前測度のソースを表示

[[数学]]の分野における'''前測度'''（ぜんそくど、{{Lang-en-short|pre-measure}}）とは、ある意味において、ある与えられた空間上の「真の」[[測度論|測度]]の前身となる測度である。実際、測度論における基本定理では、すべての前測度は測度へと拡張することができると述べられている。

== 定義 ==
''R'' を、ある固定された集合 ''X'' に対する（[[差集合|相対差]]について閉じている）[[集合環|部分環]]とし、''μ''{{sub|0}}: ''R'' → [0, +∞] を集合関数とする。''μ''{{sub|0}} が'''前測度'''であるとは、
:<math>\mu_0(\emptyset) = 0</math>
が成り立ち、また、合併が ''R'' に属するようなすべての[[素集合|互いに素]]な集合の[[可算集合|可算列]] {''A{{sub|n}}''} に対して
:<math>\mu_0 \left ( \bigcup_{n=1}^\infty A_n \right ) = \sum_{n=1}^\infty \mu_0(A_n)</math>
が成り立つことをいう。2つ目の性質は[[完全加法的集合関数|σ-加法性]]と呼ばれる。

したがって、前測度が測度となる上で欠けている点とは、それが必ずしもσ-代数（あるいは[[σ集合環|σ-環]]）上で定義されてはいないということである。

== 拡張定理 ==
空間 ''X'' のすべての部分集合上で定義されるような[[外測度]]へと、前測度は極めて自然に拡張されることが分かる。より正確に、''μ''{{sub|0}} が空間 ''X'' の部分集合環 ''R'' 上で定義される前測度であるなら、
:<math>\mu^* (S) = \inf \left\{ \left. \sum_{n=1}^{\infty} \mu_0(A_n) \right| A_n \in R, S \subseteq \bigcup_{n=1}^{\infty} A_i \right\}</math>
で定義される集合関数 ''μ''{{sup|∗}} は ''X'' 上の外測度であり、カラテオドリ可測集合の σ-代数 Σ 上で ''μ''{{sup|∗}} により導かれる測度 ''μ'' は、<math>A\in R</math> に対して <math>\mu(A)=\mu_0(A)</math> を満たす（特に、Σ は ''R'' を含む）。

（この記事で用いられている語には、別の用法がいくつか存在することに注意されたい。例えば Rogers (1998) では、この記事における「外測度」のことは「測度」と呼ばれている。外測度は σ-加法的でないこともあり得るため、一般的には測度とは異なる）。

== 参考文献 ==
* {{Cite book
|last = Munroe
|first = M. E.
|title = Introduction to measure and integration
|publisher = Addison-Wesley Publishing Company Inc.
|location = Cambridge, Mass.
|year = 1953
|page = 310
}} {{MathSciNet|id=0053186}}
* {{Cite book
|author = Rogers, C. A.
|title = Hausdorff measures
|edition = Third
|series = Cambridge Mathematical Library
|publisher = Cambridge University Press
|location = Cambridge
|year = 1998
|page = 195
|id = ISBN 0-521-62491-6
}} {{MathSciNet|id=1692618}}（1.2節を参照）
* {{Cite book
|author = Folland, G. B.
|title = Real Analysis
|edition = Second
|series = Pure and Applied Mathematics
|publisher = John Wiley & Sons, Inc
|location = New York
|year = 1999
|pages = 30-31
|id = ISBN 0-471-31716-0
}}

== 関連項目 ==
* [[カラテオドリの拡張定理]]
* [[ホップの拡張定理]]

{{DEFAULTSORT:せんそくと}}
[[Category:測度論]]
[[Category:数学に関する記事]]