力の流れのソースを表示

'''力の流れ'''とは、[[材料力学]]において固体材料内の[[応力]]分布を[[流線]]のように表示する図示方法である。'''力の流線'''<ref name=tooda>{{cite|和書|author=遠田治正|title=CAEのための材料力学|publisher=日刊工業新聞社|year=2015|isbn=978-4-526-07374-8|page=69}}</ref>、'''力線'''とも呼ばれる。

==性質==
力の流れは以下の性質を持つ。
* 固体内部を通る互いに交わらない曲線群である。
* 境界面（材料表面）との関係において、[[外力]]を負荷する面とのみ交差し、外力のはたらかない面とは交わらない。
* 流れが平行な所では、流れの方向に向かって応力は変化しない<ref name=tooda/>。
* 流れが密となる所、流れが曲がる所では、応力は高くなる<ref name=tooda/>。たとえば材料内の円孔周りの[[応力集中]]は、力の流線が孔を回避するように曲がり、密になることから説明される。

==理論的背景==
力の流れについて定まった理論的根拠は存在しない。そのため手法がいくつか提案されている。
; [[主応力]]による説明
; 光弾性試験による説明: [[光弾性]]試験を行い、その応力状態に応じた縞模様によって定義される。

===エアリーの応力関数による説明===
力の流れで応力状態を知ることができる理論的背景のひとつは、エアリーの[[応力関数]]と[[流れ関数]]の相似性である。[[平面応力状態|2次元応力状態]]において、応力関数 {{math|&phi;}} は[[重調和関数]]（{{math|&nabla;<sup>4</sup>&phi;  {{=}} 0}}）であり、境界上で
:<math>\phi=\mathrm{const},\quad \frac{\partial\phi}{\partial n}=0</math>
を満たす。ここで {{math|''n''}} は境界の法線方向ベクトルである。また応力関数 {{math|&phi;}} により、単位厚さあたりの合力 {{math|'''p''' {{=}} (''p<sub>x</sub>'', ''p<sub>y</sub>'')}} を
:<math>p_x=\frac{\partial\phi}{\partial y},\quad p_y=-\frac{\partial\phi}{\partial x}</math>
と書くことができる。

一方、2次元[[非圧縮性流れ]]に対して、流れ関数 {{math|&psi;}} は[[調和関数]]（{{math|&nabla;<sup>2</sup>&psi;  {{=}} 0}}）であり、境界上で
:<math>\frac{\partial\psi}{\partial t}=0,\quad \frac{\partial\phi}{\partial n}=0</math>
を満たす。ここで {{math|''t''}} は境界の接線方向ベクトルである。また流れ関数 {{math|&psi;}} により、速度（流線の接線ベクトル） {{math|'''u''' {{=}} (''u<sub>x</sub>'', ''u<sub>y</sub>'')}} を
:<math>u_x=\frac{\partial\psi}{\partial y},\quad u_y=-\frac{\partial\psi}{\partial x}</math>
と書くことができる。

以上のように、単位厚さあたりの合力 {{math|'''p'''}} と速度 {{math|'''u'''}} が類似の微分方程式を満たすことから“力”を“流れ”であるかのように扱うことができる。  この方法は厳密には[[平面応力状態]]の場合にしか適用できないが、3次元応力状態を定性的に捉えたい場合にも近似的に適用される。

== 脚注 ==
{{脚注ヘルプ}}
{{Reflist}}

{{デフォルトソート:ちからのなかれ}}
[[Category:固体力学]]