力 (物理学)のソースを表示

[[物理学]]における{{読み仮名|'''力'''|ちから|{{lang-en-short|force}}}}とは、[[物体]]の[[状態]]を変化させる原因となる[[作用 (物理学)|作用]]であり{{sfn|培風館物理学三訂版|2005|loc=【力】}}、その作用の大きさを表す[[物理量]]である。特に質点の[[動力学]]においては、質点の[[運動_(物理学)|運動]]を変化させる[[状態量]]のことをいう{{sfn|小出|1997|p=18}}。広がりを持つ物体の場合は、運動状態とともにその形状を変化させる。

本項ではまず、[[古代]]の[[自然哲学]]における力の扱いから始め[[近世]]に確立された「[[ニュートン力学]]」や、[[古典物理学]]における[[力学]]、すなわち[[古典力学]]の発展といった歴史について述べる。

次に歴史から離れ、現在の一般的視点から古典力学における力について説明し、その後に古典力学と対置される[[量子力学]]について少し触れる。

最後に、力の概念について時折なされてきた、「[[形而上学]]的である」といったような批判などについて、その重要さもあり、項を改めて扱う。

== 歴史 == 
[[自然哲学]]において、力という概念は、何かに内在すると想定されている場合と、外から影響を及ぼすと想定されている場合がある。古代より思索が重ねられてきた。

=== 古代 ===
[[プラトン]]は物質は[[プシュケー]]を持ち運動を引き起こすと考え、[[デュナミス]]という言葉に他者へ働きかける力と他者から何かを受け取る力という意味を持たせた。

[[アリストテレス]]は『[[自然学 (アリストテレス)|自然学]]』という書を著したが、物質の本性を因とする自然な運動と、物質に外から強制的な力が働く運動を区別した。

6世紀の[[ヨハネス・ピロポノス]]は、物質そのものに力があると考えた。

[[アラビア半島]]の自然哲学者ら（[[イスラム科学]]）の中にはピロポノスの考えを継承する者もいた。

=== ルネサンス以降 === 
14世紀の[[ジャン・ビュリダン]]は、物自体に ''{{lang|la|impetus}}''（インペトゥス、いきおい）が込められているとして、それによって物の運動を説明した。これをインペトゥス理論と言う。

[[Image:StevinEquilibrium.svg|right|200px|thumb|'''ステヴィンの機械'''。斜面上に等間隔に重さの等しい球を配置する。それぞれの球を縄で繋ぎ鎖を作る。このとき鎖が[[斜面]]上の一方へと回転するなら、これは[[永久機関]]として利用できる。]]
[[ベルギー]]出身の[[オランダ人]]工学者[[シモン・ステヴィン]] ([[:en:Simon Stevin|Simon Stevin]]、1548 &mdash; 1620) は力の合成と分解を正しく扱った人物として有名である。1586年に出版した著書 "''De Beghinselen Der Weeghconst'' " の中でステヴィンは[[斜面]]の問題について考察し、「ステヴィンの機械」と呼ばれる架空の[[永久機関]]が実際には動作しないことを示した<ref group="注">ステヴィンによるこの問題の証明は ''{{en|Epitaph of Stevinus}}'' （ステウィヌスの碑）と呼ばれる。Stevinus はステヴィンのラテン語名。</ref>。つまり、どのような斜面に対しても斜面の頂点において力の釣り合いが保たれるには[[力の平行四辺形]]が成り立っていなければならないことを見出したのである。

力の合成と分解の規則は、ステヴィンが最初に発見したものではなく、それ以前にもそれ以後にも様々な状況や立場で論じられている。同時代の発見として有名なものとして[[ガリレオ・ガリレイ]]の理論がある。ガリレオは斜面の問題が[[てこ]]などの他の機械の問題に置き換えられることを見出した。

その後、フランスの数学者、天文学者である[[フィリップ・ド・ラ・イール]] (1640 &mdash; 1718) は数学的な形式を整え、力を[[空間ベクトル]]として表すようになった{{refnest|group="注"|ただし現在用いられるベクトルの記法が発達したのは[[19世紀]]以降である{{sfn|湯川|1975|pp=58&ndash;62}}。}}。

[[ルネ・デカルト]]は[[渦動説]] ({{en|Cartesian Vortex}}) を唱え、「''空間には隙間なく目に見えない何かが満ちており、物が移動すると渦が生じている'' 」とし、物体は[[エーテル (物理学)|エーテル]]の[[渦]]によって動かされていると説明した{{sfn|Barbour|2001}}{{sfn|内井|2006}}。

=== ニュートン力学 ===
現代の力学に通じる考え方を体系化した人物として、しばしば[[アイザック・ニュートン]]が挙げられる。<!--[[ガリレオ・ガリレイ|ガリレオ]]、[[ヨハネス・ケプラー|ケプラー]]など先行する研究は存在するが、力学的な力の本質を運動を変化させる働きにあるとし、運動が変化するとはどういうことか、裏返せば運動が変化しないということはどういうことかを現代的視点から体系的に記述した初めての人物である{{要出典|date=2008年11月}}。-->ニュートンは[[ガリレオ・ガリレイ]]の動力学も学んでいた。またデカルトの著書を読み、その渦動説についても知っていた（ただしこの渦動説の内容については批判的に見ていた）。

ニュートンは1665年から1666年にかけて数学や自然科学について多くの結果を得た。特に物体の運動について、力の平行四辺形の法則を発見している。この結果は後に『[[自然哲学の数学的諸原理]]』（プリンキピア、1687年刊）の中で[[運動の第2法則]]を用いて説明されている<ref>[[s:en:The Mathematical Principles of Natural Philosophy (1729)/Axioms, or Laws of Motion|Newton's ''Mathematical Principles of Natural Philosophy'', Axioms or Laws of Motion, Corollary I]]. [[s:メインページ|ウィキソース]]。</ref>。

ニュートンはその著書『自然哲学の数学的諸原理』において、[[運動量]] ({{en|quantity of motion}}) を物体の速度と質量 ({{en|quantity of matter}}) の[[積]]として定義し、運動の法則について述べている。ニュートンの運動の第2法則は「''運動の変化は物体に与えられた力に比例し、その方向は与えられた力の向きに生じる'' 」というもので、これは現代的には以下のように定式化される。
:<math>\frac{\mathrm{d}\boldsymbol{p}}{\mathrm{d}t} = \boldsymbol{F}\,</math><ref group="注" name="futoji">太字の変数は[[空間ベクトル|ベクトル]]量を表す。</ref>
ここで {{math|{{sfrac|d'''''p'''''|d''t''}}}} は物体が持つ運動量 '''{{mvar|p}}''' の[[時間微分]]、'''{{mvar|F}}''' は物体にかかる力を表す。このニュートンの第2法則は、[[運動の第1法則]]が成り立つ[[慣性系]]において成り立つ。

ニュートン自身は第2法則を[[微分]]を用いた形式では述べていない。運動の変化 ({{en|alteration of motion}}) を運動量の変化と解釈するなら、それは[[力積]]に相当する。

== 熱力学 ==

=== エネルギーと力 ===
{{main|エネルギー保存の法則}}
[[熱力学]]が形成される19世紀前半までは、現在の[[エネルギー]]に相当する概念が力（{{lang-la-short|''vis''}}, {{lang-en-short|force}}, {{lang-de-short|Kraft}}）と呼ばれていた。
たとえば、[[ルドルフ・クラウジウス]]は1850年の論文 ,,''{{de|&Uuml;ber die bewegende Kraft der W&auml;rme}}'' "{{sfn|Clausius|1850}}で[[熱力学第一法則]]について述べているが、{{de|Kraft}} という語を用いているし、その英訳でも {{en|Force}} が用いられている。

現在の[[運動エネルギー]]に対応する概念について、1676年から1689年の頃に[[ゴットフリート・ライプニッツ]]は ''{{la|vis viva}}'' と名付けた。これは当時の運動に関する[[保存則]]の議論の中で、保存量として提案されたものである。

1807年に、[[トマス・ヤング]]は ''{{la|vis viva}}'' にあたる概念を'''エネルギー'''と名付けたが、すぐさまそれが一般に用いられることはなかった。[[力学]]の言葉として'''運動エネルギー'''や'''[[位置エネルギー]]'''が定義されるのは1850年以降のことで、運動エネルギーは1850年頃に[[ウィリアム・トムソン]]によって、位置エネルギーは1853年に[[ウィリアム・ランキン]]によってそれぞれ定義されている{{sfn|Rankine|1853}}。

== 古典力学 ==
{{古典力学}}
{{物理量
|英語=force
|画像=[[画像:Mehaaniline töö.png|250px]]
|記号={{mvar|F}}
|次元=[[質量|M]] [[長さ|L]] [[時間|T]] {{sup-|2}}
|階=[[ベクトル]]
|SI=[[ニュートン (単位)|ニュートン]] (N)
|CGS=[[ダイン]] (dyn)
|FPS=[[パウンダル]] (pdl)
|MKSG=[[重量キログラム]] (kgf)
|CGSG=[[重量グラム]] (gf)
|FPSG=[[重量ポンド]] (lbf)
}}
=== 定義 ===
[[古典力学]]における'''力'''（{{lang-en|force}}）の、最も初等的な定義は[[質量]]と[[加速度]]の積を力とするものである。
:<math>\boldsymbol{F} = m\boldsymbol{a}.</math><ref group="注" name="futoji" />
ここで '''{{mvar|F}}''' は[[物体]]に働く力、{{mvar|m}} は物体の質量、'''{{mvar|a}}''' は物体の加速度を表す<ref group="注">力、質量、加速度の順序や記号は単に慣習的なものであり、文献によって様々な表現がある。例えば {{math|1=''m'''a''''' = '''''F'''''}} のように書かれている文献も数多くある。いずれにせよ、数学上あるいは物理学上の意味は同じである。</ref>。力は向きと大きさによって特徴づけられ、一般にはベクトル量として表現される。この定義は[[ニュートン力学]]<ref group="注" name="Newtonian">古典力学のうち、非[[相対性理論|相対論]]的な[[力学]]をニュートン力学と呼ぶ。ただし文献によっては古典力学に相対論を含めないものもある。</ref>における[[運動量]]の定義と[[運動の第2法則]]から導かれる。上述の {{math|1='''''F''''' = ''m'''a'''''}} はしばしば[[ニュートンの運動方程式]]（あるいは短縮して[[運動方程式]]）と呼ばれる。

一般に力は[[運動の第2法則]]を満たし、物体に働く'''力の総和'''（合力）は[[運動量]]の時間変化に等しい。
:<math>\boldsymbol{F} = \frac{\mathrm{d}\boldsymbol{p}}{\mathrm{d}t}\,.</math>
ここで '''{{mvar|F}}''' は[[物体]]に働く力、'''{{mvar|p}}''' は物体の運動量、{{mvar|t}} は[[慣性系]]の時刻を表す。[[ニュートン力学]]において運動量は速度 '''{{mvar|v}}''' と慣性質量 {{mvar|m}} の積で表され、
:<math>\boldsymbol{p} = m\boldsymbol{v}</math>
また速度 '''{{mvar|v}}''' の時間微分は加速度 '''{{mvar|a}}''' であることから、物体の慣性質量は一定である場合について、次の関係が成り立つ。
:<math>\boldsymbol{F} = m\boldsymbol{a}\,.</math>
以上は相対論を考えに入れない場合である。そのため実際には、慣性系から見た対象の（相対）速度が光速に近くなると良い近似ではなくなる。[[特殊相対性理論]]では[[慣性系]]の定義のほか、運動量の定義もまたニュートン力学と異なる。相対論的な粒子の運動量をニュートン力学に合わせて表現すると、運動量は以下のように修正される。
:<math>\boldsymbol{p} = \frac{m}{1 - v^2/c^2}\boldsymbol{v}.</math><ref group="注" name="relativistic_momentum">この運動量は[[四元運動量]]の空間成分である。</ref>
ここで {{mvar|c}} は[[光速]]であり、{{mvar|m}} は[[不変質量]]（静止質量）である。したがって、運動方程式は以下のようになる。
:<math>\boldsymbol{F} = \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\left(\frac{m}{1 - v^2/c^2}\boldsymbol{v}\right).</math>
光速に対して速度の大きさ {{mvar|v}} が極めて小さければ、相対論的な運動量はニュートン力学における定義とほとんど一致する。たとえば[[音速]]は光速の 0.0001% 程度であり、地球上で起こる大抵の運動に関してはニュートン力学を適用することができる。

運動の第2法則は慣性系においてのみ成り立ち、慣性系は[[運動の第1法則]]によって定義される。一般に取り扱われる系が完全な意味で慣性系であることはなく、例えば地上の運動は少なからず地球の[[自転]]の影響を受けるが、自転によって生じる[[慣性力]]を運動方程式に加えることで、非慣性系の運動を慣性系の場合と同じように取り扱うことができる。

[[ニュートン力学]]では、[[運動の第3法則]]が成り立つ。運動の第3法則は「作用反作用の法則」とも呼ばれ、作用（力）に対してその対となる反作用が必ず存在することを述べる。例えば物体Aから物体Bに及ぼされる力 {{math|''F''<sub>A &rarr; B</sub>}} が存在するとき、それを打ち消す力 {{math|''F''<sub>B &rarr; A</sub>}} が物体Bから物体Aへ及ぼされる。両者の和を考えるとこれは常に 0 に等しくなる。
:<math>F_\mathrm{A \to B} + F_\mathrm{B \to A} = 0.</math>
作用反作用の法則は[[慣性力]]に対しては成り立たず、この意味で慣性力は'''見かけの力''' ({{en|fictitious force}}) であるということができる。慣性力は慣性系から非慣性系へ視点を移した際に現れる力であり、その反作用は存在しない。ニュートン力学においては慣性力を除くすべての力が物体間の相互作用として理解されるが、[[電磁場]]のような[[場]]との相互作用を含める場合、物体間だけで相互作用が閉じるという前提は破綻し、その結果として上述の作用反作用の法則が成り立たなくなる。そのため、電磁場を含む力学においては、作用反作用の法則は[[電磁気学]]に適合するように修正される。

作用反作用の法則はより一般化され[[運動量保存則]]として述べれられることがある。運動量保存則に則した立場では、力は物体間（あるいは物体と[[場]]の間）で行われる相互の[[運動量]]の授受を示すものと理解できる。ある時間に物体に及ぼされる力の総和と時間の積、すなわち力の時間に関する[[積分法|積分]]は、その時間における物体の運動量の変化量に等しい。この運動量の変化量は[[力積]]と呼ばれる。

古典力学で採用される運動の諸法則によって定められる範囲では、力の定義は速度や加速度のような運動学的な量に比べて抽象的である。より具体的な定義は個々の[[現象論]]によって与えられる。多くの場合、[[地球]]の[[重力]]や[[ばね]]の復元力のように何らかの[[ポテンシャル]]を最小化しようとする働きとして表される。

通常、力はそれが働く物体に付随するものとして考えられるため、力に個々の作用点を付して特別に注意を払うことはない。しかしながらより一般的に、ある点に対してその点を作用点とする力を与える[[関数 (数学)|関数]]を用いて運動を捉えることもできる。そのような関数は'''力の[[場]]''' ({{en|field of force}}) とか'''力場'''と呼ばれる{{sfn|江沢|2005|p=91}}{{sfn|新井|2003|pp=151&ndash;152}}。力の場は、[[空間]]の点に対してその点に束縛されたベクトルを与える関数であり、このような関数は[[ベクトル場]]と総称される。力の場は、文脈に応じていくつか異なる定義が与えられる。一つの定義では、単位質量の試験物体に加えられる力を与える場をいい、別の定義では単にある物体に働く力を与える場とされる{{sfn|新井|2003|p=152}}。前者の定義では、何らかの[[単位系]]で質量が 1 となる<ref group="注">科学技術分野で一般的な[[国際単位系]]では質量の基本単位は[[キログラム]]である。従ってこの場合の単位質量は {{val|1|u=kg}} となる。[[ヤード・ポンド法]]では質量の基本単位は[[ポンド (質量)|ポンド]]となるため、単位質量は {{val|1|u=lb}} となる。</ref>物体に働く力を与える。従ってその[[量の次元]]は {{sfrac|力|質量}} となる。後者の定義は前者の場 {{math|'''''F'''''('''&middot;''')}} に適当な質量 {{mvar|m}} を乗じた場 {{math|''m'''F'''''('''&middot;''')}} に相当する。この場合、ある点 {{mvar|'''x'''}} で物体に働く力は {{math|''m'''F'''''('''''x''''')}} と表される。具体的な力の場は何らかの[[ポテンシャル]]によって与えられる。例として、[[重力]]ポテンシャルや[[電磁ポテンシャル]]などが挙げられる。

力は文脈によって、[[相互作用#物理学|相互作用]] ({{en|interaction}})、作用 ({{en|action}}) などとも呼ばれる。ただし、相互作用は（本質的には多体間の）[[ポテンシャル]]を指すこともあり、また[[最小作用の原理|作用]]は[[解析力学]]においては力と異なる概念として定義されている。

==== 次元と単位 ====
{{seealso|ニュートン (単位)|国際単位系|SI基本単位の再定義 (2019年)|国際量体系|次元解析}}
力の[[量の次元]]は MLT<sup>&minus;2</sup>（[質量]&times;[長さ]&times;[時間]<sup>&minus;2</sup>）である<ref group="注" name="power">記号に対する上付きの添字はその量の[[冪|ベキ]]を表す。たとえば {{math|A<sup>2</sup>}} は {{math|A &times; A}} を意味する。[[正の数と負の数|負数]]のベキは[[逆数]]のベキを表し、たとえば {{math|B<sup>&minus;2</sup>}} は {{math|{{sfrac|1|B}} &times; {{sfrac|1|B}}}}、つまり {{math|{{sfrac|1|B&times;B}}}} を意味する。折衷的な表現として {{math|B<sup>&minus;2</sup>}} を {{math|{{sfrac|1|B<sup>2</sup>}}}} と表すこともしばしばある。</ref>。力の次元が他の量の次元によって組み立てられることは、[[ニュートン力学]]において力 '''{{mvar|F}}''' が[[質量]] {{mvar|m}} と[[加速度]] '''{{mvar|a}}''' の積として与えられること、
:<math>\boldsymbol{F} = m\boldsymbol{a},</math>
加速度 '''{{mvar|a}}''' が、加減速される時間に対する[[速度]] '''{{mvar|v}}''' の変化の割合、すなわち速度の[[時間微分]]として定義されること、
:<math>\boldsymbol{a}(t) = \frac{\mathrm{d}\boldsymbol{v}(t)}{\mathrm{d}t},</math>
速度 '''{{mvar|v}}''' もまた、運動する時間に対する[[位置]] '''{{mvar|x}}''' の変化の割合として定義されること、
:<math>\boldsymbol{v}(t) = \frac{\mathrm{d}\boldsymbol{x}(t)}{\mathrm{d}t},</math>
から導かれる。位置、あるいは[[変位]]は基準点に対する[[距離]]を測ることによって決定でき、位置の変化量 {{math|d'''''x'''''}} は長さの次元 (L) を持つ。速度は位置の変化量 {{math|d'''''x'''''}} と時間 {{math|d''t''}} の[[比]]なので、次元は長さ (L) に時間 (T) の逆数を乗じた LT<sup>&minus;1</sup> となる。加速度についても同様の手続きから量の次元が定まり、加速度の量の次元は LT<sup>&minus;2</sup> である。力は加速度に質量を乗じたものなので、量の次元も加速度の量の次元に質量の次元 (M) を掛けた MLT<sup>&minus;2</sup> となる。

力の単位もまた、それぞれの基本量に対応する基本単位から組み立てられる。国際量体系では基本量として質量、時間、長さを採り、国際単位系では国際量体系に対応して質量の単位を[[キログラム]] (kg)、時間の単位を[[秒]] (s)、長さの単位を[[メートル]] (m) としてこれらを基本単位としている。国際単位系に従えば、力の単位は kg&middot;m&middot;s<sup>&minus;2</sup> と表すことができる。また国際単位系では、目的に応じて組立単位が定義されており、力の単位として[[ニュートン (単位)|ニュートン]] (N) が定められている。ニュートンなどの組立単位はすべて基本単位の代数操作によって定義されており、ニュートンの場合、N {{=}} kg&middot;m&middot;s<sup>&minus;2</sup> と定義されている。

==== 静力学 ====
[[静力学]]では力は基本的な状態量になる。力を構成する要素は、力の'''大きさ''' ({{en|magnitude}})、力の'''向き''' ({{en|direction}})、作用線の'''方向'''、作用線の'''位置'''である{{sfn|江沢|2005|p=7}}。力が及ぼされる点を'''作用点'''{{efn2|作用点はまた'''着力点'''とも呼ばれる{{sfn|新井|2003|p=150}}。}}({{en|point of action}}) と呼ぶ{{sfn|新井|2003|p=150}}。'''作用線''' ({{en|line of action}}) とは作用点を通り、力の向きに対して[[平行]]な直線のことである{{sfn|新井|2003|p=151}}。また、力が2体力である場合には、力を及ぼすものと力が及ぼされるものとの組を考えることができる。すべての力が2体力であるなら、それぞれの力は'''互いに独立'''であり、物体にかかる'''正味の力''' ({{en|net force}}) はそれぞれの独立な力の単純な和として表される{{sfn|江沢|2005|p=7}}。

たとえば、物体 {{math|A}} に物体 {{math|B, C}} が力を及ぼしている場合、物体 {{math|A}} に働く正味の力は、
:<math>\boldsymbol{F}_\mathrm{A} = \boldsymbol{F}_\mathrm{B \to A} + \boldsymbol{F}_\mathrm{C \to A}</math>
と分解することができる。ここで {{math|'''''F''''' {{sub|A}}}} は物体 {{math|A}} に働く正味の力、{{math|'''''F''''' {{sub|B &rarr; A}}, '''''F''''' {{sub|C &rarr; A}}}} はそれぞれ物体 {{math|B, C}} が物体 {{math|A}} に及ぼしている力を表す。このことは {{math|A}} に力を及ぼす物体が増えても同様に成り立つ。

==== 解析力学 ====
{{seealso|オイラー＝ラグランジュ方程式#ニュートン力学との関係}}
[[解析力学]]における力は、[[ニュートン力学]]の定義と異なり、[[オイラー＝ラグランジュ方程式]]を通じて'''一般化運動量''' {{en|(generalized momentum)}} の[[時間微分]]に等しくなる[[関数 (数学)|関数]]として与えられる。一般化運動量の時間微分という意味での力は、'''一般化力''' {{en|(generalized force)}} あるいは'''広義の力'''と呼ばれ、ニュートン力学における力とは区別される。

一般化運動量は[[ラグランジアン (場の理論)|ラグランジアン]]の一般化速度による[[偏微分]]として定義される{{sfn|ランダウ|リフシッツ|1974|pp=17&ndash;18}}。一般化運動量を '''{{mvar|P}}'''、ラグランジアンを {{mvar|L}}、[[一般化座標系]]の組を '''{{mvar|q}}'''、一般化速度の組を {{math|{{dot|'''''q'''''}}}} と表せば、一般化運動量は以下のように定義される。
:<math>
\boldsymbol{P}(\boldsymbol{q}, \dot\boldsymbol{q}, t) 
= \frac{\partial L(\boldsymbol{q}, \dot\boldsymbol{q}, t)}
       {\partial\dot\boldsymbol{q}}.
</math><ref group="注">関数 {{math|''f''('''''u''''')}} のベクトル '''{{mvar|u}}''' による微分は、ベクトル '''{{mvar|u}}''' の各成分 {{math|1=''u<sub>i</sub>'', ''i'' = 1, 2, ..., ''d''}} に対する偏導関数 {{math|{{sfrac|&part;''f''|&part;''u<sub>i</sub>''}}}} を成分に持つベクトル {{math|({{sfrac|&part;''f''|&part;''u<sub>1</sub>''}}, {{sfrac|&part;''f''|&part;''u<sub>2</sub>''}}, ..., {{sfrac|&part;''f''|&part;''u<sub>d</sub>''}})}}、つまり[[勾配 (ベクトル解析)|勾配]]を与える。</ref>

[[オイラー＝ラグランジュ方程式]]
:<math>
\left.
  \frac{\partial L(\boldsymbol{q}, \dot\boldsymbol{q}, t)}{\partial \boldsymbol{q}}
\right|_{(\boldsymbol{q}, \dot\boldsymbol{q}) = (\boldsymbol{q}(t), \dot\boldsymbol{q}(t))} 
= \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} \left(
\left.
  \frac{\partial L(\boldsymbol{q}, \dot\boldsymbol{q}, t)}{\partial\dot\boldsymbol{q}}
\right|_{(\boldsymbol{q}, \dot\boldsymbol{q}) = (\boldsymbol{q}(t), \dot\boldsymbol{q}(t))}
\right)
</math><ref group="注">ここで {{math|{{dot|'''''q'''''}}(''t'')}} は[[関数 (数学)|関数]] {{math|'''''q'''''(''t'')}} の {{mvar|t}} による[[微分]]を表す。この微分の記法は[[ニュートンの記法]]と呼ばれる。</ref>
を一般化運動量 '''{{mvar|P}}''' で書き換えると、以下のように書ける。
:<math>
\left.
  \frac{\partial L(\boldsymbol{q}, \dot\boldsymbol{q}, t)}{\partial \boldsymbol{q}}
\right|_{(\boldsymbol{q}, \dot\boldsymbol{q}) = (\boldsymbol{q}(t), \dot\boldsymbol{q}(t))} 
= \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} \left(
\left.
  \boldsymbol{P}(\boldsymbol{q}, \dot{\boldsymbol{q}}, t) 
\right|_{(\boldsymbol{q}, \dot\boldsymbol{q}) = (\boldsymbol{q}(t), \dot\boldsymbol{q}(t))}
\right)
</math>
上記のオイラー＝ラグランジュ方程式の右辺から、一般化力 '''{{math|&Psi;}}'''<ref group="注">この記法はあまり一般的ではない。一般化力を表す記号としてはしばしば {{math|Q}} が用いられる。</ref> は次のように定義される{{sfn|ランダウ|リフシッツ|1974|pp=18&ndash;19}}。
:<math>
\boldsymbol{\Psi}(\boldsymbol{q}, \dot\boldsymbol{q}, t) 
= \frac{\partial L(\boldsymbol{q}, \dot\boldsymbol{q}, t)}
       {\partial \boldsymbol{q}}.
</math>
オイラー＝ラグランジュ方程式
:<math>
\left.
  \boldsymbol{\Psi}(\boldsymbol{q}, \dot{\boldsymbol{q}}, t)
\right|_{(\boldsymbol{q}, \dot\boldsymbol{q}) = (\boldsymbol{q}(t), \dot\boldsymbol{q}(t))} 
= \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} \left(
\left.
  \boldsymbol{P}(\boldsymbol{q}, \dot{\boldsymbol{q}}, t) 
\right|_{(\boldsymbol{q}, \dot\boldsymbol{q}) = (\boldsymbol{q}(t), \dot\boldsymbol{q}(t))}
\right)
</math>
と[[ニュートンの運動方程式]]
:<math>\boldsymbol{F}(t) = \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\boldsymbol{p}(t)</math>
と見比べれば、左辺の一般化力 '''{{math|&Psi;}}''' は力に相当する量であることが分かる。

=== 力の釣り合い ===
その物体の速度が変化しないとき、'''力が釣り合っている'''と言う。例えば、自動車が時速 40 km/h のまま直進しているとき、車体にかかる力は釣り合っている。この時、エンジン等によって動かされた車輪が加速しようとする力と車軸の[[摩擦]]や空気抵抗によって減速しようとする力が釣り合っている、と考えるのである。

=== 力の合成と分解 ===
[[image:Force elementaire.png|right|250px|thumb|'''力の合成''' 力 {{math|d'''''T'''''}} と力 {{math|d'''''N'''''}} を合成した力 {{math|d'''''F'''''}} は平行四辺形の法則によって対角線として計算できる。]]
'''力の合成'''とは、ある点に働く複数の力を 1 つの等価な力として表すことを言う。またその逆の操作を'''力の分解''' ({{en|decomposition of force}}) と呼ぶ{{sfn|江沢|2005|p=9}}。合成された力のことを'''合力''' ({{en|resultant force}}) という{{sfn|江沢|2005|p=6}}。力は[[空間ベクトル|ベクトル]]として定義されているので{{sfn|江沢|2005|p=62}}、[[ベクトル空間]]における[[加法]]の規則に従い合成と分解を行うことができる{{sfn|江沢|2005|pp=4&ndash;6}}。力と運動量がベクトルであることにより、運動方程式を任意の成分に分解することができる。この原理を'''運動の独立性''' ({{en|independence of motions}}) という{{sfn|江沢|2005|p=62}}。

分解された力と元の力、あるいは合成される力とそれらの合力の関係を図形的に表すものとして、[[力の平行四辺形]]がしばしば用いられる。力の分解に関して、2 成分に分解された力は[[平行四辺形]]の辺をなし、その対角線は元の力となる。同様に、2つの力が同じ点に働くと、それらは平行四辺形の辺をなす。2つの力の合力は2つの力のなす平行四辺形の対角線として図示される{{sfn|江沢|2005|pp=4&ndash;6}}。力の分解や合成を平行四辺形の組み合わせによって表すことができる、という法則を'''平行四辺形の法則''' ({{en|parallelogram law}}) と呼ぶ{{sfn|新井|2003|p=151}}。平行四辺形の法則はまた、'''ニュートンの第4法則''' ({{en|Newton's fourth law}}) とか'''力の重畳原理''' ({{en|superposition principle of force}}) とも呼ばれる{{sfn|新井|2003|p=151}}。

=== 分類 ===
[[連続体力学]]などの分野では、力は次の 2 つに分類される。
; 面積力
: 面を通して作用し、その大きさが面積に比例する力{{sfn|巽|1982|pp=33&ndash;31}}。表面を横切る微視的な[[運動量]]の[[流束]]とも言え{{sfn|Ferziger|Perić|2003|p=5}}、'''表面力'''とも呼ばれる。物体の面を介して作用するので[[近接作用]]力である{{sfn|京谷|2008|p=31}}。例としては[[圧力]]、[[応力]]、[[表面張力]]などが挙げられる。面積力は2階[[テンソル]]（[[行列]]） {{math|&Sigma;}} で表され、面積要素 {{math|d''A''}} にはたらく力 {{math|d'''''F'''''}} は
::<math>\mathrm{d}\boldsymbol{F} = \Sigma \, \boldsymbol{n} \, \mathrm{d}A</math>
:で表される<ref name=Taylor>{{cite|和書 |editor= |author=John R. Taylor|author2=（訳）上田晴彦 |title=古典力学 |edition= |publisher=プレアデス出版 |year=2019 |isbn=978-4-903814-93-3 |page=805-813}}</ref>。ここで {{mvar|'''n'''}} は面積要素の単位[[法線ベクトル]]である。
; 体積力
: 物体の体積に比例する力{{sfn|今井|1997|p=13}}。'''物体力'''とも呼ばれる。物体には直接触れずに作用する力なので[[遠隔作用]]力である{{sfn|京谷|2008|p=31}}。例として[[重力]]、[[遠心力]]、[[コリオリの力]]、[[静電気力]]などがある。たとえば重力を例にとると、体積要素 {{math|d''V''}} にはたらく重力 {{math|d'''''F'''''}} は
::<math>\mathrm{d}\boldsymbol{F}=\rho \, \boldsymbol{g} \, \mathrm{d}V</math>
:で表される<ref name=Taylor/>。ここで {{mvar|&rho;}} は物体の[[質量密度]]、{{mvar|'''g'''}} は[[重力加速度]]である。

== 量子力学 ==
{{main|量子力学|場の量子論|基本相互作用|標準模型}}
[[量子力学]]では、[[場の量子論]]により、宇宙における力の源は[[基本相互作用]]による、[[電磁相互作用]]・[[弱い相互作用]]・[[強い相互作用]]・[[万有引力|重力相互作用]]の 4つに整理された。ただし、重力は[[古典物理学]]に属する[[一般相対性理論]]も関係し、また、重力の量子化（[[量子重力理論]]）は研究の途上である。一方で電磁相互作用と弱い相互作用とを統一的に記述する電弱統一理論は[[ワインバーグ＝サラム理論]]によって完成した。その次と言える強い相互作用の統一は[[大統一理論]]として研究中である。

その他、主な未解決の問題についての概観は[[標準模型]]を参照のこと。

== 批判 ==
（古典力学の）力は物理学の根幹にかかわるものであるが、力の定義づけは自明ではないともいわれる{{sfn|培風館物理学三訂版|2005|loc=【力】}}。アイザック・ニュートンは『自然哲学の数学的諸原理』において力と質量について明確な定義を与えていない。現代的な視点では、[[ニュートン力学]]における力は運動の第2法則 {{math|'''''F''''' {{=}} ''m'''a'''''}} によって定義されるものと解釈されるが、この解釈のもとでは、比例定数の慣性質量 {{mvar|m}} が未定義な量であるため、力と慣性質量の定義が独立しておらず、不満である。そのため、力と質量の定義を分離すべきという批判がなされている{{sfn|培風館物理学三訂版|2005|loc=【力】}}。

[[アメリカ航空宇宙局]]のサイトでは「自由物体の動きに変化を起こしたり、あるいは固定物体に[[応力]]を与える基となる <u>agent</u>（エージェント）<ref>"Any external '''agent that causes a change in the motion''' of a free body, or that causes stress in a fixed body."　[http://earthobservatory.nasa.gov/Glossary/?mode=alpha&seg=f&segend=h Glossary] - Earth Observatory, NASA</ref>」といった説明になっている。

== 脚注 ==
{{脚注ヘルプ}}
=== 注釈 ===
{{reflist|group=注}}
=== 出典 ===
{{reflist|25em}}

== 参考文献 ==
{{wikisourcelang|en|The Mathematical Principles of Natural Philosophy (1729)}}
{{wikisourcelang|en|The Mathematical Principles of Natural Philosophy (1846)}}
* {{Cite book|和書|title=物理学辞典|publisher=[[培風館]]|edition=三訂版|date=2005-10|isbn=978-4563020941|ref={{sfnref|培風館物理学三訂版|2005}}}}
* {{cite book|和書|last=小出|first=昭一郎|authorlink=小出昭一郎|title=力学|publisher=[[岩波書店]]|year=1997|ref=harv}}
* {{cite book|first=Julian|last=Barbour|authorlink=ジュリアン・バーバー|title=The Discovery of Dynamics: A Study from a Machian Point of View of the Discovery and the Structure of Dynamical Theories|date=2001|isbn=0-19-513202-5|ref=harv}} 
* {{cite book|和書|last=内井|first=惣七|authorlink=内井惣七|title=空間の謎・時間の謎 &mdash; 宇宙の始まりに迫る物理学と哲学|publisher=[[中公新書]]|date=2006|isbn=412101829X|ref=harv}}
* {{cite book|和書|last=湯川|first=秀樹|authorlink=湯川秀樹|title=物理講義|publisher=[[講談社]]|date=1975-1|isbn=978-4061298576|ref=harv}}
* {{cite|和書|last=巽|first=友正|authorlink=巽友正|title=流体力学 |publisher=培風館 |date=1982 |isbn=4-563-02421-X |ref=harv}}
* {{cite|和書|title=コンピュータによる流体力学|first1=Joel H.|last1=Ferziger|first2=Milovan|last2=Peri&#x107;|translator=小林敏雄、谷口伸行、坪倉誠|publisher=[[シュプリンガー・フェアラーク東京]]|date=2003|isbn=4431708421|ref=harv}}
* {{cite|和書|editor=非線形CAE協会|last=京谷|first=孝史 |title=よくわかる連続力学体ノート|publisher=[[森北出版]]|date=2008|isbn=9784627948112 |ref=harv}}
* {{cite|和書|last=今井|first=功|authorlink=今井功 (物理学者)|title=流体力学 前編|publisher=[[裳華房]]|edition=24|date=1997|origdate=1973-11-25|isbn=4785323140|ref=harv}}
* {{cite book|和書|author=山本義隆|last=山本|first=義隆|authorlink=山本義隆|title=磁力と重力の発見|publisher=[[みすず書房]]|year=2003|ref=yamamoto}}
* {{Cite book|和書|first=エルンスト|last=マッハ|authorlink=エルンスト・マッハ|title=マッハ力学史 (上)―古典力学の発展と批判|translator=岩野秀明|series=ちくま学芸文庫|publisher=[[筑摩書房]]|date=2006|isbn=978-4480090232|ref=harv}}
* {{Cite book|和書|first=エルンスト|last=マッハ|title=マッハ力学史 (下)―古典力学の発展と批判|translator=岩野秀明|series=ちくま学芸文庫|publisher=筑摩書房|date=2006|isbn=978-4480090249}}
* {{cite book|和書|first=ハインリッヒ|last=ヘルツ|authorlink=ハインリッヒ・ヘルツ|title=力学原理|publisher=東海大学出版会|year=1974|month=11|isbn=978-4486002444|ref=harv}}
* {{cite book|和書|first1=ヨーゼフ・T|last1=デヴレーゼ|first2=ヒード|last2=ファンデン・ベルヘ|title=科学革命の先駆者　シモン・ステヴィン―不思議にして不思議にあらず|series=科学史ライブラリー|others=山本義隆（監修）、中澤聡（訳）|publisher=[[朝倉書店]]|date=2009|isbn=9784254106428|ref=harv}}
** {{cite book|first1=J. T.|last1=Devreese|first2=G.|last2=Vanden Berghe|title=Wonder en is gheen wonder. De geniale wereld van Simon Stevin 1548-1620|language=Nederlands|publisher=Davidsfonds, Leuven|date=2003|pages=342|ref=harv}} &mdash; [[オランダ語]]原著。
** {{cite book|first1=J. T.|last1=Devreese|first2=G.|last2=Vanden Berghe|title='Magic is No Magic'. The Wonderful World of Simon Stevin|language=English|publisher=WIT Press, Ashurst, Southampton|date=2007|pages=310|ref=harv}} &mdash; 著者による英訳。
* {{cite book|和書|last=江沢|first=洋|authorlink=江沢洋|title=力学 ― 高校生・大学生のために|pages=458|publisher=[[日本評論社]]|date=2005-2-20|isbn=4535785015|ref=harv}}
* {{cite book|和書|last=新井|first=朝雄|authorlink=新井朝雄|title=物理現象の数学的諸原理 ―現代数理物理学入門―|publisher=共立出版|date=2003-2-20|isbn=4-320-01726-9|ref=harv}}
* {{cite book|和書|first1=レフ|last1=ランダウ|authorlink1=レフ・ランダウ|first2=エフゲニー|last2=リフシッツ|authorlink2=エフゲニー・リフシッツ|title=理論物理学教程 力学|others=[[広重徹|広重, 徹]]（訳）、[[水戸巌|水戸, 巌]]（訳）|publisher=東京図書|edition=増補第 3 版|date=1974-10-1|isbn=978-4-489-01160-3|ref=harv}}
* {{cite book|url=https://books.google.co.jp/books?id=Tm0FAAAAQAAJ|first=Isaac|last=Newton|others=[[ジョン・マチン|John Machin]], Andrew Motte (translator) |title=The Mathematical Principles of Natural Philosophy|volume=1|language=English|date=1729|ref={{sfnref|Principia|1729}}}}
* {{cite journal|first=R.|last=Clausius|authorlink=ルドルフ・クラウジウス|title=&Uuml;ber die bewegende Kraft der W&auml;rme|language=Deutsch|journal=Annalen der Physik|volume=79|pages=368–397, 500–524|date=1850|ref=harv}} [http://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k15164w/f384.table Part I], [http://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k15164w/f518.table Part II].
* {{cite journal|title=On the Moving Force of Heat, and the Laws regarding the Nature of Heat itself which are deducible therefrom|url=https://archive.org/details/londonedinburghd02lond|language=English|journal=Philosophical Magazine|date=1851-7|series=4|volume=2|pages=1–21, 102–119}} &mdash; {{harvnb|Clausius|1850}} の英訳版。[https://books.google.co.jp/books?id=JbwdWbbM1KgC&pg=RA1-PA1&redir_esc=y&hl=ja Google Books]。
* {{cite journal|first=William John Macquorn|last=Rankine|authorlink=ウィリアム・ランキン|title=On the general Law of the Transformation of Energy|url=http://www.tandfonline.com/doi/abs/10.1080/14786445308647205|doi=10.1080/14786445308647205|journal=Philosophical Magazine|series=4|volume=5|issue=30|pages=106-117|date=1853|ref=harv}}

== 関連項目 ==
{{Commonscat}}
* [[ニュートン力学]]
** [[運動の第2法則]]
**[[ニュートンの運動方程式]]
* [[重力を説明する古典力学的理論]]
* [[遠隔作用]]
*[[近接作用]]
* [[ポテンシャル]]
** [[ベクトルポテンシャル]]
**[[スカラーポテンシャル]]
** [[熱力学ポテンシャル]]
* [[応力]]
* [[圧力]]
* [[表面張力]]

== 外部リンク ==
* {{Kotobank|力}}

{{古典力学のSI単位}}

{{Normdaten}}
{{デフォルトソート:ちから}}
[[Category:力 (自然科学)|*]]
[[Category:自然哲学]]
[[Category:物理学]]
[[Category:物理量]]
[[Category:力学]]
[[Category:電磁気学]]

[[gd:Neart]]