剣持点のソースを表示

[[ファイル:Kenmotu Point.png|サムネイル|333x333ピクセル|剣持点]]
[[幾何学]]において、'''剣持点'''（けんもつてん、けんもちてん<ref name=":1">{{Cite web |title=三角形の心 |url=http://taurus.ics.nara-wu.ac.jp/wd/glossary/triangle-centers.html |website=taurus.ics.nara-wu.ac.jp |access-date=2024-07-15}}</ref>、{{Lang-en|Kenmotu point}}）は[[和算]]で発見された[[三角形の中心]]の一つである<ref>{{Cite web |title=Kenmotu Point |url=https://mathworld.wolfram.com/KenmotuPoint.html |website=mathworld.wolfram.com |access-date=2024-07-06 |language=en |first=Eric W. |last=Weisstein}}</ref><ref>{{Cite journal|last=Kimberling|first=Clark|date=2006-12-01|title=Traditional Japanese mathematics problems of the 18th and 19th centuries; Japanese temple geometry problems San Gaku|url=https://doi.org/10.1007/BF02987007|journal=The Mathematical Intelligencer|volume=|issue=38|pages=61–63|language=en|doi=10.1007/BF02987007|issn=0343-6993}}</ref><ref name=":0">{{Cite journal |author=Eric Danneels |year=2005 |title=The Eppstein Centers and the Kenmotu Points |url=https://api.semanticscholar.org/CorpusID:122771000}}</ref><ref>{{Cite journal|和書|author=河本知徳，小寺裕|year=2001|title=剣持点について|journal=初等数学|volume=|issue=41|pages=35-39|publisher=初等数学の会|ISSN=1345-739X|url=http://www.wasan.jp/shotosugaku/syoto41.pdf|format=PDF}}</ref><ref>{{Cite journal|和書|author=屯候|year=2001|title=剣持点とその拡張|journal=初等数学|volume=|issue=41|pages=40-41|publisher=初等数学の会|ISSN=1345-739X|url=http://www.wasan.jp/shotosugaku/syoto41.pdf|format=PDF|quote=2001年3月 桃の花号}}</ref>。探賾算法を著作した[[剣持章行]]の名を冠する<ref>{{Cite web |title=探賾算法 {{!}} 東北大学総合知デジタルアーカイブポータル |url=https://touda.tohoku.ac.jp/portal/item/10020000003699 |website=touda.tohoku.ac.jp |access-date=2024-07-15 |language=ja}}</ref>。剣持点の英名は"Kenmotu"であるが、剣持章行の苗字の読みは「けんもち」である<ref>{{Cite web |title=剣持章行(けんもちあきゆき)とは？ 意味や使い方 |url=https://kotobank.jp/word/%E5%89%A3%E6%8C%81%E7%AB%A0%E8%A1%8C-1073545 |website=コトバンク |access-date=2024-07-15 |language=ja |first=改訂新版 世界大百科事典,デジタル版 |last=日本人名大辞典+Plus,世界大百科事典内言及}}</ref>。また、その定義から合同正方形点（{{Lang|en|congruent squares point}}）とも呼ばれる<ref name=":1" />。{{要出典範囲|また[[フェルマー点]]との深い関係があることがわかっている。|date=2024年2月}}

== 定義 ==
[[三角形]]{{Math|△''ABC''}}について、三角形の内部にある''{{Mvar|AB,BC}}''上、''{{Mvar|BC,CA}}''上、''{{Mvar|CA,AB}}''上に頂点を持つ合同な3つの[[正方形]]のある[[頂点]]は一致する。正方形が三角形の内部にある場合これを剣持点または第一剣持点（1st Kenmotu point）という。また、剣持点と辺上の点でない正方形の頂点から成る三角形と基準三角形は[[配景]]である。これを第二剣持点（2nd Kenmotu point）という。

== 三線座標 ==
剣持点は[[Encyclopedia of Triangle Centers]]のX<sub>371</sub>,X<sub>372</sub>に登録されている。それぞれの[[三線座標]]は以下の式で与えられる<ref>{{Cite web |title=ENCYCLOPEDIA OF TRIANGLE CENTERS |url=https://faculty.evansville.edu/ck6/encyclopedia/ETC.html#X371 |website=faculty.evansville.edu |access-date=2024-07-06}}</ref>。

<math>\cos(A-\frac{\pi}{4}):\cos(B-\frac{\pi}{4}):\cos(C-\frac{\pi}{4}) </math>

<math>\cos(A+\frac{\pi}{4}):\cos(B+\frac{\pi}{4}):\cos(C+\frac{\pi}{4}) </math>

== 剣持円 ==
剣持点を構成する正方形の三角形の辺上にある点計6点は[[共円]]である。この円を剣持円（Kenmotu Circle）という<ref>{{Cite web |title=Kenmotu Circle |url=https://mathworld.wolfram.com/KenmotuCircle.html |website=mathworld.wolfram.com |access-date=2024-07-06 |language=en |first=Eric W. |last=Weisstein}}</ref>。[[半径]]は次の式で与えられる。また円の中心は第一剣持点である。

<math>R_{k}=R\frac{\sin\,\omega}{\sin\,\omega+\frac{\pi}{4}}=\frac{\sqrt{2}abc}{4S+a^2+b^2+c^2}   </math>

ただし''{{Mvar|R}}''は[[外接円]]の半径、''{{Mvar|ω}}''は[[ブロカール点|ブロカール角]]、''{{Mvar|a,b,c}}''は三角形の[[辺]]長、''{{Mvar|S}}''は[[面積]]、である。

剣持円は[[タッカー円]]に属する。

== 性質 ==

=== 第一剣持点 ===

* [[外接円]]と[[ルモワーヌ点|第二ルモワーヌ円]]の内相似点である。
* [[ブロカール点|ブロカール軸]]上にある。
* 外[[ベクタン点]]の等角共役点である。

=== 第ニ剣持点 ===

* {{Math|△''ABC''}}について、三角形の外部にある''{{Mvar|AB,BC}}''上、''{{Mvar|BC,CA}}''上、''{{Mvar|CA,AB}}''上に頂点を持つ合同な3つの[[正方形]]のある頂点は第ニ剣持点で一致する<ref name=":0" />。
* [[ブロカール点|ブロカール軸]]上にある。
* 内ベクタン点の等角共役点である。
* 外接円と第二ルモワーヌ円の外相似点である。

==一般化==
正方形を[[ひし形]]にした場合にしても同様の点が存在する。つまり、{{Math|△''ABC''}}について、三角形の内部にある''{{Mvar|AB,BC}}''上、''{{Mvar|BC,CA}}''上、''{{Mvar|CA,AB}}''上に頂点を持つ合同な3つの[[ひし形]]のある頂点は一致する<ref>{{Cite journal|last=Lamoen|first=Floor Van|date=2000-01-01|title=Triangle Centers Associated with Rhombi|url=https://www.academia.edu/54595630/Triangle_Centers_Associated_with_Rhombi|journal=Elemente der Mathematik}}</ref>。これはCongruent rhombi pointと呼ばれる。

== 関連 ==

* [[ソディ円|エプシュタイン点]]
* [[類似重心]]
* [[イフ合同心]]
* [[合同辺平行線点]]
* [[合同二等辺化線点]]
* [[等力点]]
* [[タッカー円]]

== 出典 ==
{{Reflist}}

{{デフォルトソート:けんもつてん}}
[[Category:三角形]]
[[Category:三角形の中心]]
[[Category:数学のエポニム]]
[[Category:数学に関する記事]]
[[Category:円 (数学)]]
[[Category:和算]]