への射影となることを考えるように、円は R = Y から X への幾何学のことばでいう射影 π と見なすことができる。この主張は、π は主 C-バンドルの中でも普遍的な性質を持っていることである。任意の主 C-バンドルは有限の方法で π から有限の方法で得られる。
<!--==Motivation==
An example for ''G'' [[infinite cyclic]] is the [[circle]] as ''X''. When ''G'' is a [[discrete group]], another way to specify the condition on ''X'' is that the [[universal cover]] ''Y'' of ''X'' is [[contractible]]. In that case the projection map

:<math>\pi: Y\longrightarrow X\ </math>

becomes a [[fiber bundle]] with structure group ''G'', in fact a [[principal bundle]] for ''G''. The interest in the classifying space concept really arises from the fact that in this case ''Y'' has a [[universal property]] with respect to principal ''G''-bundles, in the [[homotopy category]]. This is actually more basic than the condition that the higher homotopy groups vanish: the fundamental idea is, given ''G'', to find such a contractible space ''Y'' on which ''G'' acts ''[[group action|freely]]''. (The [[weak equivalence (homotopy theory)|weak equivalence]] idea of homotopy theory relates the two versions.) In the case of the circle example, what is being said is that we remark that an infinite cyclic group ''C'' acts freely on the [[real line]] ''R'', which is contractible. Taking ''X'' as the [[Quotient space (topology)|quotient space]] circle, we can regard the projection π from ''R'' = ''Y'' to ''X'' as a [[helix]] in geometrical terms, undergoing projection from three dimensions to the plane. What is being claimed is that π has a universal property amongst principal ''C''-bundles; that any principal ''C''-bundle in a definite way 'comes from' π.-->

==定式化==
より公式なステートメントは、G を（単に'''離散群'''とするのではなく）[[位相群]]でもありうることと、G の[[群作用]]が連続としうることを考えに入れる。連続作用のない場合、分類空間の概念は、ホモトピーの言葉で{{仮リンク|アイレンベルグ・マックレーン空間|en|Eilenberg–MacLane space}}(Eilenberg–MacLane space)の構成を通して、扱うことができる。ホモトピー論では、位相空間 BG の定義、つまり、主 G-バンドルの分類空間は、BG 上の{{仮リンク|普遍バンドル|en|universal bundle}}(universal bundle)である'''全空間''' EG とともに与えられる。つまり、このことの結果は、実際、[[連続写像]]

:<math>\pi: EG\longrightarrow BG.\ </math>

である。

[[CW複体]](CW complex)のホモトピー圏が基礎となる圏であることを前提とする。BG に要求される'''分類'''するという性質は、実際、π と関連付けられる。任意の主 G-バンドルが空間 Z 上に、

:<math>\gamma: Y\longrightarrow Z\ </math>

と与えられると、Z から BG への'''分類写像'''(classifying map) φ が存在し、γ が φ に沿った π の{{仮リンク|バンドルの引き戻し|label=引き戻し|en|pullback of a bundle}}(pullback)であるということができなければならない。抽象的な言い方では、γ のツイストによる構成は、φ を通して π の構成により既に表現されているツイストまで還元できるはずである。

このことを有益な概念とするためには、そのような空間 BG が存在すると信ずるにたる明白な理由がなければならない。抽象的にいうと、（最初にアイデアが導入された時点である1950年頃にはこのようには考えられてはいなかったが、）

:h(Z) = '''Z''' の上の主 G-バンドルの同型類の集合

により定義されるホモトピー圏から[[集合の圏]](category of sets)への[[函手#反変関手|反変函手]]が、{{仮リンク|表現函手|en|representable functor}}(representable functor)かどうかを問う問題である。抽象的な条件（現在は、{{仮リンク|ブラウンの表現性定理|en|Brown's representability theorem}}(Brown's representability theorem)として知られている）は、[[存在定理]]として結果が肯定的であり難しすぎないことを確かめることである。
<!--==Formalism==
A more formal statement takes into account that ''G'' may be a [[topological group]] (not simply a ''discrete group''), and that [[group action]]s of ''G'' are taken to be continuous; in the absence of continuous actions the classifying space concept can be dealt with, in homotopy terms, via the [[Eilenberg–MacLane space]] construction. In homotopy theory the definition of a topological space ''BG'', the '''classifying space''' for principal ''G''-bundles, is given, together with the space ''EG'' which is the '''total space''' of the [[universal bundle]] over ''BG''. That is, what is provided is in fact a [[continuous mapping]] 

:<math>\pi: EG\longrightarrow BG.\ </math>

Assume that the homotopy category of [[CW complex]]es is the underlying category, from now on. The ''classifying'' property required of ''BG'' in fact relates to π. We must be able to say that given any principal ''G''-bundle

:<math>\gamma: Y\longrightarrow Z\ </math>

over a space ''Z'', there is a '''classifying map''' φ from ''Z'' to ''BG'', such that γ is the [[pullback of a bundle|pullback]] of π along φ. In less abstract terms, the construction of γ by 'twisting' should be reducible via φ to the twisting already expressed by the construction of π.

For this to be a useful concept, there evidently must be some reason to believe such spaces ''BG'' exist. In abstract terms (which are not those originally used around 1950 when the idea was first introduced) this is a question of whether the [[contravariant functor]] from the homotopy category to the [[category of sets]], defined by 

:''h''(''Z'') = set of isomorphism classes of principal ''G''-bundles on ''Z''

is a [[representable functor]]. The abstract conditions being known for this ([[Brown's representability theorem]]) ensure that the result, as an [[existence theorem]], is affirmative and not too difficult.-->

==例==
#[[円 (数学)|円]] '''S'''<sup>1</sup> は[[無限巡回群]] '''Z''' の分類空間である。
#[[トーラス#n次元トーラス|n次元トーラス]] <math>\mathbb T^n</math> は '''Z'''<sup>n</sup> の分類空間であり、ランク n の[[自由アーベル群]]である。
#n 個の円のウェッジは、ランク n の[[自由群]]の分類空間である。
#[[コンパクト空間|コンパクト]]で境界を持たない[[閉多様体|閉じた]]連結な[[種数]]が 1 より大きい[[曲面]] S は、その基本群 <math>\pi_1(S)</math> の分類空間である。
#{{仮リンク|無限次元射影空間|en|Real_projective_space}}(infinite-dimensional projective space) <math>\mathbb {RP}^\infty</math> は、'''Z'''/2'''Z''' の分類空間である。
#[[コンパクト空間|コンパクト]]で境界を持たない[[閉多様体|閉じた]]で連結な[[双曲多様体]] M は、その[[基本群]] <math>\pi_1(M)</math> の分類空間である。
#有限局所連結な {{仮リンク|アダマール空間|label=CAT(0)|en|CAT(0) space}}(CAT(0))である{{仮リンク|3次複体|en|cubical complex}}(cubical complex)は、その[[基本群]]の分類空間である。
#<math>\mathbb{CP}^\infty</math> は、コンパクトな位相群と考えられる円 '''S'''<sup>1</sup> の分類空間 B'''S'''<sup>1</sup> である。
<!--==Examples==
#The [[circle]] '''S'''<sup>1</sup> is a classifying space for the [[infinite cyclic group]] '''Z'''.
#The [[torus|''n''-torus]]  <math>\mathbb T^n</math> is a classifying space for '''Z'''<sup>''n''</sup>, the [[free abelian group]] of rank ''n''.
#The wedge of ''n'' circles is a classifying space for the [[free group]] of rank ''n''. 
#A [[closed manifold|closed]] (that is [[compact space|compact]] and without boundary) connected [[surface]] ''S'' of [[Genus (mathematics)|genus]] at least 1 is a classifying space for its [[fundamental group]] <math>\pi_1(S)</math>.
#The [[Real_projective_space#Infinite_real_projective_space|infinite-dimensional projective space]] <math>\mathbb {RP}^\infty</math> is a classifying space for '''Z'''/2'''Z'''.
#A [[closed manifold|closed]] (that is [[compact space|compact]] and without boundary) connected [[hyperbolic manifold]] ''M'' is a classifying space for its [[fundamental group]] <math>\pi_1(M)</math>.
#A finite connected locally [[CAT(0) space|CAT(0)]] [[cubical complex]] is a classifying space of its [[fundamental group]].
#<math>\mathbb{CP}^\infty</math> is the classifying space ''B'''''S'''<sup>1</sup> for the circle '''S'''<sup>1</sup> thought of as a compact topological group.-->

==応用==
BG の有効に計算する問題は、未だに問題が残っている。例えば、（[[リー群]]のような興味深い群 G に対して）少なくともホモトピー論としての制限をするならば、[[特性類]]の理論は、本質的には、BG の[[コホモロジー群]]を計算する問題と同じとなる（{{仮リンク|H.カルタンの定理|en|H Cartan's theorem}}(H Cartan's theorem)）。{{clarify|date=September 2014}}<!-- how BG makes sense for a non-Lie group? --> {{仮リンク|ボットの周期性定理|en|Bott periodicity theorem}}(Bott periodicity theorem)に示されているように、BG の[[ホモトピー群]]は、基本的に興味深い対象でもある。初期の分類空間についての仕事は、（例えば、{{仮リンク|バー構成|en|bar construction}}(bar construction)のように、）[[複体|単体]]としての具体的記述をもたらした。

分類空間の例としては、G がオーダー 2 の巡回郡のとき、BG は無限次元の[[実射影空間]]である。このとき対応する EG は、可縮空間であり、結果として元の v を通した群作用 G を持つ無限次元[[ヒルベルト空間]]から -v を持つヒルベルト空間へ移し、BG を選ぶような[[ホモトピー同値]]を持つこととなる。この例は、分類空間が込み入ったものとなるかも知れないことを示している。

[[微分幾何学]]（[[チャーン・ヴェイユ理論]]）や{{仮リンク|グラスマン多様体|en|Grassmannian}}(Grassmannian)の理論との関係では、分類空間の理論へのより難しいアプローチが、最も興味が持たれている[[ユニタリ群]]のような場合に可能である。{{仮リンク|トム複体|en|Thom complex}}(Thom complex) MG の構成は、空間 BG が{{仮リンク|コボルディズム理論|en|cobordism theory}}(cobordism theory)の中にむくまれていて、それらは[[代数的位相幾何学|代数トポロジー]]の中に登場する幾何学的な考え方で中心的な役割を果たす。[[群コホモロジー]](group cohomology)は、（多くの場合に）分類空間を使い定義することができるので、[[ホモロジー代数]]で基本的であると見なすことができる。

分類空間の一般化は、分類{{仮リンク|葉層|en|foliation}}(foliation)や[[直観主義論理]](intuitionistic logic)での計算予測の理論での{{仮リンク|分類トポス|en|classifying topos}}(classifying topos)であり、それらは「モデルの空間」という位置を占める。
<!--==Applications==
This still leaves the question of doing effective calculations with ''BG''; for example, the theory of [[characteristic class]]es is essentially the same as computing the [[cohomology group]]s of ''BG'', at least within the restrictive terms of homotopy theory, for interesting groups ''G'' such as [[Lie group]]s ([[H Cartan's theorem]]).{{clarify|date=September 2014}}<- how BG makes sense for a non-Lie group? -> As was shown by the [[Bott periodicity theorem]], the [[homotopy group]]s of ''BG'' are also of fundamental interest. The early work on classifying spaces introduced constructions (for example, the [[bar construction]]), that gave concrete descriptions as a [[simplicial complex]]. 

An example of a classifying space is that when ''G'' is cyclic of order two; then ''BG'' is [[real projective space]] of infinite dimension, corresponding to the observation that ''EG'' can be taken as the contractible space resulting from removing the origin in an infinite-dimensional [[Hilbert space]], with ''G'' acting via ''v'' going to &minus;''v'', and allowing for [[homotopy equivalence]] in choosing ''BG''. This example shows that classifying spaces may be complicated.

In relation with [[differential geometry]] ([[Chern–Weil theory]]) and the theory of [[Grassmannian]]s, a much more hands-on approach to the theory is possible for cases such as the [[unitary group]]s that are of greatest interest. The construction of the [[Thom complex]] ''MG'' showed that the spaces ''BG'' were also implicated in [[cobordism theory]], so that they assumed a central place in geometric considerations coming out of [[algebraic topology]]. Since [[group cohomology]] can (in many cases) be defined by the use of classifying spaces, they can also be seen as foundational in much [[homological algebra]].

Generalizations include those for classifying [[foliation]]s, and the [[classifying topos]]es for logical theories of the predicate calculus in [[intuitionistic logic]] that take the place of a 'space of models'.-->

==関連項目==
* {{仮リンク|O(n)の分類空間|en|Classifying space for O(n)}}, BO(n)
* {{仮リンク|U(n)の分類空間|en|Classifying space for U(n)}}, BU(n)
* {{仮リンク|分類スタック|en|Classifying stack}}
* {{仮リンク|ボレルの定理|en|Borel's theorem}}
* {{仮リンク|同変コホモロジー|en|Equivariant cohomology}}

==脚注==
{{reflist}}
==参考文献==
* J.P. May, ''A concise course in algebraic topology''

== 外部リンク ==
*{{SpringerEOM|title=Classifying space|urlname=Classifying_space}}


{{DEFAULTSORT:ふんるいくうかん}}
[[Category:代数的位相幾何学]]
[[Category:ホモトピー論]]
[[Category:ファイバー束]]
[[Category:表現論]]
[[Category:数学に関する記事]]