割線法のソースを表示

'''割線法'''（かっせんほう）または'''セカント法'''<ref>{{cite|和書 |editor= |author=小澤一文  |title=Cで学ぶ数値計算アルゴリズム |edition= |publisher=共立出版 |year=2008  |isbn=978-4-320-12221-5 |page=40}}</ref>（{{Lang-en-short|secant method}}）とは、[[求根アルゴリズム]]の一種である。（[[割線]]とは曲線上の2点以上と交わる直線のこと。）

==割線法==
[[File:Secant method 2.svg|thumb|250px|割線法による反復の様子。割線の[[切片 (数学)|切片]]が次の値と対応する。]]
非線形方程式 {{math|''f'' (''x'') {{=}} 0}} の解 {{math|''x''{{sub|&lowast;}}}} を1つ求めるとき、（必要なら[[二分法]]などを用いて）十分に近い初期値 {{math|''x''{{sub|0}}}}, {{math|''x''{{sub|1}}}} を選び、次の[[反復計算]]をすることで {{math|''x''{{sub|&lowast;}}}} の近似値を求める。
:<math>x_{k+1} = x_k - f(x_k)\frac{x_k-x_{k-1}}{f(x_k)-f(x_{k-1})}</math>
関数 {{math|''f''}} が2回[[連続微分可能]]で {{math|''f'' &prime;(''x''{{sub|&lowast;}}) ≠ 0}} かつ {{math|''f'' &Prime;(''x''{{sub|&lowast;}}) ≠ 0}} ならば数列 {{math|''x''{{sub|''k''}}}} は {{math|''x''{{sub|&lowast;}}}} に収束し、その{{仮リンク|収束次数|en|Rate of convergence}}は {{math|[[黄金数|''&varphi;'']] {{=}} (1 + {{sqrt|5}})/2 &asymp; 1.6}} である<ref>{{SpringerEOM|title=Secant method|urlname=Secant_method}}</ref>。

==ニュートン法との関係==
[[File:Newton iteration.svg|thumb|250px|ニュートン法による反復の様子。接線の切片が次の値と対応する。]]
割線法は[[ニュートン法]]の反復計算
:<math>x_{k+1} = x_k - \frac{f(x_k)}{f'(x_k)}</math>
に現れる[[微分係数]] {{math|''f'' &prime;(''x''{{sub|''k''}})}} を計算せずに
:<math>f'(x_k)\simeq \frac{f(x_k)-f(x_{k-1})}{x_k-x_{k-1}}</math>
によって[[差分商]]で近似した（幾何学的には[[接線]]を割線で代替した）方法に相当する。

単純に差分近似しただけのニュートン法と比較すると　割線法は収束までの反復数は増えるが、1反復あたりの関数評価回数は少ない。したがって総演算量に対し関数評価コストの占める割合が大きい場合には、収束までの計算時間が短縮できることもある。

==参考文献==
{{reflist}}

==関連項目==
{{Div col}}
*[[二分法]]
*[[ニュートン法]]
* {{仮リンク|はさみうち法|en|Regula falsi}}
{{Div col end}}

== 外部リンク ==
*{{PDFlink|[https://wwwnucl.ph.tsukuba.ac.jp/~hinohara/compphys2-20/doc/lecturematerial2-9.pdf 計算物理学 II 第 9 回：非線形方程式の解法]}}
*[https://qiita.com/omu58n/items/7ad90a2a7a9cdbc82e41 割線法（非線形方程式の数値解法）]
*[https://qiita.com/roadto93ds/items/6dbbf4fe6e3b83e44498 セカント法（割線法）]
*{{MathWorld|title=Secant Method|urlname=SecantMethod}}

=== 動画 ===
*{{YouTube|g9JKpwdhOm4|非線型方程式の解法―割線法の前提と考え方}}
*{{YouTube|PsDdHLpN3Dg|非線型方程式の解法―割線法のアルゴリズムと特徴}}

{{デフォルトソート:かつせんほう}}
[[Category:求根アルゴリズム]]
[[Category:数学に関する記事]]