列空間のソースを表示

{{脚注の不足|date=2022年12月}}
[[Image:Matrix Columns.svg|thumb|right|ある[[行列]]の列ベクトル]]
[[数学]]の[[線型代数学]]の分野において、ある[[行列]] ''A'' の'''列空間'''（れつくうかん、{{Lang-en-short|column space}}）C(''A'')（しばしば、行列の'''値域'''（range）とも呼ばれる） とは、その行列の[[列ベクトル]]の[[線型結合]]としてあり得るすべてのものからなる集合のことを言う。

''K'' を（[[実数]]あるいは[[複素数]]全体のような）[[可換体|体]]とする。''K'' の成分からなる、ある ''m''&nbsp;&times;&nbsp;''n'' 行列の列空間は、''m''-空間 ''K''<sup>''m''</sup> の[[線型部分空間]]である。列空間の[[ハメル次元|次元]]は、その行列の[[行列の階数|階数]]と呼ばれる<ref group="注">この記事でも述べられているように、線型代数学はとてもよく発展された数学の分野で、多くの参考文献が存在する。この記事で述べられているほとんど全ての内容は、Lay 2005、Meyer 2001 および Strang 2005 に見られる。</ref>。（[[整数]]全体のような）[[環 (数学)|環]] ''K'' についての行列に対しても、同様に列空間を定義することが出来る。

ある行列の列空間は、対応する[[線型写像#行列表現|線型写像]]の[[像 (数学)|像]]あるいは[[値域]]である。

== 定義 ==
''K'' を[[スカラー (数学)|スカラー]][[可換体|体]]とする。''A'' を、列ベクトル '''v'''<sub>1</sub>,&nbsp;'''v'''<sub>2</sub>,&nbsp;...,&nbsp;'''v'''<sub>''n''</sub> を伴う ''m''&nbsp;&times;&nbsp;''n'' 行列とする。それら列ベクトルの[[線型結合]]とは、次の形式で記述される任意のベクトルのことを言う：
:<math>c_1 \mathbf{v}_1 + c_2 \mathbf{v}_2 + \cdots + c_n \mathbf{v}_n,</math>
ここで ''c''<sub>1</sub>,&nbsp;''c''<sub>2</sub>,&nbsp;...,&nbsp;''c<sub>n</sub>'' はスカラーである。'''v'''<sub>1</sub>,&nbsp;...&nbsp;,'''v'''<sub>''n''</sub> の線型結合としてあり得るすべてのベクトルからなる集合のことを、''A'' の'''列空間'''と言う。すなわち、''A'' の列空間は、ベクトル '''v'''<sub>1</sub>,&nbsp;...&nbsp;,&nbsp;'''v'''<sub>''n''</sub> の[[線型包|張る部分空間]]である。

行列 ''A'' の列ベクトルの任意の線型結合は、''A'' と列ベクトルの積として記述される。すなわち
:<math>\begin{array} {rcl}
A \begin{bmatrix} c_1 \\ \vdots \\ c_n \end{bmatrix} 
& = & \begin{bmatrix} a_{11} & \cdots & a_{1n} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n1} & \cdots & a_{nn} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} c_1 \\ \vdots \\ c_n \end{bmatrix}
= \begin{bmatrix} c_1 a_{11} + & \cdots & + c_{n} a_{1n} \\ \vdots & \vdots & \vdots \\ c_{1} a_{n1} + & \cdots & + c_{n} a_{nn} \end{bmatrix} = c_1 \begin{bmatrix} a_{11} \\ \vdots \\ a_{n1} \end{bmatrix} + \cdots + c_n \begin{bmatrix} a_{n1} \\ \vdots \\ a_{nn} \end{bmatrix} = \\
{} & = & c_1 \mathbf{v}_1 + \cdots + c_n \mathbf{v}_n
\end{array}</math>
として記述される。したがって ''A'' の列空間は、'''x'''&nbsp;&isin;&nbsp;'''R'''<sup>''n''</sup> に対するすべてのあり得る積 ''A'''''x''' からなる。これは、対応する[[線型写像#行列表現|線型写像]]の[[像 (数学)|像]]（あるいは、[[値域]]）と同様である。

;例
:<math>A = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \\ 2 & 0 \end{bmatrix}</math> とすると、その列ベクトルは '''v'''<sub>1</sub>&nbsp;=&nbsp;(1,&nbsp;0,&nbsp;2)<sup>T</sup> と '''v'''<sub>2</sub>&nbsp;=&nbsp;(0,&nbsp;1,&nbsp;0)<sup>T</sup> である。
:'''v'''<sub>1</sub> と '''v'''<sub>2</sub> の線型結合は、次の形式で記述される任意のベクトルである：
::<math>c_1 \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 2 \end{bmatrix} + c_2 \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} c_1 \\ c_2 \\ 2c_1 \end{bmatrix}\,</math>
:そのようなベクトルすべてからなる集合が、''A'' の列空間である。この場合の列空間は、方程式 ''z''&nbsp;=&nbsp;2''x'' を満たすようなベクトル (''x'',&nbsp;''y'',&nbsp;''z'')&nbsp;&isin;&nbsp;'''R'''<sup>3</sup> の集合である（[[デカルト座標]]を用いることで、この集合は[[三次元空間]]における原点を通る[[平面]]であることが分かる）。

== 基底 ==
''A'' の列ベクトルは列空間を張るが、それらが[[線型独立]]でない場合には[[基底 (線型代数学)|基底]]を形成しないこともあり得る。幸運なことに、[[行列の基本変形]]は列ベクトルの間の依存関係に影響を与えない。このことは、列空間の基底を見つけるために[[ガウスの消去法]]を使用することを可能にする。

例えば、行列
:<math>A = \begin{bmatrix} 1 & 3 & 1 & 4 \\ 2 & 7 & 3 & 9 \\ 1 & 5 & 3 & 1 \\ 1 & 2 & 0 & 8 \end{bmatrix}\text{ }</math>
を考える。この行列の列ベクトルは、列空間を張るが、[[線型独立]]でない可能性もあり、その場合にはそれら列ベクトルの集合のある部分集合が、基底を形成する。この基底を見つけるために、''A'' を[[行階段形|行既約階段形]]へと書き下す：
:<math>\begin{bmatrix} 1 & 3 & 1 & 4 \\ 2 & 7 & 3 & 9 \\ 1 & 5 & 3 & 1 \\ 1 & 2 & 0 & 8 \end{bmatrix}
\sim \begin{bmatrix} 1 & 3 & 1 & 4 \\ 0 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 2 & 2 & -3 \\ 0 & -1 & -1 & 4 \end{bmatrix}
\sim  \begin{bmatrix} 1 & 0 & -2 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & -5 \\ 0 & 0 & 0 & 5 \end{bmatrix}
\sim  \begin{bmatrix} 1 & 0 & -2 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}\text{ }</math><ref group="注">この計算では[[ガウスの消去法|ガウス＝ジョルダン法]]を用いている。ここで示されている各計算段階では、複数の行基本変形が行われている。</ref>
この時点で、第一、第二、第四の列ベクトルは線型独立であることが明白になるが、第三の列ベクトルははじめの二つの列ベクトルの線形結合となっている（具体的に、'''v'''<sub>3</sub>&nbsp;=&nbsp;&minus;2'''v'''<sub>1</sub>&nbsp;+&nbsp;'''v'''<sub>2</sub> である）。したがって、もとの行列の第一、第二および第四の列ベクトル
:<math>\begin{bmatrix} 1 \\ 2 \\ 1 \\ 1\end{bmatrix},
\begin{bmatrix} 3 \\ 7 \\ 5 \\ 2\end{bmatrix},
\begin{bmatrix} 4 \\ 9 \\ 1 \\ 8\end{bmatrix} </math>
が、その行列の列空間の基底である。ここで、行既約階段形の独立な列ベクトルは、{{ill2|ピボット (数学)|label=ピボット|en|Pivot element}}を伴う列ベクトルであることに注意されたい。このことから、[[行階段形|階段形]]へと書き下すことのみで、どの列ベクトルが線型独立であるか決定することが可能となる。

上述の計算法は一般的に、任意のベクトルの集合の間の依存関係を調べるため、および任意の張られる集合から基底を見つけるために用いられる。張られる集合から基底を見つけるための異なる計算方法は、記事「[[行空間]]」で述べられている：すなわち、''A'' の列空間の基底を見つけることは、[[転置行列]] ''A''<sup>T</sup> の行空間の基底を見つけることと同値なのである。

== 次元 ==
{{main|行列の階数}}

列空間の[[ハメル次元|次元]]は、その行列の[[行列の階数|'''階数''']]と呼ばれる。階数は、[[行階段形|行既約階段形]]におけるピボットの数と等しく、その行列から選ぶことの出来る線型独立な列の最大数である。例えば、上の例の 4&nbsp;&times;&nbsp;4 列の階数は 3 である。

列空間は、対応する[[遷移行列|行列変換]]の[[像 (数学)|像]]であるため、行列の階数はその像の次元と等しい。例えば、上の例の行列として表現される変換 '''R'''<sup>4</sup>&nbsp;&rarr;&nbsp;'''R'''<sup>4</sup> は、'''R'''<sup>4</sup> に属するすべての元を、ある4次元[[ユークリッド空間|部分空間]]へと写す。

行列の'''退化次数'''（nullity）とは、[[零空間]]の次元のことを言い、行既約階段形においてピボットを持たない列の数に等しい<ref group="注">ピボットを持たない列は、対応する同次[[線型方程式系]]における自由変数を表している。</ref>。''n'' 個の列を含む行列 ''A'' の階数と退化次数には、次の方程式で与えられる関係がある：
:<math>\text{rank}(A) + \text{nullity}(A) = n.\,</math>
この方程式は[[階数・退化次数の定理]]として知られる。

== 左零空間との関係 ==
''A'' の[[零空間|左零空間]]とは、'''x'''<sup>T</sup>''A''&nbsp;=&nbsp;'''0'''<sup>T</sup> を満たすような全てのベクトル '''x''' の集合のことを言う。''A'' の[[転置行列]]の[[零空間]]に等しい。行列 ''A''<sup>T</sup> とベクトル '''x''' の積は、ベクトルの[[ドット積]]を用いて次のように記述することが出来る：
:<math>A^{T}\mathbf{x} = 
\begin{bmatrix} \mathbf{v}_1 \cdot \mathbf{x} \\ \vdots \\ \mathbf{v}_n \cdot \mathbf{x} \end{bmatrix} </math>
これはなぜかと言うと、''A''<sup>T</sup> の[[行ベクトル]]は ''A'' の列ベクトル '''v'''<sub>''k''</sub> の転置だからである。したがって、''A''<sup>T</sup>'''x'''&nbsp;=&nbsp;'''0''' が成立することと、'''x''' が ''A'' の各列ベクトルに[[直交]]することは、同値である。

左零空間（''A''<sup>T</sup> の零空間）は、A の列空間の[[直交補空間]]である。

行列 ''A'' に対し、列空間、行空間、零空間および左零空間は、しばしば[[線型代数学の基本定理|四つの基本部分空間]]と呼ばれる。

== 環上の行列に対して ==
上述の議論と同様に、列空間（しばしば「右」列空間と区別される）は[[環 (数学)|環]] ''K'' 上の行列に対して次のように定義される：
:<math>\sum\limits_{k=1}^n \mathbf{v}_k c_k</math>
ここで ''c''<sub>1</sub>,&nbsp;...,&nbsp;''c<sub>n</sub>'' は任意で、「[[自由加群|右自由加群]]」への ''m''-次元ベクトルを置き換えが行われている。したがって、通常とは異なる順番「ベクトル → スカラー」となるようにベクトルの{{仮リンク|スカラー倍|en|scalar multiplication}}が書き換えられている<ref group="注">これは、''K'' が[[可換環|可換]]でない時にのみ重要となる。実際、この形式は単に行列 ''A'' を ''K''<sup>''n''</sup> に属する列ベクトル '''c''' に掛けた積 ''A'''''c''' であり、''K''<sup>''n''</sup> においては[[#定義|上の式]]とは異なり積の順序が「保存される」のである。</ref>。

== 関連項目 ==
* [[ユークリッド空間|ユークリッド部分空間]]
* [[零空間]]
* [[行空間]]
* [[線型代数学の基本定理|四つの基本部分空間]]
* [[行列の階数]]
* [[線型包]]
* [[行列]]

== 脚注 ==
{{脚注ヘルプ}}
=== 注釈 ===
{{Notelist2}}

== 参考文献 ==
* {{Citation 
| last = Strang 
| first = Gilbert 
| date = July 19, 2005 
| title = Linear Algebra and Its Applications 
| publisher = Brooks Cole 
| edition = 4th 
| isbn = 978-0-03-010567-8
}}
* {{Citation
 | last = Axler
 | first = Sheldon Jay
 | date = 1997
 | title = Linear Algebra Done Right
 | publisher = Springer-Verlag
 | edition = 2nd
 | isbn = 0-387-98259-0
}}
* {{Citation
 | last = Lay
 | first = David C.
 | date = August 22, 2005
 | title = Linear Algebra and Its Applications
 | publisher = Addison Wesley
 | edition = 3rd
 | isbn = 978-0-321-28713-7
}}
* {{Citation
 |last         = Meyer
 |first        = Carl D.
 |date         = February 15, 2001
 |title        = Matrix Analysis and Applied Linear Algebra
 |publisher    = Society for Industrial and Applied Mathematics (SIAM)
 |isbn         = 978-0-89871-454-8
 |url          = http://www.matrixanalysis.com/DownloadChapters.html
 |archiveurl   = https://web.archive.org/web/20091031193126/http://matrixanalysis.com/DownloadChapters.html
 |archivedate  = 2009年10月31日
 |deadlinkdate = 2017年9月
}}
* {{Citation
 | last = Poole
 | first = David
 | date = 2006
 | title = Linear Algebra: A Modern Introduction
 | publisher = Brooks/Cole
 | edition = 2nd
 | isbn = 0-534-99845-3
}}
* {{Citation
 | last = Anton
 | first = Howard
 | date = 2005
 | title = Elementary Linear Algebra (Applications Version)
 | publisher = Wiley International
 | edition = 9th
}}
* {{Citation
 | last = Leon
 | first = Steven J.
 | date = 2006
 | title = Linear Algebra With Applications
 | publisher = Pearson Prentice Hall
 | edition = 7th
}}

== 外部リンク ==
* [http://www.khanacademy.org/video/column-space-of-a-matrix?playlist=Linear+Algebra Khan Academy video tutorial]
* {{MathWorld |title=Column Space |urlname=ColumnSpace}}
*{{aut|[[:en:Gilbert Strang|Gilbert Strang]]}}, [http://ocw.mit.edu/OcwWeb/Mathematics/18-06Spring-2005/VideoLectures/detail/lecture10.htm MIT Linear Algebra Lecture on the Four Fundamental Subspaces] at Google Video, from [[:en:MIT OpenCourseWare|MIT OpenCourseWare]]

{{Linear algebra}}
{{DEFAULTSORT:れつくうかん}}
[[Category:行列]]
[[Category:線型代数学]]
[[Category:数学に関する記事]]

[[it:Spazi delle righe e delle colonne]]
[[nl:Kolom- en rijruimte]]
[[ur:قطار اور ستون فضا]]
[[zh:行空间与列空间]]