加法単位元のソースを表示

[[数学]]、とくに[[抽象代数学]]における'''加法単位元'''（かほうたんいげん、{{lang-en-short|''additive identity''}}）は、[[加法]]を[[二項演算|演算]]として備える[[集合]]において、ほかのどのような元 ''x'' に加えても ''x'' が変化しない特別の元である。最もよく馴染みのある加法単位元のひとつとしては[[初等数学]]で扱う[[数]]の [[0]] が挙げられるが、加法単位元の概念はもっと多くの、加法が定義される数学的構造（たとえば[[加法群]]や[[環 (数学)|環]]）に対して定義されるものである。[[環 (数学)|環]]などにおける加法単位元はしばしば[[零元]]と呼ばれる。

== 初等的な例 ==
初等数学における加法単位元の例は数の [[0]] である。たとえば
: 5 + 0 = 5 = 0 + 5
が成り立つ。（0 を含む）[[自然数]]全体の成す集合 '''N''' やそれを[[上位集合|包含する任意の集合]]（たとえば[[整数]]全体の成す集合 '''Z''' や[[有理数]]全体の成す集合 '''Q''' あるいは[[実数]]全体の成す集合 '''R''' および[[複素数]]全体の成す集合 '''C''' など）で、加法単位元は数 0 である。つまり、これらのいずれの種類の[[数]] ''n'' に対しても
: ''n'' + 0 = ''n'' = 0 + ''n''
が成立する。'''N''','''Z''','''Q''','''R''','''C''' の加法については 0 のほかに加法単位元は存在しない。一般に[[単位元]]はただ一つだけ存在する。

== 厳密な定義 ==
''N'' を "[[+]]" で表される[[加法|加法的]][[二項演算|演算]]のもとで閉じた[[集合]]とする。''N'' における'''加法単位元'''とは、''N'' の任意の元 ''n'' に対し、
: ''e'' + ''n'' = ''n'' = ''n'' + ''e''
を満たす ''N'' の元 ''e'' のことをいう。

== 進んだ例 ==
* 加法的に書かれた[[群 (数学)|群]]における加法単位元は、群の[[中立元]]（通常の意味での[[単位元]]）である。群の加法単位元は必ずただひとつ存在（後述）し、しばしば 0 で表される。
* 任意の[[環 (数学)|環]]や[[可換体|体]]はその加法演算に関して加法群と呼ばれる群を成し、したがってただひとつの加法単位元 0 を持つ。考えている環（や体）がただひとつの元からなるのではない限り、加法単位元 0 は乗法単位元 1 とは異なる（後述）。
* 環 ''R'' 上の ''m''-行 ''n''-列[[行列]]の全体は、成分ごとの和に関して加法群を成す。その加法単位元を ''O'' で表せば、''O'' は全ての成分が ''R'' の加法単位元 0 となるような ''m''-行 ''n''-列[[零行列]]である。たとえば、整数係数の 2-次正方行列の成す環 ''M''<sub>2</sub>('''Z''') の加法単位元は<div style="margin: 1ex auto 1ex 2em"><math>
 O = \begin{pmatrix}0 & 0 \\ 0 & 0\end{pmatrix}
</math></div>で与えられる。
* [[四元数]]体においても（実数などと同じ）数 0 が加法単位元である。
* '''R''' から '''R''' への（つまり実変数実数値の）[[函数]]全体の成す環 '''R'''<sup>'''R'''</sup> において、加法単位元は全ての実数を 0 に写す函数（零写像）<div style="margin: 1ex auto 1ex 2em">'''0'''(''x'') &equiv; 0</div>である。
* '''R'''<sup>''n''</sup> の[[幾何ベクトル|ベクトル]]全体の成す[[加法群]]の加法単位元は、原点（に対応する[[零ベクトル]]）である。

== 性質 ==
; 群の加法単位元の一意性
: (''G'', +) が群で、0, 0&prime; がともに ''G'' の加法単位元とすれば、''g'', ''h'' を ''G'' の任意の元として<div style="margin: 1ex auto 1ex 2em">0 + ''g'' = ''g'' + 0 = ''g'' かつ 0&prime; + ''h'' = ''h'' + 0&prime; = ''h''</div>が満たされるから、''g'' = 0&prime;, ''h'' = 0 とすれば<div style="margin: 1ex auto 1ex 2em">0 + 0&prime; = 0&prime; + 0 = 0&prime; かつ 0&prime; + 0 = 0 + 0&prime; = 0</div>すなわち 0 = 0&prime; を得る。 
; 加法単位元の零化作用
: 乗法が加法に対して分配的であるような代数系 ''S'' では、加法単位元 0 は任意の元を零化する、つまり<div style="margin: 1ex auto 1ex 2em">''S'' の任意の元 ''s'' に対して ''s'' &bull; 0 = 0 となる</div>という意味で乗法[[吸収元]]（零元）である。これは<div style="margin: 1ex auto 1ex 2em">''s'' &bull; 0 = ''s'' &bull;(0 + 0) = ''s'' &bull; 0 + ''s'' &bull; 0</div>の両辺から ''s'' &bull; 0 を簡約することにより得られる。
; 零環と加法および乗法の単位元
: ''R'' を加法単位元 0 と乗法単位元 1 を持つ環とする。これら二つの単位元が等しい (0 = 1) とすると、''R'' の任意の元 ''r'' に対し ''r'' = ''r'' &times; 1 = ''r'' &times; 0 = 0 となるから ''R'' は自明な[[零環]] {0} となる。[[対偶 (論理学)|対偶]]をとれば、''R'' が零環でなければ 0 と 1 は必ず異なる。

== 関連項目 ==
*[[0]]
*[[加法逆元]]
*[[中立元]]
*[[乗法単位元]]

== 参考文献 ==
*David S. Dummit, Richard M. Foote, ''Abstract Algebra'', Wiley (3d ed.): 2003, ISBN 0-471-43334-9.

== 外部リンク ==
*{{PlanetMath | urlname=UniquenessOfAdditiveIdentityInARing2 | title=uniqueness of additive identity in a ring | id=5676}}
*{{MathWorld | urlname=AdditiveIdentity | title=Additive Identity | author=Margherita Barile}}

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