判別式のソースを表示

[[数学]]において、[[多項式]]の'''判別式'''（はんべつしき、{{lang-en-short|discriminant}}）とは、その多項式の根が重根を持つための[[論理包含|条件]]を与える、元の多項式係数の[[多項式]]で、最小のもののことである。

一般にdiscriminantの頭文字を取って、{{mvar|D}} で表記される。

== 概要 ==
"discriminant"（判別式）という用語は[[1851年]]にイギリス人数学者[[ジェームス・ジョセフ・シルベスター]]によって造り出された<ref>J. J. Sylvester (1851) "On a remarkable discovery in the theory of canonical forms and of hyperdeterminants," ''Philosophical Magazine'', 4th series, '''2''' :  391-410; Sylvester coins the word "discriminant" on [https://books.google.co.jp/books?id=DBNDAQAAIAAJ&pg=PA406&redir_esc=y#v=onepage&q&f=false page 406].</ref>。

通常は、大文字の {{mvar|D}} あるいは大文字の {{mvar|[[Δ]]}} で表記される。

具体的には、以下の式で定義される：
:{{mvar|x}} の {{mvar|n}}次式
::{{math|1=''a{{sub|n}}x{{sup|n}}'' + ''a''{{sub|''n''&minus;1}}''x''{{sup|''n''&minus;1}} + … + ''a''{{sub|1}}''x'' + ''a''{{sub|0}} (''a{{sub|n}}'' ≠ 0)}}
:の[[代数学の基本定理|重複を含めた根]]を {{math2|''α''{{sub|1}}, …, ''α{{sub|n}}''}} とすると、
::<math>D = {a_n}^{2n-2} \textstyle \prod\limits_{i,j (i<j)} ( \alpha_i - \alpha_j )^2 =(-1)^{n(n-1)/2} {a_n}^{2n-2} \prod\limits_{i,j (i \neq j)} ( \alpha_i - \alpha_j )
</math>
この定義式は、次の手順から、係数 {{math2|''a{{sub|n}}'', ''a''{{sub|''n''&minus;1}}, …, ''a''{{sub|1}}, ''a''{{sub|0}}}} の分数式である（実際には多項式になる）。
#{{mvar|D}} は {{math2|''α''{{sub|1}}, …, ''α{{sub|n}}''}} の[[対称式]]である。
#{{math2|''α''{{sub|1}}, …, ''α{{sub|n}}''}} の対称式は、{{math2|''α''{{sub|1}}, …, ''α{{sub|n}}''}} の[[対称式#基本対称式|基本対称式]]の多項式で表せる。
#{{math2|''α''{{sub|1}}, …, ''α{{sub|n}}''}} の基本対称式は、[[根と係数の関係]]より、{{math2|''α''{{sub|1}}, …, ''α{{sub|n}}''}} の分数式である。//

判別式 {{mvar|D}} を係数 {{math2|''a{{sub|n}}'', ''a''{{sub|''n''&minus;1}}, …, ''a''{{sub|1}}, ''a''{{sub|0}}}} で表すには、[[終結式]]（[[シルヴェスター行列]]の[[行列式]]）を用いるのが最も簡明である：
:多項式 {{mvar|f}} の判別式 {{mvar|D}} は、{{mvar|f}} とその[[微分|導関数]] {{mvar|f'}} の終結式に <math>\frac{(-1)^{n(n-1)/2}}{a_n}</math> を掛けた値に等しい。すなわち、
:<math>D = \frac{(-1)^{n(n-1)/2}}{a_n} \begin{vmatrix}
a_n  &a_{n-1}      &\cdots &\cdots  &a_0          &       &    \\
     &\ddots       &\ddots &        &             &\ddots &    \\
     &             &a_n    &a_{n-1} &\cdots       &\cdots &a_0 \\
na_n &(n-1)a_{n-1} &\cdots &1a_1    &             &       &    \\
     &\ddots       &\ddots &        &\ddots       &       &    \\
     &             &\ddots &\ddots  &             &\ddots &    \\
     &             &       &na_n    &(n-1)a_{n-1} &\cdots &1a_1
\end{vmatrix}</math>
:（対角成分に {{mvar|a{{sub|n}}}} が {{math|(''n'' &minus; 1)}}個、{{math|1''a''{{sub|1}}}} が {{mvar|n}}個）
[[二次方程式]] {{math|1=''ax''{{sup|2}} + ''bx'' + ''c'' = 0}} の判別式は
:<math>\Delta = b^2-4ac</math>
である。

[[三次方程式]] {{math|1=''ax''{{sup|3}} + ''bx''{{sup|2}} + ''cx'' + ''d'' = 0}} の判別式は
:<math>\Delta = b^2c^2-4ac^3-4b^3d-27a^2d^2+18abcd</math>
である。

[[四次方程式]] {{math|''ax''{{sup|4}} + ''bx''{{sup|3}} + ''cx''{{sup|2}} + ''dx'' + ''e'' {{=}} 0}} の判別式は
:<math>\begin{align}
\Delta = &\; 256a^3e^3-192a^2bde^2-128a^2c^2e^2+144a^2cd^2e-27a^2d^4\\
&\ +144ab^2ce^2-6ab^2d^2e-80abc^2de+18abcd^3+16ac^4e\\
&\ -4ac^3d^2-27b^4e^2+18b^3cde-4b^3d^3-4b^2c^3e+b^2c^2d^2
\end{align}</math>
である。

より高次の方程式に対しても、判別式は定義され、係数たちの多項式であるが、その式は非常に長大なものになる。[[五次方程式]]の判別式は 59 の項を持ち<ref>{{Cite book
|title=Discriminants, resultants and multidimensional determinants
|first1=I. M.
|last1=Gelfand
|first2=M. M.
|last2=Kapranov
|first3=A. V.
|last3=Zelevinsky
|publisher=Birkhäuser
|year=1994
|isbn=3-7643-3660-9
|page=1
|url=https://academic.oup.com/blms/article-abstract/28/1/96/262195?redirectedFrom=fulltext
}}, [http://blms.oxfordjournals.org/cgi/pdf_extract/28/1/96 Preview page 1]
</ref>、[[六次方程式]]の判別式は 246 の項を持ち<ref>{{Cite book
|title=Solving polynomial equations: foundations, algorithms, and applications
|first1=Alicia
|last1=Dickenstein
|first2=Ioannis Z.
|last2=Emiris
|publisher=Springer
|year=2005
|isbn=3-540-24326-7
|page=26
|url=https://books.google.co.jp/books?id=rSs-pQNrO_YC&redir_esc=y&hl=ja
}}, [https://books.google.co.jp/books?id=rSs-pQNrO_YC&pg=PA26&redir_esc=y&hl=ja Chapter 1 page 26]
</ref>、項の個数は次数によって指数的に増加する{{要出典|date=2012-11}}。<!--
Please don't add numbers of terms of higher degrees (like 7/1103 and 8/5247) without providing proper sources. Thanks-->

:（具体的な高次方程式の判別式を最初の定義式に基づいて求めようとすると、長大な係数の多項式になり、計算すると時間がかかる。判別式を終結式の形で表し、そこでの係数の値で表された行列式を計算するのが良い。あるいは係数全体にごく少数の変数だけが含まれている場合にも、終結式を用いて計算をするのが良い。）

四次までの[[代数方程式]]に対しては、判別式は解の公式に現れるため、判別式の定義とは、解の公式の一部と誤解されがちである。しかし五次以上の代数方程式には解の公式が存在しない（[[アーベル-ルフィニの定理]]）が、判別式は常に定義される。

定義から、判別式の値が {{math|0}} であるのは、重根（すなわち[[重複度 (数学)|重複度]]が 2以上の根）が存在することと[[同値]]である。

実数係数の代数方程式の実数解の個数は、二次方程式では、判別式の[[符号 (数学)|符号]]が正か零か負かにより2個、1個（重複度2）、0個と判別できるが、三次の場合にはそれぞれ3個、2個（片方は重複度2）あるいは1個（重複度3），1個となる。

このように三次以上では、判別式以外にも指標となる式が必要となる。
{{main|三次方程式#解の様子|四次方程式#解の様子}}
判別式の概念は、方程式の係数が[[複素数]]体に含まれていない場合にも適用できる。係数が[[整域]] {{mvar|R}} に属していれば定義され、この場合に判別式は {{mvar|R}} の元である。特に、整数係数多項式の判別式は常に整数である。この性質は[[数論]]において広く用いられる。

== 定義 ==
:{{math2|1=''f''(''x'') = ''a{{sub|n}}x{{sup|n}}'' + ''a''{{sub|''n''&minus;1}}''x''{{sup|''n''&minus;1}} + … + ''a''{{sub|1}}''x'' + ''a''{{sub|0}} (''a{{sub|n}}'' ≠ 0)}}
とする。{{mvar|n}}次方程式 {{math2|''f''(''x'') {{=}} 0}} には、[[代数学の基本定理]]より、重複を含めて {{mvar|n}} 個の[[複素数]]解が存在する。それらを {{math2|''α''{{sub|1}}, …, ''α{{sub|n}}''}} とするとき、次の等式が成り立ち、[[多項式]] {{mvar|f}} あるいは[[代数方程式]] {{math2|''f''(''x'') {{=}} 0}} の'''判別式'''という。
:<math>{a_n}^{2n-2} \textstyle \prod\limits_{i,j(i<j)} ( \alpha_i - \alpha_j )^2</math>
:<math>= \frac{(-1)^{n(n-1)/2}}{a_n} \begin{vmatrix}
a_n  &a_{n-1}      &\cdots &\cdots  &a_0          &       &    \\
     &\ddots       &\ddots &        &             &\ddots &    \\
     &             &a_n    &a_{n-1} &\cdots       &\cdots &a_0 \\
na_n &(n-1)a_{n-1} &\cdots &1a_1    &             &       &    \\
     &\ddots       &\ddots &        &\ddots       &       &    \\
     &             &\ddots &\ddots  &             &\ddots &    \\
     &             &       &na_n    &(n-1)a_{n-1} &\cdots &1a_1
\end{vmatrix}</math>
:（対角成分に {{mvar|a{{sub|n}}}} が {{math2|(''n'' &minus; 1)}}個、{{math|1''a''{{sub|1}}}} が {{mvar|n}}個）
（注）
*（注1）左辺の「<math>\textstyle\prod\limits_{i,j(i<j)} ( \alpha_i - \alpha_j )^2</math>」は、{{math2|''α''{{sub|1}}, …, ''α{{sub|n}}''}} の[[差積]]の平方であり、[[ヴァンデルモンドの行列式]]として表すことができる。
*（注2）この行列式は、第1列が {{mvar|a{{sub|n}}}} で割り切れるため、右辺は {{math2|''a''{{sub|''n''&minus;1}}, …, ''a''{{sub|0}}}} の {{math2|(2''n'' &minus; 2)}}次[[斉次多項式]]である。
*（注3）この行列式の部分は {{mvar|f}} と {{mvar|f'}} の[[終結式]] (resultant) であり、記号で <math>\operatorname{Res} (f,f')</math> と表される。

=== 判別式が終結式を用いて表されることの証明 ===
ここでは、文献<ref>{{Cite book|和書 |title=線形代数問題集 |series=基礎数学問題集シリーズ1 |edition=単行本 |date=1989-01-01 |author1=吾郷孝視 |author2=細尾敏男 |author3=田中隆一 |publisher=[[森北出版]] |isbn=978-4627045101 |pages=40,41,134}}</ref>に掲載されている方法により証明する。

（証明）
:<math>\textstyle \prod\limits_{i,j (i<j)} ( \alpha_i - \alpha_j )^2</math>
:<math>= (-1)^{n(n-1)/2} \textstyle \prod\limits_{i,j (i \neq j)} ( \alpha_i - \alpha_j )</math>
:<math>= (-1)^{n(n-1)/2} \textstyle \prod\limits_{i=1}^n \prod\limits_{j (j \neq i)} ( \alpha_i - \alpha_j ) \quad \cdots \ (1)</math>
:<math>f(x)= a_n \textstyle \prod\limits_{j=1}^n ( x- \alpha_j )</math>
:<math>f'(x)= a_n \textstyle \sum\limits_{k=1}^n \prod\limits_{j (j \neq k)} ( x- \alpha_j )</math>
:<math>f'( \alpha_i )= a_n \textstyle \prod\limits_{j (j \neq i)} ( \alpha_i - \alpha_j ) \quad \cdots \ (2)</math>
:ここで、{{math2|''f'''(''x'') {{=}} 0}} の根を {{math2|''β''{{sub|1}}, …, ''β''{{sub|''n''&minus;1}}}} とする。
:<math>f'(x)=n a_n \textstyle \prod\limits_{j=1}^{n-1} ( x- \beta_j )</math>
:<math>f'( \alpha_i )=n a_n \textstyle \prod\limits_{j=1}^{n-1} ( \alpha_i - \beta_j ) \quad \cdots \ (3)</math>
:(2) = (3) より、{{math2|''a{{sub|n}}'' ≠ 0}} に注意して
:<math>\textstyle \prod\limits_{j (j \neq i)} ( \alpha_i - \alpha_j ) = n \prod\limits_{j=1}^{n-1} ( \alpha_i - \beta_j ) \quad \cdots \ (4)</math>
:(4) を (1) に代入すると、
:<math>\textstyle \prod\limits_{i,j (i<j)} ( \alpha_i - \alpha_j )^2 = (-1)^{n(n-1)/2} n^n \prod\limits_{i,j} ( \alpha_i - \beta_j ) \quad \cdots \ (5)</math>
:ここで、'''[[終結式]]'''においてよく知られている、次の等式を使う。
::{{math|1=''f''(''x'') = ''a{{sub|n}}x{{sup|n}}'' + ''a''{{sub|''n''&minus;1}}''x''{{sup|''n''&minus;1}} + … + ''a''{{sub|1}}''x'' + ''a''{{sub|0}} (''a{{sub|n}}'' ≠ 0)}} の根を {{math2|''α''{{sub|1}}, …, ''α{{sub|n}}''}},
::{{math|1=''g''(''x'') = ''b{{sub|m}}x{{sup|m}}'' + ''b''{{sub|''m''&minus;1}}''x''{{sup|''m''&minus;1}} + … + ''b''{{sub|1}}''x'' + ''b''{{sub|0}} (''b{{sub|m}}'' ≠ 0)}} の根を {{math2|''β''{{sub|1}}, …, ''β{{sub|m}}''}}
::とすると、次が成り立つ：
:::<math>{a_n}^m {b_m}^n \textstyle \prod\limits_{i,j} ( \alpha_i - \beta_j ) = \begin{vmatrix}
a_n &a_{n-1} &\cdots &\cdots  &a_0     &       &    \\
    &\ddots  &\ddots &        &        &\ddots &    \\
    &        &a_n    &a_{n-1} &\cdots  &\cdots &a_0 \\
b_m &b_{m-1} &\cdots &b_0     &        &       &    \\
    &\ddots  &\ddots &        &\ddots  &       &    \\
    &        &\ddots &\ddots  &        &\ddots &    \\
    &        &       &b_m     &b_{m-1} &\cdots &b_0
\end{vmatrix}</math>
:（対角成分に {{mvar|a{{sub|n}}}} が {{mvar|m}}個、{{math|''b''{{sub|0}}}} が {{mvar|n}}個）
:この等式を {{math2|''f'', ''f'''}} に適用すると、
:<math>{a_n}^{n-1} (n a_n )^n \textstyle \prod\limits_{i,j} ( \alpha_i - \beta_j )</math>
:<math>= \begin{vmatrix}
a_n  &a_{n-1}      &\cdots &\cdots  &a_0          &       &    \\
     &\ddots       &\ddots &        &             &\ddots &    \\
     &             &a_n    &a_{n-1} &\cdots       &\cdots &a_0 \\
na_n &(n-1)a_{n-1} &\cdots &1a_1    &             &       &    \\
     &\ddots       &\ddots &        &\ddots       &       &    \\
     &             &\ddots &\ddots  &             &\ddots &    \\
     &             &       &na_n    &(n-1)a_{n-1} &\cdots &1a_1
\end{vmatrix} \quad \cdots \ (6)</math>
:(5), (6) より、
:<math>{a_n}^{2n-2} \textstyle \prod\limits_{i,j (i<j)} ( \alpha_i - \alpha_j )^2</math>
:<math>= \frac{(-1)^{n(n-1)/2}}{a_n} \begin{vmatrix}
a_n  &a_{n-1}      &\cdots &\cdots  &a_0          &       &    \\
     &\ddots       &\ddots &        &             &\ddots &    \\
     &             &a_n    &a_{n-1} &\cdots       &\cdots &a_0 \\
na_n &(n-1)a_{n-1} &\cdots &1a_1    &             &       &    \\
     &\ddots       &\ddots &        &\ddots       &       &    \\
     &             &\ddots &\ddots  &             &\ddots &    \\
     &             &       &na_n    &(n-1)a_{n-1} &\cdots &1a_1
\end{vmatrix} \ \blacksquare</math>

== 次数ごとの例 ==
[[代数方程式]]の判別式を、終結式による式で計算してみる。判別式を {{mvar|D}} とおく。

=== 二次方程式の判別式 ===
[[二次方程式]]を
:{{math|1=''f''(''x'') = ''ax''{{sup|2}} + ''bx'' + ''c'' = 0}}
とおく。
:{{math|1=''f'''(''x'') = 2''ax'' + ''b''}}
:<math>\begin{align}
D= &\; \frac{(-1)^{2 \cdot (2-1)/2}}{a} \begin{vmatrix}
a  &b  &c \\
2a &b  &  \\
   &2a &b
\end{vmatrix} \\
=  &\; - \begin{vmatrix}
1 &b  &c \\
2 &b  &  \\
  &2a &b
\end{vmatrix} \quad (\mbox{expand by Sarrus' rule}) \\
= &\; -\{ (b^2 +4ac) - 2b^2 \} \\
= &\; b^2 -4ac \quad //
\end{align}</math>

二次方程式 {{math|1=''f''(''x'') = ''ax''{{sup|2}} + ''bx'' + ''c'' = 0}} において、特に {{mvar|b}} が {{math|2}} を因数に持つ場合、
:{{math|1=''b'' = 2''b'''}}
とおくと、
:<math>\frac{D}{4} = b'^2 - ac</math>
となる<ref>二次方程式の一次項が偶数の時に簡便な計算方法として利用されるほか、[[コーシー＝シュワルツの不等式#証明|コーシー＝シュワルツの不等式]]の一般解を二次式と判別式で証明する際などに利用されることがある。</ref>。

二次方程式の係数が実数である場合に、実数解の個数を判定するのによく用いられる。

=== 三次方程式の判別式 ===
[[三次方程式]]を
:{{math|1=''f''(''x'') = ''x''{{sup|3}} + ''px'' + ''q'' = 0}}
とおく。
:{{math|1=''f'''(''x'') = 3''x''{{sup|2}} + ''p''}}
:<math>\begin{align}
D= &\; \frac{(-1)^{3 \cdot (3-1)/2}}{1} \begin{vmatrix}
1 &0 &p &q &  \\
  &1 &0 &p &q \\
3 &0 &p &  &  \\
  &3 &0 &p &  \\
  &  &3 &0 &p
\end{vmatrix} \\
  &           \\
  &(\mbox{eliminate 3rd row by 1st row, 4th row by 2nd row}) \\
  &           \\
= &\; - \begin{vmatrix}
1 &0 &p   &q   &    \\
  &1 &0   &p   &q   \\
0 &0 &-2p &-3q &    \\
  &0 &0   &-2p &-3q \\
  &  &3   &0   &p
\end{vmatrix} \\
= &\; - \begin{vmatrix}
-2p &-3q &    \\
0   &-2p &-3q \\
3   &0   &p
\end{vmatrix} \quad (\mbox{expand by Sarrus' rule}) \\
= &\; -(4p^3 + 27q^2) \quad //
\end{align}</math>

一般の三次方程式 {{math|1=''ax''{{sup|3}} + ''bx''{{sup|2}} + ''cx'' + ''d'' = 0}} の判別式は
:<math>\Delta = b^2c^2-4ac^3-4b^3d-27a^2d^2+18abcd</math>
である。

== 解の公式における判別式 ==
5次以上の[[代数方程式]]には、解の公式が存在しない（[[アーベル-ルフィニの定理]]）。

4次以下の代数方程式には、解の公式に判別式が現れる。

=== 二次方程式の解 ===
[[二次方程式]]
:{{math|1=''f''(''x'') = ''ax''{{sup|2}} + ''bx'' + ''c'' = 0}}
の解には、判別式 {{mvar|Δ}} が含まれる：
:<math>x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a} = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a}</math>
係数 {{math2|''a'', ''b'', ''c''}} が実数の場合：
* {{math|''Δ'' > 0}} のとき、{{math|''f''(''x'') {{=}} 0}} は異なる 2 個の実数解をもつ。
* {{math|''Δ'' {{=}} 0}} のとき、{{math|''f''(''x'') {{=}} 0}} は 1 個の重複する実数解をもつ。 
** 重解は <math>x= -\frac{b}{2a}</math>
* {{math|''Δ'' < 0}} のとき、{{math|''f''(''x'') {{=}} 0}} は1組の[[複素共役|共役]]虚数解をもつ。
** 虚数解は <math>x = \frac{-b \pm i \sqrt{-\Delta}}{2a}</math>

=== 三次方程式の解 ===
{{See|三次方程式#解の様子}}

=== 四次方程式の解 ===
{{See|四次方程式#解の様子}}

=== 高次方程式の解 ===
より一般に、実数係数の {{mvar|n}}次[[代数方程式]]に対して、
* {{math|''Δ'' > 0}}：<math>0 \leq k \leq \frac{n}{4}</math> なるある整数 {{mvar|k}} に対して、{{math|2''k''}}対の共役虚数解と {{math|(''n'' &minus; 4''k'')}}個の実数解があり、全て異なる；
* {{math|''Δ'' < 0}}：<math>0 \leq k \leq \frac{n-2}{4}</math> なるある整数 {{mvar|k}} に対して、{{math|(2''k'' + 1)}}対の共役虚数解と {{math|(''n'' &minus; 4''k'' &minus; 2)}}個の実数解があり、全て異なる；
* {{math|''Δ'' {{=}} 0}}：少なくとも 1個の重解が存在する。実数係数であっても、重根は実数であるとは限らず、虚数の場合もある。

== 一般の可換環上での判別式 ==
係数が一般の[[可換環]]上の[[代数方程式]]に対しても、判別式を定義することができる。ただし、環が[[整域]]でない場合、そのような環においては除法が常には定義されないから、行列式の第1列を最高次係数 <math>a_n</math> で割る替わりに、最高次係数を 1 に置き換えなければならない。この一般化された判別式は[[代数幾何学]]において基本的な次の性質を持つ。

''f'' を係数を可換環 ''A'' に持つ多項式とし、''D'' をその判別式とする。φ を ''A'' から体 ''K'' の中への[[環準同型]]とし、φ(''f'') を ''f'' の係数を φ によるそれらの像によって置き換えて得られる ''K'' 上の多項式とする。すると φ(''D'') = 0 であるのは ''f'' と φ(''f'') の次数の差が少なくとも 2 であるかまたは φ(''f'') が ''K'' の[[代数閉包]]において重根を持つとき、かつそのときに限る。1つ目のケースは φ(''f'') が無限遠点で重根を持つと解釈できる。

この性質が応用される典型的な状況は ''A'' が体 ''k'' 上の（一変数あるいは多変数）多項式環であり φ が ''A'' の不定元への ''k'' の[[体の拡大|体拡大]] ''K'' の元の代入であるときである。

例えば、''f'' が実係数の ''X'' と ''Y'' の二変数多項式であって、''f'' = 0 は平面[[代数曲線]]の陰方程式であるとしよう。''f'' を ''Y'' についての（係数が ''X'' の式である）一変数多項式と見ると、判別式は根が特異点、''Y'' 軸に平行な接線との点、''Y'' 軸に平行な漸近線のいくつか、の ''X'' 座標であるような、''X'' の多項式である。言い換えると ''Y''-判別式と ''X''-判別式の根の計算によって[[変曲点]]を除いて曲線のすべての注目すべき点を計算できる。

== 一般化 ==
判別式の概念は一変数の多項式に加えて[[円錐曲線]]、[[二次形式]]、{{仮リンク|代数体の判別式|label=代数体|en|Discriminant of an algebraic number field}}を含む他の[[代数的構造]]に一般化されている。[[代数的整数論]]における判別式は密接に関係し、[[分岐 (数学)|分岐]]についての情報を含む。実は、分岐のより幾何的なタイプは判別式のより抽象的なタイプにも関係し、それによって多くの応用においてこれが中心的な代数的アイデアになる。

=== 円錐曲線の判別式 ===
二元[[二次方程式]]
:<math>Ax^2+ Bxy + Cy^2 + Dx + Ey + F = 0 \,</math>
で表される平面幾何における[[円錐曲線]]に対して、判別式は<ref>{{Citation
|title=Math refresher for scientists and engineers
|first1=John R.
|last1=Fanchi
|publisher=John Wiley and Sons
|year=2006
|isbn=0-471-75715-2
|pages=44–45
|url=https://books.google.co.jp/books?id=75mAJPcAWT8C&redir_esc=y
}}, [https://books.google.co.jp/books?id=75mAJPcAWT8C&pg=PA45&redir_esc=y#v=onepage&q&f=false Section 3.2, page 45]
</ref>
:<math>B^2 - 4AC</math>
に等しく、円錐曲線の{{仮リンク|幾何学的形状|label=形|en|shape}}を決定する。判別式が 0 よりも小さければ、[[楕円]]か[[円 (数学)|円]]の方程式である。判別式が 0 に等しければ、[[放物線]]の方程式である。判別式が 0 よりも大きければ、[[双曲線]]の方程式である。この公式は退化の場合（多項式が分解するとき）働かない。

=== 二次形式の判別式 ===
判別式は、[[標数]] ≠ 2 の任意の[[可換体|体]] ''K'' 上の[[二次形式]] ''Q'' へ実質的に一般化できる。標数 2 に対しては、対応する不変量は{{仮リンク|アーフ不変量|en|Arf invariant}}である。

二次形式 ''Q'' が与えられたとき、その'''判別式''' (discriminant) または'''行列式''' (determinant) は ''Q'' の[[対称行列]] ''S'' の行列式である<ref>{{Cite book |author=[[:en:J. W. S. Cassels|J.W.S. Cassels]] |title=Rational Quadratic Forms |series=London Mathematical Society Monographs |volume=13 |publisher=[[Academic Press]] |year=1978 |isbn=0-12-163260-1 |zbl=0395.10029 |page=6}}</ref>。

行列 ''A'' による変数変換で対称行列は <math>A^TSA</math> に変わるが、この行列式は <math>(\det A)^2\det S</math> なので、変数変換において判別式は 0 でない平方によって変化し、したがって判別式の類は ''K''/(''K''{{sup|*}}){{sup|2}} において well-defined である。すなわち、0 でない平方を除いて定まる。[[平方剰余]]も参照。

あまり直観的でないが、（二次形式に関する）ヤコビの定理によって、<math>K^n</math> 上の二次形式は変数の線型変換の後、
:<math>a_1 {x_1}^2 + \cdots + a_n {x_n}^2</math>
として'''対角形式''' (diagonal form) で表現できる。より正確には、''V'' 上の二次形式を和
:<math>\sum_{i=1}^n a_i {L_i}^2</math>
として表現できる、ここで ''L{{sub|i}}'' は独立な線型形式であり ''n'' は変数の数である（''a{{sub|i}}'' のいくつかは 0 でもよい）。すると判別式は ''a{{sub|i}}'' の積であり、これは ''K''/(''K''{{sup|*}}){{sup|2}} における類として well-defined である。

''K''='''R'''（実数体）に対して、('''R'''{{sup|*}}){{sup|2}} は正の実数全体であり（任意の正数は 0 でない数の平方である）、したがって商 '''R'''/('''R'''{{sup|*}}){{sup|2}} は 3 つの元、正、0、負を持つ。これは{{仮リンク|符号 (二次形式)|label=符号|en|Signature (quadratic form)}} (''n''{{sub|0}}, ''n''{{sub|+}}, ''n''{{sub|−}}) よりも粗い不変量である。ここで ''n''{{sub|0}} は対角形式における 0 の数であり ''n''{{sub|±}} は ±1 の数である。すると判別式は、形式が退化 (<math>n_0 > 0</math>) であれば 0 であり、そうでなければ負の係数の数のパリティ <math>(-1)^{n_-}</math> である。

''K''='''C''' （複素数体）に対して、('''C'''{{sup|*}}){{sup|2}} は 0 でない複素数であり（任意の複素数は平方である）、したがって商 '''C'''/('''C'''{{sup|*}}){{sup|2}} は 2 つの元、非零と零からなる。

この定義は二次多項式の判別式に一般化される。多項式 <math>ax^2+bx+c</math> を斉次化すると二次形式 <math>ax^2+bxy+cy^2</math> になり、これは対称行列
:<math>\begin{bmatrix}
a   & b/2 \\
b/2 & c
\end{bmatrix}</math>
で表現され、この行列式は <math>ac-(b/2)^2=ac-b^2/4</math> である。−4倍の違いを除いて <math>b^2-4ac</math> と一致する。

実形式の判別式の類の不変量（正、0、負）は、実形式が対応する円錐曲線楕円、放物線、双曲線にそれぞれ対応する。

=== 代数体の判別式 ===
{{See|{{仮リンク|代数体の判別式|en|Discriminant of an algebraic number field}}}}

== 交代式 ==
{{節スタブ|date=2008-12}}
判別式は根たちの[[対称式]]である。その平方根（各冪の半分：[[ヴァンデルモンドの行列式|ヴァンデルモンド多項式]]）を ''n''変数の対称多項式の環 <math>\Lambda_n</math> に添加すれば、[[交代式]]の環を得、これはしたがって <math>\Lambda_n</math> の二次拡大である。

簡単にいえば、判別式はその定義式の形から、その平方根は根の偶置換により不変であり、奇置換により符号が反転する。

== 参考文献 ==
{{Reflist}}

== 外部リンク ==
*{{MathWorld |urlname=PolynomialDiscriminant |title=Polynomial Discriminant}}
*{{PlanetMath |urlname=discriminant |title=discriminant}}<!-- paying only
*[https://www.jstor.org/stable/3619560?seq=1 The geometry of the discriminant of a polynomial (1996)]-->

{{多項式}}

{{DEFAULTSORT:はんへつしき}}
[[Category:多項式]]
[[Category:円錐曲線]]
[[Category:二次形式]]
[[Category:行列式]]
[[Category:代数的整数論]]
[[Category:数学に関する記事]]